Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.1: Похідне - Попередні

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62583

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У численні ми визначили похідну як межу. У комплексному аналізі ми зробимо те ж саме.

    \[f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}.\]

    Перш ніж приділяти похідному нашу повну увагу, нам доведеться витратити деякий час на вивчення та розуміння обмежень. Щоб мотивувати це, ми спочатку розглянемо два простих приклади — один позитивний і один негативний.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Знайдіть похідну від\(f(z) = z^2\).

    Рішення

    Обчислюємо, використовуючи визначення похідної як межі.

    \[\lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{(z + \Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{z^2 + 2z \Delta z + (\Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} 2z + \Delta z = 2z.\]

    Це був позитивний приклад. Ось негативний, який показує, що нам потрібно ретельне розуміння обмежень.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Нехай\(f(z) = \overline{z}\). Покажіть, що межа для\(f'(0)\) не сходиться.

    Рішення

    Спробуємо обчислити,\(f'(0)\) використовуючи ліміт:

    \[f'(0) = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{f(\Delta z) - f(0)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} = \dfrac{\Delta x - i \Delta y}{\Delta x + i \Delta y}.\]

    Ось ми і скористалися\(\Delta z = \Delta x + i \Delta y\).

    Тепер,\(\Delta z \to 0\) означає, що обидва\(\Delta x\) і\(\Delta y\) повинні перейти до 0. Існує маса способів зробити це. Наприклад, якщо ми відпустимо\(\Delta z\) йти до 0 вздовж\(x\) -осі то,\(\Delta x\) йде до 0. У цьому випадку ми б

    \[f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x} = 1.\]

    З іншого боку, якщо ми\(\Delta z\) відпустимо до 0 вздовж позитивної\(y\) -осі, то

    \[f'(0) = \lim_{\Delta y \to 0} \dfrac{-i \Delta y} {i \Delta y} = -1.\]

    Ліміти не згодні! Проблема в тому, що ліміт залежить від того, як\(\Delta z\) наближається 0. Якби ми прийшли з інших напрямків, ми б отримали інші значення. Тут нічого робити, але погодьтеся, що ліміту не існує.

    Що ж, є щось, що ми можемо зробити: досліджувати та розуміти межі. Давайте зробимо це зараз.