2.1: Похідне - Попередні

У численні ми визначили похідну як межу. У комплексному аналізі ми зробимо те ж саме.

$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}.$$

Перш ніж приділяти похідному нашу повну увагу, нам доведеться витратити деякий час на вивчення та розуміння обмежень. Щоб мотивувати це, ми спочатку розглянемо два простих приклади — один позитивний і один негативний.

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть похідну від$f(z) = z^2$.

Рішення

Обчислюємо, використовуючи визначення похідної як межі.

$$\lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{(z + \Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{z^2 + 2z \Delta z + (\Delta z)^2 - z^2}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} 2z + \Delta z = 2z.$$

Це був позитивний приклад. Ось негативний, який показує, що нам потрібно ретельне розуміння обмежень.

Приклад$\PageIndex{2}$

Нехай$f(z) = \overline{z}$. Покажіть, що межа для$f'(0)$ не сходиться.

Рішення

Спробуємо обчислити,$f'(0)$ використовуючи ліміт:

$$f'(0) = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{f(\Delta z) - f(0)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} = \dfrac{\Delta x - i \Delta y}{\Delta x + i \Delta y}.$$

Ось ми і скористалися$\Delta z = \Delta x + i \Delta y$.

Тепер,$\Delta z \to 0$ означає, що обидва$\Delta x$ і$\Delta y$ повинні перейти до 0. Існує маса способів зробити це. Наприклад, якщо ми відпустимо$\Delta z$ йти до 0 вздовж$x$ -осі то,$\Delta x$ йде до 0. У цьому випадку ми б

$$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x} = 1.$$

З іншого боку, якщо ми$\Delta z$ відпустимо до 0 вздовж позитивної$y$ -осі, то

$$f'(0) = \lim_{\Delta y \to 0} \dfrac{-i \Delta y} {i \Delta y} = -1.$$

Ліміти не згодні! Проблема в тому, що ліміт залежить від того, як$\Delta z$ наближається 0. Якби ми прийшли з інших напрямків, ми б отримали інші значення. Тут нічого робити, але погодьтеся, що ліміту не існує.

Що ж, є щось, що ми можемо зробити: досліджувати та розуміти межі. Давайте зробимо це зараз.