Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5: Похідні

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62610

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Визначення комплексної похідної комплексної функції аналогічно визначенню дійсної похідної дійсної функції: Для функції\(f(z)\) похідна\(f\) at\(z_0\) визначається як

    \[f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\]

    За умови, звичайно, що ліміт існує. Якщо межа існує, ми говоримо\(f\) аналітичний на\(z_0\) або\(f\) диференційований на\(z_0\).

    Пам'ятайте: межа повинна існувати і бути однаковою незалежно від того, як ви підходите\(z_0\)!

    Якщо\(f\) аналітичний у всіх точках у відкритому регіоні,\(A\) то ми говоримо\(f\), що аналітичний\(A\).

    Як завжди з похідними є кілька альтернативних позначень. Наприклад, якщо\(w = f(z)\) ми можемо написати

    \[f'(z_0) = \dfrac{dw}{dz} \lvert_{z_0} = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \lim_{\Delta \to 0} \dfrac{\Delta w}{\Delta z}\]

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Знайдіть похідну від\(f(z) = z^2\).

    Рішення

    Ми зробили це вище в прикладі 2.2.1. Погляньте на це зараз. Звичайно,\(f'(z) = 2z\).

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Шоу\(f(z) = \overline{z}\) не можна диференціювати в будь-якій точці\(z\).

    Рішення

    Ми зробили це вище в прикладі 2.2.2. Погляньте на це зараз.

    Виклик. Використовувати полярні координати, щоб показати межу в попередньому прикладі, може бути будь-яке значення з модулем 1 залежно від кута, під яким\(z\) наближається\(z_0\).

    Похідні правила

    Було б не дуже весело обчислити кожну похідну з використанням обмежень. На щастя, у нас є ті ж формули диференціації, що і для реальних функцій. Тобто, припускаючи\(f\) і\(g\) диференційовані, ми маємо:

    • Правило суми:\[\dfrac{d}{dz} (f(z) + g(z)) = f' + g'\]
    • Правило продукту:\[\dfrac{d}{dz} (f(z) g(z)) = f'g + fg'\]
    • Правило частки:\[\dfrac{d}{dz} (f(z)/g(z)) = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\]
    • Правило ланцюга:\[\dfrac{d}{dz} g(f(z)) = g'(f(z)) f'(z)\]
    • Зворотне правило:\[\dfrac{df^{-1} (z)}{dz} = \dfrac{1}{f' (f^{-1} (z))}\]

    Щоб дати вам аромат цих аргументів, ми доведемо правило продукту.

    \[\begin{array} {rcl} {\dfrac{d}{dz} (f(z) g(z))} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) g(z) - f(z_0) g(z_0)}{z - z_0}} \\ {} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{(f(z) - f(z_0)) g(z) + f(z_0) (g(z) - g(z_0))}{z - z_0}} \\ {} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} g(z) + f(z_0) \dfrac{(g(z) - g(z_0))}{z - z_0}} \\ {} & = & {f'(z_0) g(z_0) + f(z_0) g'(z_0)} \end{array}\]

    Ось важливий факт, про який ви б здогадалися. Доведемо це в наступному розділі.

    Теорема\(\PageIndex{1}\)

    Якщо\(f(z)\) визначається і диференціюється на відкритому диску і\(f'(z) = 0\) на диску, то\(f(z)\) є постійним.