2.5: Похідні

Визначення комплексної похідної комплексної функції аналогічно визначенню дійсної похідної дійсної функції: Для функції$f(z)$ похідна$f$ at$z_0$ визначається як

$$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$$

За умови, звичайно, що ліміт існує. Якщо межа існує, ми говоримо$f$ аналітичний на$z_0$ або$f$ диференційований на$z_0$.

Пам'ятайте: межа повинна існувати і бути однаковою незалежно від того, як ви підходите$z_0$!

Якщо$f$ аналітичний у всіх точках у відкритому регіоні,$A$ то ми говоримо$f$, що аналітичний$A$.

Як завжди з похідними є кілька альтернативних позначень. Наприклад, якщо$w = f(z)$ ми можемо написати

$$f'(z_0) = \dfrac{dw}{dz} \lvert_{z_0} = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \lim_{\Delta \to 0} \dfrac{\Delta w}{\Delta z}$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть похідну від$f(z) = z^2$.

Рішення

Ми зробили це вище в прикладі 2.2.1. Погляньте на це зараз. Звичайно,$f'(z) = 2z$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Шоу$f(z) = \overline{z}$ не можна диференціювати в будь-якій точці$z$.

Рішення

Ми зробили це вище в прикладі 2.2.2. Погляньте на це зараз.

Виклик. Використовувати полярні координати, щоб показати межу в попередньому прикладі, може бути будь-яке значення з модулем 1 залежно від кута, під яким$z$ наближається$z_0$.

Похідні правила

Було б не дуже весело обчислити кожну похідну з використанням обмежень. На щастя, у нас є ті ж формули диференціації, що і для реальних функцій. Тобто, припускаючи$f$ і$g$ диференційовані, ми маємо:

• Правило суми: $$\dfrac{d}{dz} (f(z) + g(z)) = f' + g'$$
• Правило продукту: $$\dfrac{d}{dz} (f(z) g(z)) = f'g + fg'$$
• Правило частки: $$\dfrac{d}{dz} (f(z)/g(z)) = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$$
• Правило ланцюга: $$\dfrac{d}{dz} g(f(z)) = g'(f(z)) f'(z)$$
• Зворотне правило: $$\dfrac{df^{-1} (z)}{dz} = \dfrac{1}{f' (f^{-1} (z))}$$

Щоб дати вам аромат цих аргументів, ми доведемо правило продукту.

$$\begin{array} {rcl} {\dfrac{d}{dz} (f(z) g(z))} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) g(z) - f(z_0) g(z_0)}{z - z_0}} \\ {} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{(f(z) - f(z_0)) g(z) + f(z_0) (g(z) - g(z_0))}{z - z_0}} \\ {} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} g(z) + f(z_0) \dfrac{(g(z) - g(z_0))}{z - z_0}} \\ {} & = & {f'(z_0) g(z_0) + f(z_0) g'(z_0)} \end{array}$$

Ось важливий факт, про який ви б здогадалися. Доведемо це в наступному розділі.

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$f(z)$ визначається і диференціюється на відкритому диску і$f'(z) = 0$ на диску, то$f(z)$ є постійним.