4.2: Відкриті набори

Визначення

Ми говоримо, що набір$U \subset \mathbb{R}$ відкритий, якщо для кожного$x \in U$ існує$\epsilon>0$ таке, що

$$(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U.$$

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Кожен відкритий інтервал$I$ - це відкритий набір.

Доказ

Припустимо$a<b$,$I=(a, b),$ де знаходяться розширені дійсні числа. $x \in I,$Дано нехай$\epsilon$ бути меншим з$x-a$ і$b-x .$ припустимо,$y \in(x-\epsilon, x+\epsilon) .$ якщо$b=+\infty,$ тоді$b>y ;$ інакше, ми маємо

$$b-y>b-(x+\epsilon)=(b-x)-\epsilon \geq(b-x)-(b-x)=0,$$

тож$b>y .$ якщо$a=-\infty,$ тоді$a<y ;$ інакше,

$$y-a>(x-\epsilon)-a=(x-a)-\epsilon \geq(x-a)-(x-a)=0,$$

$a<y .$Таким чином$y \in I$ і$I$ є відкритим набором. $\quad$Q.E.D.

Зверніть увагу, що$\mathbb{R} \text { is an open set (it is, in fact, the open interval }(-\infty,+\infty)),$ як є$\emptyset$ (воно задовольняє визначенню тривіально).

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Припустимо,$A$ це набір і, для кожного$\alpha \in A, U_{\alpha}$ є відкритий набір. Тоді

$$\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}$$

являє собою відкритий набір.

Доказ

Нехай$x \in \cup_{\alpha \in A} U_{\alpha} .$ тоді$x \in U_{\alpha}$ для деяких$\alpha \in A .$ Оскільки$U_{\alpha}$ відкрито, існує$\epsilon>0$ таке, що$(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U_{\alpha} .$ Таким чином

$$(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U_{\alpha} \subset \bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}.$$

$\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}$Звідси відкрито. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{3}$

Припустимо,$U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}$ це кінцева колекція відкритих множин. Тоді

$$\bigcap_{i=1}^{n} U_{i}$$

відкритий.

Доказ

Нехай$x \in \bigcap_{i=1}^{n} U_{i} .$ Тоді$x \in U_{i}$ для кожного$i=1,2, \ldots, n .$ Для кожного вибирайте$\epsilon_{i}>0$ таке$i$, що$\left(x-\epsilon_{i}, x+\epsilon_{i}\right) \subset U_{i} .$ Нехай$\epsilon$ буде найменшим з$\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \ldots, \epsilon_{n} .$ Тоді$\epsilon>0$ і

$$(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset\left(x-\epsilon_{i}, x+\epsilon_{i}\right) \subset U_{i}$$

для кожного$i=1,2, \ldots, n .$ Таким чином

$$(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset \bigcap_{i=1}^{n} U_{i}.$$

$\bigcap_{i=1}^{n} U_{i}$Звідси і відкритий набір. $\quad$Q.E.D.

Визначення

$A \subset \mathbb{R} .$Скажімо,$x \in A$ це внутрішня точка,$A$ якщо існує$\epsilon>0$ така, що$(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset A .$ Ми називаємо множиною всіх внутрішніх$A$ точок інтер'єру$A,$ позначається$A^{\circ} .$

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що якщо$A \subset \mathbb{R},$ потім$A^{\circ}$ відкритий.

Вправа$\PageIndex{2}$

Показати,$A$ що відкрито, якщо і тільки якщо$A=A^{\circ}$.

Вправа$\PageIndex{3}$

$U \subset \mathbb{R}$Дозволяти бути непорожнім відкритим набором. Покажіть, що sup$U \notin U$ і$\inf U \notin U$.