4.2: Відкриті набори
- Page ID
- 62430
Ми говоримо, що набір\(U \subset \mathbb{R}\) відкритий, якщо для кожного\(x \in U\) існує\(\epsilon>0\) таке, що
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U.\]
Кожен відкритий інтервал\(I\) - це відкритий набір.
- Доказ
-
Припустимо\(a<b\),\(I=(a, b),\) де знаходяться розширені дійсні числа. \(x \in I,\)Дано нехай\(\epsilon\) бути меншим з\(x-a\) і\(b-x .\) припустимо,\(y \in(x-\epsilon, x+\epsilon) .\) якщо\(b=+\infty,\) тоді\(b>y ;\) інакше, ми маємо
\[b-y>b-(x+\epsilon)=(b-x)-\epsilon \geq(b-x)-(b-x)=0,\]
тож\(b>y .\) якщо\(a=-\infty,\) тоді\(a<y ;\) інакше,
\[y-a>(x-\epsilon)-a=(x-a)-\epsilon \geq(x-a)-(x-a)=0,\]
\(a<y .\)Таким чином\(y \in I\) і\(I\) є відкритим набором. \(\quad\)Q.E.D.
Зверніть увагу, що\(\mathbb{R} \text { is an open set (it is, in fact, the open interval }(-\infty,+\infty)),\) як є\(\emptyset\) (воно задовольняє визначенню тривіально).
Припустимо,\(A\) це набір і, для кожного\(\alpha \in A, U_{\alpha}\) є відкритий набір. Тоді
\[\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}\]
являє собою відкритий набір.
- Доказ
-
Нехай\(x \in \cup_{\alpha \in A} U_{\alpha} .\) тоді\(x \in U_{\alpha}\) для деяких\(\alpha \in A .\) Оскільки\(U_{\alpha}\) відкрито, існує\(\epsilon>0\) таке, що\((x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U_{\alpha} .\) Таким чином
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U_{\alpha} \subset \bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}.\]
\(\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}\)Звідси відкрито. \(\quad\)Q.E.D.
Припустимо,\(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}\) це кінцева колекція відкритих множин. Тоді
\[\bigcap_{i=1}^{n} U_{i}\]
відкритий.
- Доказ
-
Нехай\(x \in \bigcap_{i=1}^{n} U_{i} .\) Тоді\(x \in U_{i}\) для кожного\(i=1,2, \ldots, n .\) Для кожного вибирайте\(\epsilon_{i}>0\) таке\(i\), що\(\left(x-\epsilon_{i}, x+\epsilon_{i}\right) \subset U_{i} .\) Нехай\(\epsilon\) буде найменшим з\(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \ldots, \epsilon_{n} .\) Тоді\(\epsilon>0\) і
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset\left(x-\epsilon_{i}, x+\epsilon_{i}\right) \subset U_{i}\]
для кожного\(i=1,2, \ldots, n .\) Таким чином
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset \bigcap_{i=1}^{n} U_{i}.\]
\(\bigcap_{i=1}^{n} U_{i}\)Звідси і відкритий набір. \(\quad\)Q.E.D.
\(A \subset \mathbb{R} .\)Скажімо,\(x \in A\) це внутрішня точка,\(A\) якщо існує\(\epsilon>0\) така, що\((x-\epsilon, x+\epsilon) \subset A .\) Ми називаємо множиною всіх внутрішніх\(A\) точок інтер'єру\(A,\) позначається\(A^{\circ} .\)
Показати, що якщо\(A \subset \mathbb{R},\) потім\(A^{\circ}\) відкритий.
Показати,\(A\) що відкрито, якщо і тільки якщо\(A=A^{\circ}\).
\(U \subset \mathbb{R}\)Дозволяти бути непорожнім відкритим набором. Покажіть, що sup\(U \notin U\) і\(\inf U \notin U\).