4.1: Інтервали

Визначення: інтервали

З урахуванням будь-яких двох розширених дійсних чисел$a<b,$ ми називаємо множиною

$$(a, b)=\{x: x \in \mathbb{R}, a<x<b\}$$

відкритий інтервал.

З урахуванням будь-яких двох скінченних дійсних чисел$a \leq b,$ ми називаємо множинами

$$[a, b]=\{x: x \in \mathbb{R}, a \leq x \leq b\},$$

$$(-\infty, b]=\{x: x \in \mathbb{R}, x \leq b\},$$

і

$$[a,+\infty)=\{x: x \in \mathbb{R}, x \geq a\}$$

замкнуті інтервали.

Ми називаємо будь-який набір, який є відкритим інтервалом, замкнутим інтервалом, або задається, для деяких скінченних дійсних чисел$a<b$,

$$(a, b]=\{x: x \in \mathbb{R}, a<x \leq b\}$$

або

$$[a, b)=\{x: x \in \mathbb{R}, a \leq x<b\},$$

інтервал.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Якщо$a, b \in \mathbb{R}$ з$a<b,$ то

$$(a, b)=\{x: x=\lambda a+(1-\lambda) b, 0<\lambda<1\}.$$

Доказ

Припустимо$x=\lambda a+(1-\lambda) b$, для деяких$0<\lambda<1 .$ Тоді

$$b-x=\lambda b-\lambda a=\lambda(b-a)>0,$$

Так$x<b .$ само,

$$x-a=(\lambda-1) a+(1-\lambda) b=(1-\lambda)(b-a)>0,$$

Отже,$a<x .$ отже$x \in(a, b)$.

$\quad$Тепер припустимо$x \in(a, b) .$, тоді

$$x=\left(\frac{b-x}{b-a}\right) a+\left(\frac{x-a}{b-a}\right) b=\left(\frac{b-x}{b-a}\right) a+\left(1-\frac{b-x}{b-a}\right) b$$

і

$$0<\frac{b-x}{b-a}<1.$$

Q.E.D.