4.1: Інтервали

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62422

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Визначення: інтервали

З урахуванням будь-яких двох розширених дійсних чисел\(a<b,\) ми називаємо множиною

\[(a, b)=\{x: x \in \mathbb{R}, a<x<b\}\]

відкритий інтервал.

З урахуванням будь-яких двох скінченних дійсних чисел\(a \leq b,\) ми називаємо множинами

\[[a, b]=\{x: x \in \mathbb{R}, a \leq x \leq b\},\]

\[(-\infty, b]=\{x: x \in \mathbb{R}, x \leq b\},\]

\[[a,+\infty)=\{x: x \in \mathbb{R}, x \geq a\}\]

замкнуті інтервали.

Ми називаємо будь-який набір, який є відкритим інтервалом, замкнутим інтервалом, або задається, для деяких скінченних дійсних чисел\(a<b\),

\[(a, b]=\{x: x \in \mathbb{R}, a<x \leq b\}\]

або

\[[a, b)=\{x: x \in \mathbb{R}, a \leq x<b\},\]

інтервал.

Пропозиція\(\PageIndex{1}\)

Якщо\(a, b \in \mathbb{R}\) з\(a<b,\) то

\[(a, b)=\{x: x=\lambda a+(1-\lambda) b, 0<\lambda<1\}.\]

Доказ

Припустимо\(x=\lambda a+(1-\lambda) b\), для деяких\(0<\lambda<1 .\) Тоді

\[b-x=\lambda b-\lambda a=\lambda(b-a)>0,\]

Так\(x<b .\) само,

\[x-a=(\lambda-1) a+(1-\lambda) b=(1-\lambda)(b-a)>0,\]

Отже,\(a<x .\) отже\(x \in(a, b)\).

\(\quad\)Тепер припустимо\(x \in(a, b) .\), тоді

\[x=\left(\frac{b-x}{b-a}\right) a+\left(\frac{x-a}{b-a}\right) b=\left(\frac{b-x}{b-a}\right) a+\left(1-\frac{b-x}{b-a}\right) b\]

\[0<\frac{b-x}{b-a}<1.\]

Q.E.D.