4.3: Закриті набори
- Page ID
- 62427
Ми називаємо точку\(x \in \mathbb{R}\) граничною точкою множини,\(A \subset \mathbb{R}\) якщо для кожного\(\epsilon>0\) існує\(a \in A, a \neq x,\) такий, що\(a \in(x-\epsilon, x+\epsilon)\).
\(A \subset \mathbb{R} .\)Припустимо, ми називаємо точку\(a \in A\) ізольованою точкою,\(A\) якщо існує\(\epsilon>0\) такий, що\[A \cap(a-\epsilon, a+\epsilon)=\{a\}.\]
Визначте граничні точки і ізольовані точки наступних наборів:
а.\([-1,1]\),
б.\((-1,1)\),
с.\(\left\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}\),
д.\(\mathbb{Z}\),
е\(\mathbb{Q}\).
Припустимо,\(x\) це гранична точка множини\(A .\) Показати, що для кожного\(\epsilon>0,\) множини\((x-\epsilon, x+\epsilon) \cap A\) нескінченно.
Дозволяємо\(A^{\prime}\) позначити множини граничних точок множини\(A .\)
З огляду на набір\(A \subset \mathbb{R},\) ми\(\bar{A}=A \cup A^{\prime}\) називаємо набір закриттям\(A\).
Ми називаємо набір\(C \subset \mathbb{R}\) закритий якщо\(C=\bar{C}\).
Якщо\(A \subset \mathbb{R},\) потім\(\bar{A}\) закритий.
- Доказ
-
Припустимо,\(x\) це гранична точка\(\bar{A} .\) Ми покажемо, що\(x\) є граничною точкою\(A,\) і, отже,\(x \in \bar{A} .\) Тепер для будь-якого\(\epsilon>0,\) існує\(a \in \bar{A}, a \neq x,\) таке, що
\[a \in\left(x-\frac{\epsilon}{2}, x+\frac{\epsilon}{2}\right).\]
Якщо\(a \in A,\) нехай\(b=a .\) якщо\(a \notin A,\) тоді\(a\) є граничною точкою\(A,\) так існує\(b \in A,\)\(b \neq a\) і\(b \neq x,\) таке, що
\[b \in\left(a-\frac{\epsilon}{2}, a+\frac{\epsilon}{2}\right).\]
У будь-якому випадку
\[|x-b| \leq|x-a|+|a-b|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon .\]
Звідси\(x \in A^{\prime},\) і так\(\bar{A}\) закривається. \(\quad\)Q.E.D.
Набір\(C \subset \mathbb{R}\) закривається тоді і тільки тоді, коли для кожної збіжної послідовності\(\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}\) з\(a_{k} \in C\) для всіх\(k \in K\),
\[\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \in C.\]
- Доказ
-
Припустимо\(C\), замкнутий і\(\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}\) є збіжною послідовністю з\(a_{k} \in C\) для всіх\(k \in K .\) Нехай\(x=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} .\) Якщо\(x=a_{k}\) для деякого цілого,\(k,\) то в\(x \in C .\) іншому випадку, для кожного\(\epsilon>0,\) існує ціле число\(N\) таке, що\(\left|a_{N}-x\right|<\epsilon\). Звідси\(a_{N} \neq x\) і
\[a_{N} \in(x-\epsilon, x+\epsilon).\]
Таким чином,\(x\) є граничною точкою\(C,\) і\(x \in C\) так як\(C\) закритий.
Тепер припустимо, що для кожної\(\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}\) збіжною послідовності з\(a_{k} \in C\) для всіх\(k \in K, \lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \in C .\)\(x\) Дозволяти бути граничною точкою\(C .\) For\(k=1,2,3, \ldots,\) вибрати\(a_{k} \in C\) таку, що\(a_{k} \in\left(x-\frac{1}{k}, x+\frac{1}{k}\right) .\) Тоді чітко
\[\boldsymbol{x}=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k},\]
Отже,\(x \in C .\) таким чином\(C\) закривається. \(\quad\)Q.E.D.
Показати, що кожен закритий інтервал\(I\) є замкнутим набором.
Припустимо,\(A\) це набір і, для кожного\(\alpha \in A, C_{\alpha}\) - закритий набір. Тоді
\[\bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}\]
являє собою закритий набір.
- Доказ
-
Припустимо,\(x\) це гранична точка\(\bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha} .\) Тоді для будь-якого\(\epsilon>0,\) існує\(y \in \bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}\) таке, що\(y \neq x\) і\(y \in(x-\epsilon, x+\epsilon) .\) Але тоді для будь-якого\(\alpha \in A,\)\(y \in C_{\alpha},\) так\(x\) є граничною точкою\(C_{\alpha}\). Оскільки\(C_{\alpha}\) закритий, то випливає, що\(x \in C_{\alpha}\) для кожного\(\alpha \in A .\) Таким чином\(x \in \bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}\) і\(\bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}\) закривається. \(\quad\)Q.E.D.
Припустимо,\(C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}\) це кінцева колекція замкнутих множин. Тоді
\[\bigcup_{i=1}^{n} C_{i}\]
закритий.
- Доказ
-
Припустимо,\(\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}\) це збіжна послідовність з\(a_{k} \in \bigcup_{i=1}^{n} C_{i}\) для кожного\(k \in K .\) Let\(L=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} .\) Since\(K\) є нескінченною множиною, має бути ціле число\(m\) і підпослідовність\(\left\{a_{n_{j}}\right\}_{j=1}^{\infty}\) такі, що\(a_{n_{j}} \in C_{m}\) для\(j=1,2, \ldots\). Оскільки кожна підпослідовність\(\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}\) сходжень до\(L,\left\{a_{n_{j}}\right\}_{j=1}^{\infty}\) повинна сходитися до\(L .\) Since\(C_{m}\) замкнута,
\[L=\lim _{j \rightarrow \infty} a_{n_{j}} \in C_{m} \subset \bigcup_{i=1}^{n} C_{i}.\]
Таким чином\(\bigcup_{i=1}^{n} C_{i}\) закривається. \(\quad\)Q.E.D.
Відзначимо, що обидва\(\mathbb{R}\) і\(\emptyset\) задовольняють визначенню замкнутого набору.
Набір\(C \subset \mathbb{R}\) закривається тоді і тільки тоді\(\mathbb{R} \backslash C\), коли відкритий.
- Доказ
-
\(C\)Припустімо закритий і нехай\(U=\mathbb{R} \backslash C .\) Якщо\(C=\mathbb{R},\) тоді\(U=\emptyset,\) який відкритий; якщо\(C=\emptyset,\) тоді\(U=\mathbb{R},\) який відкритий. Таким чином, ми можемо припустити, що обидва\(C\) і\(U\) є непорожніми. Нехай\(x \in U .\) Тоді не\(x\) є граничною точкою\(C,\) тому існує\(\epsilon>0\) таке, що
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \cap C=\emptyset.\]
Таким чином
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U,\]
так\(U\) відкрито.
Тепер припустимо\(U=\mathbb{R} \backslash C\), відкрито. Якщо\(U=\mathbb{R},\) то\(C=\emptyset,\) який закритий; якщо\(U=\emptyset,\) потім\(C=\mathbb{R},\), який закритий. Таким чином, ми можемо припустити, що обидва\(U\) і\(C\) є непорожніми. Нехай\(x\) буде граничною точкою\(C .\) Тоді, для кожного\(\epsilon>0\),
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \cap C \neq \emptyset .\]
Значить, не існує\(\epsilon>0\) такого, що
\[(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U.\]
При цьому\(x \notin U,\) так\(x \in C\) і\(C\) закривається. \(\quad\)Q.E.D.
Бо\(n=1,2,3, \ldots,\) нехай\(I_{n}=\left(-\frac{1}{n}, \frac{n+1}{n}\right) .\) є
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}\]
відкритий або закритий?
Бо\(n=3,4,5, \ldots,\) нехай\(I_{n}=\left[\frac{1}{n}, \frac{n-1}{n}\right] .\) є
\[\bigcup_{n=3}^{\infty} I_{n}\]
відкритий або закритий?
Припустимо, для\(n=1,2,3, \ldots,\) інтервалів\(I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right]\) такі, що\(I_{n+1} \subset I_{n} .\) якщо\(a=\sup \left\{a_{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}\) і\(b=\inf \left\{b_{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\right\},\) показати, що
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=[a, b].\]
Знайти послідовність\(I_{n}, n=1,2,3, \ldots,\) замкнутих інтервалів таку, що\(I_{n+1} \subset I_{n}\) для\(n=1,2,3, \ldots\) і
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=\emptyset.\]
Знайти послідовність\(I_{n}, n=1,2,3, \ldots,\) обмежених, відкритих інтервалів, таких, що\(I_{n+1} \subset I_{n}\) для\(n=1,2,3, \ldots\) і
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=\emptyset .\]
Припустимо,\(A_{i} \subset \mathbb{R}, i=1,2, \ldots, n,\) і нехай\(B=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i} .\) Показати, що
\[\overline{B}=\bigcup_{i=1}^{n} \overline{A_{i}}.\]
Припустимо\(A_{i} \subset \mathbb{R}, i \in \mathbb{Z}^{+},\) і нехай
\[B=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}.\]
Покажіть, що
\[\bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{A_{i}} \subset \overline{B} .\]
Знайдіть приклад, для якого
\[\overline{B} \neq \bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{A_{i}}.\]
Припустимо,\(U \subset \mathbb{R}\) це непорожній відкритий набір. Для кожного\(x \in U,\) нехай
\[J_{x}=\bigcup(x-\epsilon, x+\delta),\]
де союз береться за все\(\epsilon>0\) і\(\delta>0\) таке, що\((x-\epsilon, x+\delta) \subset U\).
а. показати, що для кожного\(x, y \in U,\) або\(J_{x} \cap J_{y}=\emptyset\) або\(J_{x}=J_{y}\).
б. показати, що
\[U=\bigcup_{x \in B} J_{x},\]
де\(B \subset U\) є або скінченним, або підрахунковим.