4.3: Закриті набори

Визначення: граничні точки

Ми називаємо точку$x \in \mathbb{R}$ граничною точкою множини,$A \subset \mathbb{R}$ якщо для кожного$\epsilon>0$ існує$a \in A, a \neq x,$ такий, що$a \in(x-\epsilon, x+\epsilon)$.

Визначення: ізольована точка

$A \subset \mathbb{R} .$Припустимо, ми називаємо точку$a \in A$ ізольованою точкою,$A$ якщо існує$\epsilon>0$ такий, що $$A \cap(a-\epsilon, a+\epsilon)=\{a\}.$$

Вправа$\PageIndex{1}$

Визначте граничні точки і ізольовані точки наступних наборів:

а.$[-1,1]$,

б.$(-1,1)$,

с.$\left\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}$,

д.$\mathbb{Z}$,

е$\mathbb{Q}$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо,$x$ це гранична точка множини$A .$ Показати, що для кожного$\epsilon>0,$ множини$(x-\epsilon, x+\epsilon) \cap A$ нескінченно.

Дозволяємо$A^{\prime}$ позначити множини граничних точок множини$A .$

Визначення: закриття

З огляду на набір$A \subset \mathbb{R},$ ми$\bar{A}=A \cup A^{\prime}$ називаємо набір закриттям$A$.

Визначення: Закриті множини

Ми називаємо набір$C \subset \mathbb{R}$ закритий якщо$C=\bar{C}$.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Якщо$A \subset \mathbb{R},$ потім$\bar{A}$ закритий.

Доказ

Припустимо,$x$ це гранична точка$\bar{A} .$ Ми покажемо, що$x$ є граничною точкою$A,$ і, отже,$x \in \bar{A} .$ Тепер для будь-якого$\epsilon>0,$ існує$a \in \bar{A}, a \neq x,$ таке, що

$$a \in\left(x-\frac{\epsilon}{2}, x+\frac{\epsilon}{2}\right).$$

Якщо$a \in A,$ нехай$b=a .$ якщо$a \notin A,$ тоді$a$ є граничною точкою$A,$ так існує$b \in A,$$b \neq a$ і$b \neq x,$ таке, що

$$b \in\left(a-\frac{\epsilon}{2}, a+\frac{\epsilon}{2}\right).$$

У будь-якому випадку

$$|x-b| \leq|x-a|+|a-b|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon .$$

Звідси$x \in A^{\prime},$ і так$\bar{A}$ закривається. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Набір$C \subset \mathbb{R}$ закривається тоді і тільки тоді, коли для кожної збіжної послідовності$\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}$ з$a_{k} \in C$ для всіх$k \in K$,

$$\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \in C.$$

Доказ

Припустимо$C$, замкнутий і$\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}$ є збіжною послідовністю з$a_{k} \in C$ для всіх$k \in K .$ Нехай$x=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} .$ Якщо$x=a_{k}$ для деякого цілого,$k,$ то в$x \in C .$ іншому випадку, для кожного$\epsilon>0,$ існує ціле число$N$ таке, що$\left|a_{N}-x\right|<\epsilon$. Звідси$a_{N} \neq x$ і

$$a_{N} \in(x-\epsilon, x+\epsilon).$$

Таким чином,$x$ є граничною точкою$C,$ і$x \in C$ так як$C$ закритий.

Тепер припустимо, що для кожної$\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}$ збіжною послідовності з$a_{k} \in C$ для всіх$k \in K, \lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \in C .$$x$ Дозволяти бути граничною точкою$C .$ For$k=1,2,3, \ldots,$ вибрати$a_{k} \in C$ таку, що$a_{k} \in\left(x-\frac{1}{k}, x+\frac{1}{k}\right) .$ Тоді чітко

$$\boldsymbol{x}=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k},$$

Отже,$x \in C .$ таким чином$C$ закривається. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{3}$

Показати, що кожен закритий інтервал$I$ є замкнутим набором.

Пропозиція$\PageIndex{3}$

Припустимо,$A$ це набір і, для кожного$\alpha \in A, C_{\alpha}$ - закритий набір. Тоді

$$\bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}$$

являє собою закритий набір.

Доказ

Припустимо,$x$ це гранична точка$\bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha} .$ Тоді для будь-якого$\epsilon>0,$ існує$y \in \bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}$ таке, що$y \neq x$ і$y \in(x-\epsilon, x+\epsilon) .$ Але тоді для будь-якого$\alpha \in A,$$y \in C_{\alpha},$ так$x$ є граничною точкою$C_{\alpha}$. Оскільки$C_{\alpha}$ закритий, то випливає, що$x \in C_{\alpha}$ для кожного$\alpha \in A .$ Таким чином$x \in \bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}$ і$\bigcap_{\alpha \in A} C_{\alpha}$ закривається. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{4}$

Припустимо,$C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}$ це кінцева колекція замкнутих множин. Тоді

$$\bigcup_{i=1}^{n} C_{i}$$

закритий.

Доказ

Припустимо,$\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}$ це збіжна послідовність з$a_{k} \in \bigcup_{i=1}^{n} C_{i}$ для кожного$k \in K .$ Let$L=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} .$ Since$K$ є нескінченною множиною, має бути ціле число$m$ і підпослідовність$\left\{a_{n_{j}}\right\}_{j=1}^{\infty}$ такі, що$a_{n_{j}} \in C_{m}$ для$j=1,2, \ldots$. Оскільки кожна підпослідовність$\left\{a_{k}\right\}_{k \in K}$ сходжень до$L,\left\{a_{n_{j}}\right\}_{j=1}^{\infty}$ повинна сходитися до$L .$ Since$C_{m}$ замкнута,

$$L=\lim _{j \rightarrow \infty} a_{n_{j}} \in C_{m} \subset \bigcup_{i=1}^{n} C_{i}.$$

Таким чином$\bigcup_{i=1}^{n} C_{i}$ закривається. $\quad$Q.E.D.

Відзначимо, що обидва$\mathbb{R}$ і$\emptyset$ задовольняють визначенню замкнутого набору.

Пропозиція$\PageIndex{5}$

Набір$C \subset \mathbb{R}$ закривається тоді і тільки тоді$\mathbb{R} \backslash C$, коли відкритий.

Доказ

$C$Припустімо закритий і нехай$U=\mathbb{R} \backslash C .$ Якщо$C=\mathbb{R},$ тоді$U=\emptyset,$ який відкритий; якщо$C=\emptyset,$ тоді$U=\mathbb{R},$ який відкритий. Таким чином, ми можемо припустити, що обидва$C$ і$U$ є непорожніми. Нехай$x \in U .$ Тоді не$x$ є граничною точкою$C,$ тому існує$\epsilon>0$ таке, що

$$(x-\epsilon, x+\epsilon) \cap C=\emptyset.$$

Таким чином

$$(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U,$$

так$U$ відкрито.

Тепер припустимо$U=\mathbb{R} \backslash C$, відкрито. Якщо$U=\mathbb{R},$ то$C=\emptyset,$ який закритий; якщо$U=\emptyset,$ потім$C=\mathbb{R},$, який закритий. Таким чином, ми можемо припустити, що обидва$U$ і$C$ є непорожніми. Нехай$x$ буде граничною точкою$C .$ Тоді, для кожного$\epsilon>0$,

$$(x-\epsilon, x+\epsilon) \cap C \neq \emptyset .$$

Значить, не існує$\epsilon>0$ такого, що

$$(x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U.$$

При цьому$x \notin U,$ так$x \in C$ і$C$ закривається. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{4}$

Бо$n=1,2,3, \ldots,$ нехай$I_{n}=\left(-\frac{1}{n}, \frac{n+1}{n}\right) .$ є

$$\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}$$

відкритий або закритий?

Вправа$\PageIndex{5}$

Бо$n=3,4,5, \ldots,$ нехай$I_{n}=\left[\frac{1}{n}, \frac{n-1}{n}\right] .$ є

$$\bigcup_{n=3}^{\infty} I_{n}$$

відкритий або закритий?

Вправа$\PageIndex{6}$

Припустимо, для$n=1,2,3, \ldots,$ інтервалів$I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right]$ такі, що$I_{n+1} \subset I_{n} .$ якщо$a=\sup \left\{a_{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}$ і$b=\inf \left\{b_{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\right\},$ показати, що

$$\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=[a, b].$$

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайти послідовність$I_{n}, n=1,2,3, \ldots,$ замкнутих інтервалів таку, що$I_{n+1} \subset I_{n}$ для$n=1,2,3, \ldots$ і

$$\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=\emptyset.$$

Вправа$\PageIndex{8}$

Знайти послідовність$I_{n}, n=1,2,3, \ldots,$ обмежених, відкритих інтервалів, таких, що$I_{n+1} \subset I_{n}$ для$n=1,2,3, \ldots$ і

$$\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=\emptyset .$$

Вправа$\PageIndex{9}$

Припустимо,$A_{i} \subset \mathbb{R}, i=1,2, \ldots, n,$ і нехай$B=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i} .$ Показати, що

$$\overline{B}=\bigcup_{i=1}^{n} \overline{A_{i}}.$$

Вправа$\PageIndex{10}$

Припустимо$A_{i} \subset \mathbb{R}, i \in \mathbb{Z}^{+},$ і нехай

$$B=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}.$$

Покажіть, що

$$\bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{A_{i}} \subset \overline{B} .$$

Знайдіть приклад, для якого

$$\overline{B} \neq \bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{A_{i}}.$$

Вправа$\PageIndex{11}$

Припустимо,$U \subset \mathbb{R}$ це непорожній відкритий набір. Для кожного$x \in U,$ нехай

$$J_{x}=\bigcup(x-\epsilon, x+\delta),$$

де союз береться за все$\epsilon>0$ і$\delta>0$ таке, що$(x-\epsilon, x+\delta) \subset U$.

а. показати, що для кожного$x, y \in U,$ або$J_{x} \cap J_{y}=\emptyset$ або$J_{x}=J_{y}$.

б. показати, що

$$U=\bigcup_{x \in B} J_{x},$$

де$B \subset U$ є або скінченним, або підрахунковим.