1.6: Застосування аксіоми повноти
- Page ID
- 61862
Доведено декілька фундаментальних властивостей дійсних чисел, які є прямими наслідками аксіоми Повноти.
Імовірності, присвоєні подіям функцією розподілу на вибірковий простір, задаються.
- Доказ
-
Припустимо протиріччя,\(\mathbb{N}\) яке обмежене вище. Так як\(\mathbb{N}\) непорожній,
\[\alpha=\sup \mathbb{N}\]
існує і є дійсним числом. За пропозицією 1.5.1 (з\(\varepsilon=1\)) існує\(n \in \mathbb{N}\) таке, що
\[\alpha-1<n \leq \alpha.\]
Але потім\(n+1>\alpha\). Це протиріччя, оскільки\(n+1\) є натуральним числом. \(\square\)
Наступна теорема представляє кілька безпосередніх наслідків.
Наступні трюми:
- Для будь-якого\(x \in \mathbb{R}\) існує\(n \in \mathbb{R}\) таке, що\(x<n\);
- Для будь-якого\(\varepsilon>0\) існує\(n \in \mathbb{R}\) таке, що\(1 / n<\varepsilon\);
- Для будь-якого\(x>0\) і для будь-якого існує\(n \in \mathbb{N}\) таке\(y \in \mathbb{R}\), що\(y<nx)\);
- Для будь-якого\(x \in \mathbb{R}\) існує\(m \in \mathbb{Z}\) таке, що\(m-1 \leq x<m\).
- Доказ
-
(а) Виправте будь-який\(x \in \mathbb{R}\). Оскільки\(\mathbb{N}\) не обмежений вище,\(x\) не може бути верхньою межею\(\mathbb{N}\). При цьому існує\(n \in \mathbb{N}\) таке, що\(x<n\).
(б) Виправте будь-який\(\varepsilon>0\). Тоді\(1 / \varepsilon\) - дійсне число. За (1) існує\(n \in \mathbb{N}\) таке, що
\(1 / \varepsilon<n\)
Це має на увазі\(1 / n<\varepsilon\).
(c) Нам потрібно лише застосувати (а) для дійсного числа\(y / x\).
(г) Спочатку розглянемо випадок, де\(x>0\). Визначаємо набір
\(A=\{n \in \mathbb{N}: x<n\}\)
З частини (а),\(A\) є непорожнім. Оскільки\(A\) є підмножиною\(\mathbb{N}\), за властивістю Well-Ordering натуральних чисел,\(A\) має найменший елемент\(\ell\). Зокрема,\(x<\ell\) і не\(\ell-1\) знаходиться в\(A\). З тих пір\(\ell \in \mathbb{N}\), або\(\ell-1 \in \mathbb{N}\) або\(\ell-1=0\). Якщо\(\ell-1 \in \mathbb{N}\), з тих пір\(\ell-1 \notin A\) отримаємо\(\ell-1 \leq x\). Якщо\(\ell-1=0\), у нас є\(\ell-1=0<x\). Тому в обох випадках ми маємо\(\ell-1 \leq x<\ell\) і висновок випливає с\(m= \ell\).
У\(x \leq 0\) випадку за частиною (1) існує\(N \in \mathbb{N}\) таке, що
\(|x|<N\).
В даному випадку\(-N<x<N\), так\(x+N>0\). Потім, за результатом тільки що отриманого для позитивних чисел, існує натуральне число\(k\) таке, що\(k-1 \leq x+N<k\). Це має на увазі
\(k-N-1 \leq x<k-N\).
Поставивши\( m=k-N\), висновок випливає. Зараз доказ завершено. \(\square\)
Нехай\(A=\sup \left\{1-\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}\). Ми стверджуємо, що\(\sup A=1\).
Рішення
Ми використовуємо Пропозиція 1.5.1. Так як\(1-1 / n<1\) для всіх\(n \in \mathbb{N}\), ми отримуємо умова (1'). next, нехай\(\varepsilon>0\). З теореми 1.6.2 (b) ми можемо знайти\(n \in \mathbb{N}\) таке, що\(\frac{1}{n}<\varepsilon\). Тоді
\[1-\varepsilon<1-\frac{1}{n}.\]
Це доводить умову (2') з\(a=1-\frac{1}{n}\) і завершує доказ.
Якщо\(x\) і\(y\) два дійсних числа такі\(x<y\), що, то існує існує раціональне число\(r\) таке, що
\[x<r<y.\]
- Доказ
-
Ми збираємося довести, що існує ціле\(m\) і додатне ціле число\(n\) такі, що
\[x<m / n<y,\]
або, рівнозначно,
\[n x<m<n y=n x+n(y-x)\]
Оскільки\(y-x>0\), за теоремою 1.6.2 (3), існує\(n \in \mathbb{N}\) таке, що\(1<n(y-x)\). Тоді
\[n y=n x+n(y-x)>n x+1.\]
За теоремою 1.6.2 (4) можна вибрати\(m \in \mathbb{Z}\) таке, що
\[m-1 \leq n x<m.\]
Потім\(n x<m \leq n x+1<n y\). Тому,
\[x<m / n<y.\]
Зараз доказ завершено. \(\square\)
Ми доведемо в наступному розділі (див. Приклади 3.4.2 та 4.3.1), що існує (унікальне) додатне дійсне число\(x\) таке, що\(x^{2}=2\). Позначимо це число по\(\sqrt{2}\). Наступні результати свідчать, зокрема, про це\(\mathbb{R} \neq \mathbb{Q}\).
Число\(\sqrt{2}\) нераціональне.
- Доказ
-
Припустимо, шляхом протиріччя, що\(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\). Тоді є цілі числа\(r\) і\(s\) з\(s \neq 0\), такі, що
\[\sqrt{2}=\frac{r}{s}.\]
Скасувавши загальні фактори\(r\) і\(s\), ми можемо припустити, що\(r\) і не\(s\) мають загальних факторів.
Тепер, склавши квадрат обидві сторони рівняння вище, ми отримуємо
\[2=\frac{r^{2}}{s^{2}},\]
і, отже,
\[2 s^{2}=r^{2}.\]
Звідси випливає, що\(r^{2}\) є парним цілим числом. Отже,\(r\) є парним цілим числом (див. Вправа 1.4.1). Потім ми можемо написати\(r=2j\) для деякого цілого числа\(j\). Звідси\(r^{2}=4j^{2}\). Підставивши в (1.3), отримуємо\(s^{2}=2 j^{2}\). Тому\(s^{2}\) є рівним. Ми робимо висновок, як і раніше,\(s\) що навіть. Таким чином, обидва\(r\) і\(s\) мають спільний фактор, який є протиріччям. \(\square\)
Наступна теорема показує, що ірраціональні числа так само повсюдно, як і раціональні числа.
\(y\)Дозволяти\(x\) і бути два дійсних числа такі, що\(x<y\). Тоді існує ірраціональне число\(t\) таке, що
\[x<t<y.\]
- Доказ
-
З тих пір\(x<y\), один має
\[x-\sqrt{2}<y-\sqrt{2}\]
За теоремою 1.6.3 існує раціональне число\(r\) таке, що
\[x-\sqrt{2}<r<y-\sqrt{2}\]
Це має на увазі
\[x<r+\sqrt{2}<y.\]
Оскільки\(r\) є раціональним,\(t=r+\sqrt{2}\) то число ірраціональне (див. Вправа 1.6.4) і\(x<t<y\). \(\square\)
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Для кожного набору нижче визначте, чи обмежений він вище, обмежений нижче, або обидва. Якщо вона обмежена вище (нижче), знайдіть супремум (infimum). Обгрунтуйте всі свої висновки.
- \(\left\{\frac{3 n}{n+4}: n \in \mathbb{N}\right\}\)
- \(\left\{(-1)^{n}+\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}\)
- \(\left\{(-1)^{n}-\frac{(-1)^{n}}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}\)
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Вправа\(\PageIndex{2}\)
\(r\)Дозволяти раціональне число таке, що\(0<r<1\). Доведіть, що є\(n \in \mathb{N}\) таке, що
\[\frac{1}{n+1}<r \leq \frac{1}{n}.\]
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Нехай\(x \in \mathbb{R}\). Доведіть, що для кожного\(n \in \mathbb{N}\), є\(r \in \mathbb{Q}\) таке, що\(|x-r|<\frac{1}{n}\).
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Вправа\(\PageIndex{4}\)
Доведіть, що якщо\(x\) є раціональним числом і\(y\) є ірраціональним числом, то\(x+y\) є ірраціональним. Про що можна сказати\(xy\)?
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Доведіть, що між двома дійсними числами\(a\) і\(b\) з\(a<b\), є нескінченно багато раціональних чисел.
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Вправа\(\PageIndex{6}\)
Доведіть, що між двома дійсними числами\(a\) і\(b\) з\(a<b\), є нескінченно багато ірраціональних чисел.
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.