2.4: Теорема Болазно-Вейєрштрасса
- Page ID
- 61796
Теорема Больцано-Вейєрштрасса знаходиться в основі багатьох результатів аналізу. вона, по суті, еквівалентна аксіомі повноти дійсних чисел.
Кожна обмежена послідовність\(\left\{a_{n}\right\}\) дійсних чисел має збіжну підпослідовність.
- Доказ
-
Припустимо,\(\left\{a_{n}\right\}\) це обмежена послідовність. Визначити\(A=\left\{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right\}\) (набір значень послідовності\(\left\{a_{n}\right\}\)). Якщо\(A\) кінцевий, то хоча б один з елементів\(A\), скажімо\(x\), повинен дорівнювати\(a_{n}\) для нескінченно багатьох варіантів вибору\(n\). Точніше,\(B_{x}=\left\{n \in \mathbb{N}: a_{n}=x\right\}\) нескінченно. Потім ми можемо визначити збіжну підпослідовність наступним чином. Підібрати\(n_{1}\) такий, що\(a_{n_{1}}=x\). Тепер, оскільки\(B_{x}\) це нескінченно, ми можемо вибрати\(n_{2}>n_{1}\) таке, що\(a_{n_{2}}=x\). Продовжуючи таким чином, ми можемо визначити підпослідовність,\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) яка є постійною, рівною\(x\) і, таким чином, сходиться до\(x\).
Припустимо, що тепер\(A\) це нескінченно. Спочатку спостерігають там існують\(c, d \in \mathbb{R}\) такі\(n \in \mathbb{N}\), що\(c \leq a_{n} \leq d\) для всіх, тобто\(A \subset[c, d]]\).
Визначимо послідовність непорожніх вкладених замкнутих обмежених інтервалів наступним чином. Набір\(I_{1}=[c, d]\). Далі розглянемо два підінтервала\(\left[c, \frac{c+d}{2}\right]\) і\(\left[\frac{c+d}{2}, d\right]\). Оскільки\(A\) є нескінченним, принаймні один з\(A \cap\left[c, \frac{c+d}{2}\right]\) або\(A \cap\left[\frac{c+d}{2}, d\right]\) є нескінченним. Нехай\(I_{2}=\left[c, \frac{c+d}{2}\right]\)\(A \cap\left[c, \frac{c+d}{2}\right]\) це нескінченно і\(I_{2}=\left[\frac{c+d}{2}, d\right]\) інакше. Продовжуючи таким чином, ми будуємо вкладену послідовність непорожніх закритих обмежених інтервалів,\(\left\{I_{n}\right\}\) таких як\(I_{n} \cap A\) нескінченна, а довжина\(I_{n}\) має тенденцію до 0 як\(n \rightarrow \infty\).
Тепер будуємо потрібну підпослідовність\(\left\{a_{n}\right\}\) наступним чином. Нехай\(n_{1}=1\). Вибирайте\(n_{2}>n_{1}\) такі, що\(a_{n_{2}} \in I_{2}\). Це можливо, оскільки\(I_{2} \cap A\) нескінченно. Далі вибираємо\(n_{3}>n_{2}\) таку, що\(a_{n_{3}} \in I_{3}\). Таким чином отримуємо\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) таку підпослідовність, що\(a_{n_{k}} \in I_{k}\) для всіх\(k \in \mathbb{N}\).
Набір\(I_{n}=\left[c_{n}, d_{n}\right]\). Потім\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(d_{n}-c_{n}\right)=0\). Ми також знаємо з доказу теореми монотонної збіжності (теорема 2.3.1), яка\(\left\{c_{n}\right\}\) сходиться. Скажи\(\ell=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}\). Таким чином,\(\lim _{n \rightarrow \infty} d_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(d_{n}-c_{n}\right)+c_{n}\right]=\ell\) також. Оскільки\(c_{k} \leq a_{n_{k}} \leq d_{k}\) для всіх\(k \in \mathbb{N}\) з теореми 2.1.5 випливає, що\(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=\ell\). На цьому доказ завершено. \(\square\)
\(\left\{a_{n}\right\}\)Послідовність дійсних чисел називається послідовністю Коші\(\varepsilon>0\), якщо для будь-якого існує додатне ціле число\(N\) таке, що для будь-якого\(m, n \geq N\), один має
\[\left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon.\]
Конвергентна послідовність - це послідовність Коші.
- Доказ
-
\(\left\{a_{n}\right\}\)Дозволяти збіжну послідовність і нехай
\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a.\]
Тоді для будь-якого\(\varepsilon>0\), існує додатне ціле число\(N\) таке, що
\[\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon / 2 \text { for all } n \geq N.\]
Для будь-якого\(m, n \geq N\), один має
\[\left|a_{m}-a_{n}\right| \leq\left|a_{m}-a\right|+\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon / 2+\varepsilon / 2=\varepsilon.\]
Таким чином,\(\left\{a_{n}\right\}\) є послідовність Коші. \(\square\)
Послідовність Коші обмежена.
- Доказ
-
\(\left\{a_{n}\right\}\)Дозволяти бути послідовність Коші. Тоді для\(\varepsilon=1\), існує додатне ціле число\(N\) таке, що
\[\left|a_{m}-a_{n}\right|<1 \text { for all } m, n \geq N\]
Зокрема,
\[\left|a_{n}-a_{N}\right|<1 \text { for all } n \geq N.\]
Нехай\(M=\max \left\{\left|a_{1}\right|, \ldots,\left|a_{N-1}\right|, 1+\left|a_{N}\right|\right\}\). Тоді, для\(n=1, \ldots, N-1 \text {, we clearly have } \left|a_{n}\right| \leq M\) .Крім того, для\(n \geq N\),
\[\left|a_{n}\right|=\left|a_{n}-a_{N}+a_{N}\right| \leq\left|a_{n}-a_{N}\right|+\left|a_{N}\right| \leq 1+\left|a_{N}\right| \leq M.\]
Тому\(\left|a_{n}\right| \leq M\) для всіх\(n \in \mathbb{N}\) і, таким чином,\(\left\{a_{n}\right\}\) обмежена. \(\square\)
Послідовність Коші, яка має збіжну підпослідовність, є збіжною.
- Доказ
-
\(\left\{a_{n}\right\}\)Дозволяти послідовність Коші, яка має збіжну підпослідовність. Для будь-якого\(\varepsilon>0\) існує додатне ціле число\(N\) таке, що
\[\left|a_{m}-a_{n}\right| \leq \varepsilon / 2 \text { for all } m, n \geq N.\]
Таким чином, ми можемо знайти натуральне число\(n_{\ell}>N\) таке, що
\ [\ left|a_ {n_ {\ ell}} -а\ право|<\ варепсилон/2\).
Тоді для будь-якого\(n \geq N\), у нас є
\[\left|a_{n}-a\right| \leq\left|a_{n}-a_{n_{\ell}}\right|+\left|a_{n_{\ell}}-a\right|<\varepsilon.\]
Тому\(\left\{a_{n}\right\}\) сходиться до\(a\). \(\square\)
\(\left\{a_{n}\right\}\)Будь-яка послідовність Коші дійсних чисел є збіжною.
- Доказ
-
\(\left\{a_{n}\right\}\)Дозволяти бути послідовність Коші. Тоді вона обмежена теоремою 2.4.3. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса,\(\left\{a_{n}\right\}\) має збіжну підпослідовність. Тому він сходиться за Леммою 2.4.4. \(\square\)
З визначення 2.4.1 випливає, що\(\left\{a_{n}\right\}\) є послідовністю Коші, якщо і тільки якщо для кожного\(\varepsilon>0\), існує\(N \in \mathbb{N}\) така, що
\[\left|a_{n+p}-a_{n}\right|<\varepsilon \text { for all } n \geq N \text { and for all } p \in \mathbb{N}.\]
Послідовність\(\left\{a_{n}\right\}\) називається скорочувальної, якщо існує\(k \in[0,1)\) така, що
\[\left|a_{n+2}-a_{n+1}\right| \leq k\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \text { for all } n \in \mathbb{N}.\]
Кожна скорочувальна послідовність є збіжною.
- Доказ
-
За індукцією один має
\[\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leq k^{n-1}\left|a_{2}-a_{1}\right| \text { for all } n \in \mathbb{N}\]
Таким чином,
\ [\ почати {вирівняний}
\ ліво|a_ {n+p} -a_ {n}\ праворуч | &\ leq\ ліво|a_ {n+1} -a_ {n}\ право|+\ ліво|a_ {n+2} -a_ {n+1}\ право|+\ cdots+\ left|a_ {n+p} -a_ {n+p} -a_ {n++ p-1}\ праворуч |\\
&\ leq\ ліворуч (k^ {n-1} +k^ {n} +\ cdots+k^ {n+p-2}\ праворуч)\ ліворуч | a_ {2} -a_ {1}\ праворуч |\\
&\ leq k^ {n-1}\ ліворуч ( 1+k+k^ {2} +\ cdots+k^ {p-1}\ праворуч)\ вліво|a_ {2} -a_ {1}\ право|\\
&\ leq\ frac {k^ {n-1}}} {1-k}\ ліво|a_ {2} -a_ {1}\ праворуч |
\ кінець {вирівняний}.для всіх\(n,p \in \mathbb{N}\). Оскільки\(k^{n-1} \rightarrow 0\) як\(n \rightarrow \infty\) (незалежно від\(p\)),\(\left\{a_{n}\right\}\) це означає послідовність Коші і, отже, вона конвергентна. \(\square\)
Умова\(k<1\) в попередній теоремі має вирішальне значення. Розглянемо наступний приклад. Нехай\(a_{n}=\ln n\) для всіх\(n \in \mathbb{N}\).
Рішення
Так як\(1<\frac{n+2}{n+1}<\frac{n+1}{n}\) для всіх\(n \in \mathbb{N}\) і натуральний логарифм є зростаючою функцією, ми маємо
\ [\ почати {масив} {c}\ ліво|a_ {n+2} -a_ {n+1}\ праворуч |=|\ ln (n+2) -\ ln (n+1) |=\ ліворуч |\ ln\ ліворуч (\ frac {n+2} {n+1}\ вправо)\ праворуч | =\ ln\ ліворуч (\ frac {n+2} {n+1}\ вправо)\ праворуч | =\ ln\ ліворуч (\ frac {n+2}\ праворуч)\
<\ ln\ ліворуч (\ frac {n+1} {n}\ праворуч) =|\ ln (n+1) -\ ln n|=\ left|a_ {n+1} -a_ {n}\ right|
\ end {масив}. \ номер\]
Тому нерівність у визначенні 2.4.2 задовольняється\(k=1\), але послідовність\(\{\ln n\}\) не сходиться.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Визначте, які з наведених нижче послідовностей Коші.
- \(a_{n}=(-1)^{n}\).
- \(a_{n}=(-1)^{n} / n\).
- \(a_{n}=n /(n+1)\).
- \(a_{n}=(\cos n) / n\).
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Доведіть, що послідовність
\[a_{n}=\frac{n \cos \left(3 n^{2}+2 n+1\right)}{n+1}. \nonumber\]
має збіжну підпослідовність
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Нехай\(f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\) буде таким, що\(f(x)>0\) для всіх\(x\). Визначте
\[a_{n}=\frac{f(n)}{f(n)+1}. \nonumber\]
Доведіть, що послідовність\(a_{n}\) має збіжну підпослідовність
Вправа\(\PageIndex{4}\)
Визначте
\[a_{n}=\frac{1+2^{n}}{2^{n}} \text { for } n \in \mathbb{N}. \nonumber\]
Доведіть, що послідовність\(a_{n}\) є скорочувальною
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Дозвольте\(r \in \mathbb{R}\) бути таким, що\(|r|<1\). Визначте\(a_{n}=r^{n}\) для\(n \in \mathbb{N}\). Доведіть, що послідовність\(\left\{a_{n}\right\}\) є скорочувальною
Вправа\(\PageIndex{6}\)
Доведіть, що послідовність не\(\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) є скорочувальною