2.6: Відкриті набори, закриті набори, компактні набори та граничні точки
- Page ID
- 61824
Відкрита куля\(\mathbb{R}\) з центром\(a \in \mathbb{R}\) та радіусом\(\delta>0\) - це набір
\[B(a ; \delta)=(a-\delta, a+\delta).\]
Підмножина\(A\),\(\mathbb{R}\) як кажуть, відкрита\(a \in A\), якщо для кожного існує\(\delta>0\) така, що
\[B(a ; \delta) \subset A.\]
- Будь-який відкритий інтервал\(A=(c, d)\) відкритий. Дійсно\(a \in A\), для кожного один є\(c<a<d\).
- Набори\(A=(-\infty, c)\) і\(B=(c, \infty)\) відкриті, але\(C=[c, \infty)\) не відкриті.
Рішення
- Нехай
\[\delta=\min \{a-c, d-a\}.\]
Тоді
\[B(a ; \delta)=(a-\delta, a+\delta) \subset A.\]
Тому\(A\) відкрита.
- Читач може легко перевірити, що A і B відкриті. Давайте покажемо,\(C\) що не відкрито. Припускаємо протиріччя,\(C\) що відкрито. Тоді для елемента існує\(\delta>0\) таке\(c \in C\), що
\[B(c ; \delta)=(c-\delta, c+\delta) \subset C.\]
Однак це протиріччя тому\(c-\delta / 2 \in B(c ; \delta)\), але\(c-\delta / 2 \notin C\).
Наступні трюми:
- \(\emptyset\)Підмножини і\(\mathbb{R}\) відкриті.
- Об'єднання будь-якої колекції відкритих підмножин\(\mathbb{R}\) відкрито.
- Перетин скінченної кількості відкритих підмножин\(\mathbb{R}\) відкрито.
- Доказ
-
Доказ (а) є простим.
(b) Припустимо,\(\left\{G_{\alpha}: \alpha \in I\right\}\) є довільною колекцією відкритих підмножин\(\mathbb{R}\). Це означає,\(G_{\alpha}\) що відкрито для кожного\(\alpha \in I\). Давайте покажемо, що набір
\[G=\bigcup_{\alpha \in I} G_{\alpha}\]
відкритий. Візьміть будь-який\(a \in G\). Тоді існує\(\alpha_{0} \in I\) таке, що
\[a \in G_{\alpha_{0}}.\]
Так як\(G_{\alpha_{0}}\) відкритий, існує\(\delta>0\) таке, що
\[B(a ; \delta) \subset G_{\alpha_{0}}\]
Це має на увазі
\[B(a ; \delta) \subset G\]
тому що\(G_{\alpha_{0}} \subset G\). Таким чином,\(G\) є відкритим.
(c) Припустимо\(G_{i}, i=1, \ldots, n\), є відкритими підмножинами\(\mathbb{R}\). Давайте покажемо, що набір
\[G=\bigcap_{i=1}^{n} G_{i}\]
також відкритий. Візьміть будь-який\(a \in G\). Тоді\(a \in G_{i}\) для\(i=1, \ldots, n\). Так як кожен\(G_{i}\) відкритий, існує\(\delta_{i}>0\) таке, що
\[B\left(a ; \delta_{i}\right) \subset G_{i}.\]
Нехай\(\delta=\min \left\{\delta_{i}: i=1, \ldots, n\right\}\). Потім\(\delta>0\) і
\[B(a ; \delta) \subset G.\]
Таким чином,\(G\) є відкритим. \(\square\)
Підмножина\(S\)\(\mathbb{R}\) називається замкнутим, якщо його доповнення,\(S^{c}=\mathbb{R} \backslash S\), відкрито.
Набори\([a, b]\)\((-\infty, a]\), і\([a, \infty)\) закриваються.
Рішення
Дійсно,\((-\infty, a]^{c}=(a, \infty)\) і\([a, \infty)^{c}=(-\infty, a)\) які відкриті за прикладом 2.6.1. З тих пір\([a, b]^{c}=(-\infty, a) \cup(b, \infty)\),\([a, b]^{c}\) відкритий по теоремі 2.6.1. Крім того, одноелементні набори закриваються, так як, скажімо,\(\{b\}^{c}=(-\infty, b) \cup(b, \infty)\).
Наступні трюми:
- Набори\(\emptyset\) і\(\mathbb{R}\) закриваються.
- Перетин будь-якої колекції замкнутих підмножин\(\mathbb{R}\) закрито.
- Об'єднання скінченного числа замкнутих підмножин\(\mathbb{R}\) замкнуто.
- Доказ
-
Докази для них прості, використовуючи закон Де Моргана. Доведемо, наприклад, (b). Нехай\(\left\{S_{\alpha}: \alpha \in I\right\}\) буде колекція закритих наборів. Доведемо, що безліч
\[S=\bigcap_{\alpha \in I} S_{\alpha}\]
також закритий. У нас є
\[S^{c}=\left(\bigcap_{\alpha \in I} S_{\alpha}\right)^{c}=\bigcup_{\alpha \in I} S_{\alpha}^{c}.\]
Таким чином,\(S^{c}\) відкритий, оскільки це об'єднання відкритих множин в\(\mathbb{R}\) (Теорема 2.6.1 (b)). Тому\(S\) закривається. \(\square\)
З частини (c) і Прикладу 2.6.2 випливає, що будь-яка кінцева множина закрита.
Рішення
Додайте сюди текст.
Підмножина\(A\)\(\mathbb{R}\) закривається тоді і лише тоді, коли для будь-якої послідовності\(\left\{a_{n}\right\}\)\(A\), яка збігається з точкою\(a \in \mathbb{R}\), випливає, що\(a \in A\).
- Доказ
-
Припустимо,\(A\) це\(\mathbb{R}\) замкнута підмножина і\(\left\{a_{n}\right\}\) є послідовністю\(A\), яка сходиться до\(a\). Припустимо, протиріччям, що\(a \notin A\). Так як\(A\) закритий, існує\(\varepsilon>0\) таке, що\(B(a ; \varepsilon)=(a-\varepsilon, a+\varepsilon) \subset A^{c}\). Оскільки\(\left\{a_{n}\right\}\) сходиться до\(a\), існує\(N \in \mathbb{N}\) таке, що
\[a-\varepsilon<a_{N}<a+\varepsilon.\]
Це має на увазі\(a_{N} \in A^{c}\), протиріччя.
Давайте тепер доведемо зворотне. Припустимо, протиріччям,\(A\) що не закрито. Тоді\(A^{c}\) не відкрито. Так як не\(A^{c}\) відкритий, існує\(a \in A^{c}\) таке, що для будь-якого\(\varepsilon>0\), у одного є\(B(a ; \varepsilon) \cap A \neq \emptyset\). Зокрема, для такого\(a\) і для кожного\(n \in \mathbb{N}\) існує\(a_{n} \in B\left(a ; \frac{1}{n}\right) \cap A\). Зрозуміло, що послідовність\(\left\{a_{n}\right\}\) є в\(A\) і вона сходиться до\(a\) (тому що\(\left|a_{n}-a\right|<\frac{1}{n}\), для всіх\(n \in \mathbb{N}\)). Це протиріччя, оскільки\(a \notin A\). Тому\(A\) закривається. \(\square\)
Якщо\(A\) є непорожньою підмножиною\(\mathbb{R}\), яка замкнута і обмежена вище, то\(\max A\) існує. Аналогічно, якщо\(A\) є непорожньою підмножиною\(\mathbb{R}\), яка закрита і обмежена нижче, то\(\min A\) існує
- Доказ
-
\(A\)Дозволяти бути непорожнім замкнутим набором, який обмежений вище. Тоді\(\sup A\) існує. Нехай\(m = \sup A\). Щоб завершити доказ, ми це покажемо\(m \in A\). Припустимо за протиріччям\(m \in A^{c}\), що\(m \notin A\). то, який є відкритим набором. Так існує\(\delta>0\) таке, що
\[(m-\delta, m+\delta) \subset A^{c}.\]
Це означає, що не існує\(a \in A\) з
\[m-\delta<a \leq m.\]
Це суперечить тому, що\(m\) є найменшою верхньою межею\(A\) (див. Пропозицію 1.5.1). Тому\(max A\) існує. \(square\)
Підмножина\(A\)\(\mathbb{R}\) називається компактною, якщо для кожної послідовності\(\left\{a_{n}\right\}\) в існує підпослідовність\(A\),\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) яка сходиться до точки\(a \in A\). 1
Нехай\(a, b \in \mathbb{R}\),\(a \leq b\). Ми показуємо, що набір\(A=[a, b]\) компактний. \(\left\{a_{n}\right\}\)Дозволяти бути послідовність в\(A\). Так як\(a \leq a_{n} \leq b\) для всіх\(n\), то послідовність обмежена. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса (теорема 2.4.1) можна отримати збіжну підпослідовність\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\). Скажімо,\(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=s\). Тепер ми повинні це показати\(s \in A\). Оскільки\(a \leq a_{n_{k}} \leq b\) для всіх\(k\) з теореми 2.1.5 випливає, що\(a \leq s \leq b\) і, отже, за\(s \in A\) бажанням. Робимо висновок,\(A\) що компактний.
Рішення
\(\left\{a_{n}\right\}\)Дозволяти бути послідовність в\(A\). Так як\(a \leq a_{n} \leq b\) для всіх\(n\), то послідовність обмежена. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса (теорема 2.4.1) можна отримати збіжну підпослідовність\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\). Скажімо,\(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=s\). Тепер ми повинні це показати\(s \in A\). Оскільки\(a \leq a_{n_{k}} \leq b\) для всіх\(k\) з теореми 2.1.5 випливає, що\(a \leq s \leq b\) і, отже, за\(s \in A\) бажанням. Робимо висновок,\(A\) що компактний.
Підмножина\(A\)\(\mathbb{R}\) компактна тоді і лише тоді, коли вона замкнута та обмежена.
- Доказ
-
Припустимо,\(A\) це компактна підмножина\(\mathbb{R}\). Давайте спочатку покажемо,\(A\) що обмежено. Припустимо, протиріччям,\(A\) що не обмежується. Тоді для кожного\(n \in \mathbb{N}\) існує\(a_{n} \in A\) таке, що
\[\left|a_{n}\right| \geq n.\]
Оскільки\(A\) компактний, існує підпослідовність,\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) яка сходиться до деякої\(a \in A\), яка сходиться до деякої\(a \in A\). Тоді
\[\left|a_{n_{k}}\right| \geq n_{k} \geq k \quad \text { for all } k.\]
Тому,\(\lim _{k \rightarrow \infty}\left|a_{n_{k}}\right|=\infty\). Це протиріччя, тому що\(\left\{\left|a_{n_{k}}\right|\right\}\) сходиться до\(|a|\). Таким\(A\) чином обмежується.
Давайте тепер покажемо,\(A\) що закрито. \(\left\{a_{n}\right\}\)Дозволяти послідовність в\(A\) тому, що сходиться до точки\(a \in \mathbb{R}\). За визначенням компактності,\(\left\{a_{n}\right\}\) має підпослідовність,\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) яка сходиться до\(b \in A\). Потім\(a=b \in A\) і, отже,\(A\) закривається теоремою 2.6.3.
Для зворотного, припустимо,\(A\) замкнутий і обмежений і нехай\(\left\{a_{n}\right\}\) буде послідовність в\(A\). Оскільки\(A\) обмежена, послідовність обмежена і за теоремою Больцано-Вейєрштрасса (Теорема 2.4.1) вона має збіжну підпослідовність,\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\). Скажімо,\(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=a\). Тепер випливає з теореми 2.6.3, що\(a \in A\). Це показує, що\(A\) компактний за бажанням. \(\square\)
(Кластер/ліміт/точка накопичення). \(A\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}\). Точка\(a \in \mathbb{R}\) (не обов'язково в\(A\)) називається граничною точкою\(A\) якщо для будь-якої\(\delta>0\), то відкритий куля\(B(a ; \delta)\) містить нескінченну кількість точок\(A\).
Точка\(a \in A\), яка не є точкою накопичення\(A\) називається ізольованою точкою\(A\).
- Нехай\(A=[0,1)\).
- Нехай\(A = \mathbb{Z}\).
- Нехай\(A=\{1 / n: n \in \mathbb{N}\}\). Тоді\(a=0\) є єдиною граничною точкою\(A\). Всі елементи\(A\) є ізольованими точками.
Рішення
- Тоді\(a=0\) є граничною точкою\(A\) і також\(b=1\) є граничною точкою\(A\). По суті, будь-яка точка інтервалу\([0,1]\) є граничною точкою\(A\). Набір не\([0,1)\) має ізольованих точок.
- Тоді\(A\) не має ніяких граничних точок. Кожен елемент\(\mathbb{Z}\) є ізольованою точкою\(\matbb{Z}\).
- Тоді\(a=0\) є єдиною граничною точкою\(A\). Всі елементи\(A\) є ізольованими точками.
Якщо\(G\) є відкритою підмножиною,\(\mathbb{R}\) то кожна точка\(G\) є граничною точкою\(G\).
Рішення
Насправді, вірно більше. Якщо\(G\) відкритий і\(a \in G\), то\(a\) є граничною точкою\(G \backslash\{a\}\). Дійсно, нехай\(\delta>0\) буде таким, що\(B(a ; \delta) \subset G\). Тоді\((G \backslash\{a\}) \cap B(a ; \delta)=(a-\delta, a) \cup(a, a+\delta)\) і, таким чином,\(B(a ; \delta)\) містить нескінченну кількість точок\(G \backslash\{a\}\).
Наступна теорема є варіацією теореми Больцано-Вейєрштрасса.
Будь-яка нескінченна обмежена підмножина\(\mathbb{R}\) має принаймні одну граничну точку.
- Доказ
-
\(A\)Дозволяти бути нескінченною підмножиною\(\mathbb{R}\) і нехай\(\left\{a_{n}\right\}\) бути послідовність\(A\) таких, що
\[a_{m} \neq a_{n} \text { for } m \neq n\]
(Див. Теорему 1.2.7). Оскільки\(\left\{a_{n}\right\}\) обмежена теоремою Больцано-Вейєрштрасса (теорема 2.4.1), вона має збіжну підпослідовність\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\). Набір\(b=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}\). Враховуючи\(\delta>0\), існує\(K \in \mathbb{N}\) таке, що\(a_{n_{k}} \in B(b ; \delta)\) для\(k \geq K\). Оскільки множина\(\left\{a_{n_{k}}: k \geq K\right\}\) нескінченна, то випливає, що\(b\) є граничною точкою\(A\). \(\square\)
Наступні визначення та результати дають основу для обговорення збіжності всередині підмножин\(\mathbb{R}\).
\(D\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}\). Ми говоримо, що\(V\) підмножина\(D\) відкрито в\(D\) якщо для кожного\(a \in V\), існує\(\delta >0\) таке, що
\[B(a ; \delta) \cap D \subset V.\]
\(D\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}\). Підмножина\(V\) відкрита тоді,\(D\) коли і тільки якщо існує відкрита підмножина\(G\)\(\mathbb{R}\) такого, що\(D\)
\[V=D \cap G.\]
- Доказ
-
\(V\)Припустимо, відкритий в\(D\). За визначенням, для кожного\(a \in V\) існує\(\delta_{a}>0\) таке, що
\[B\left(a ; \delta_{a}\right) \cap D \subset V.\]
Визначте
\[G=\cup_{a \in V} B\left(a ; \delta_{a}\right)\]
Потім\(G\) є об'єднання відкритих підмножин\(\mathbb{R}\), так що\(G\) відкрито. Більш того,
\[V \subset G \cap D=\cup_{a \in V}\left[B\left(a ; \delta_{a}\right) \cap D\right] \subset V.\]
Тому,\(V=G \cap D\).
Давайте тепер доведемо зворотні. Припустимо\(V=G \cap D\)\(G\), де відкритий набір. Для будь-якого\(a \in V\), у нас є\(a \in G\), так існує\(\delta>0\) таке, що
\[B(a ; \delta) \subset G.\]
Звідси випливає, що
\[B(a ; \delta) \cap D \subset G \cap D=V.\]
Зараз доказ завершено. \(\square\)
Нехай\(D=[0,1)\) і\(V=\left[0, \frac{1}{2}\right)\).
Рішення
Ми можемо написати\(V=D \cap\left(-1, \frac{1}{2}\right)\). Оскільки\(\left(-1, \frac{1}{2}\right)\) відкритий в\(\mathbb{R}\), ми робимо висновок з теореми 2.6.7,\(V\) яка відкрита в\(D\). Зверніть увагу, що\(V\) сама по собі не є відкритою підмножиною\(\mathbb{R}\).
Наступна теорема зараз є прямим наслідком теорем 2.6.7 і 2.6.1.
\(D\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}\). Наступні трюми:
- \(\emptyset\)Підмножини і\(D\) відкриті в\(D\).
- Відкрито об'єднання будь-якої колекції відкритих\(D\) наборів в\(D\).
- Перетин скінченної кількості відкритих множин в\(D\) відкрито в\(D\).
- Доказ
-
Додайте сюди доказ, і він автоматично буде прихований
\(D\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}\). Ми говоримо, що\(A\) підмножина\(D\) закривається в\(D\) якщо\(D \backslash A\) відкритий в\(D\).
Підмножина\(K\)\(D\) закривається в тому випадку,\(D\) якщо і тільки якщо існує замкнута підмножина\(F\)\(mathbb{R}\) такого, що
\[K=D \cap F.\]
- Доказ
-
Припустимо,\(K\) це закритий набір в\(D\). Потім\(D \backslash K\) відкрито в\(D\). За теоремою 2.6.7 існує відкрита множина\(G\) така, що
\[D \backslash K=D \cap G.\]
Звідси випливає, що
\[K=D \backslash(D \backslash K)=D \backslash(D \cap G)=D \backslash G=D \cap G^{c}.\]
Нехай\(F=G^{c}\). Потім\(F\) є замкнутим підмножиною\(\mathbb{R}\) і\(K=D \cap F\).
І навпаки, припустимо, що існує замкнута\(F\) підмножина\(\mathbb{R}\) такого, що\(K=D \cap F\). Тоді
\[D \backslash K=D \backslash(D \cap F)=D \backslash F=D \cap F^{c}.\]
Оскільки\(F^{c}\) є відкритою підмножиною\(\mathbb{R}\), застосовуючи теорему 2.6.7 знову, один має\(D \backslash K\) відкритий в\(D\).
Тому\(K\) закривається\(D\) за визначенням. \(\square\)
Нехай\(D=[0,1)\) і\(K=\left[\frac{1}{2}, 1\right)\).
Рішення
Ми можемо написати\(K=D \cap\left[\frac{1}{2}, 2\right]\). \(\left[\frac{1}{2}, 2\right]\)Оскільки замкнута в\(\mathbb{R}\), ми робимо висновок з теореми 2.6.9,\(K\) яка закрита в\(D\). Зверніть увагу, що\(K\) сама по собі не є закритою підмножиною\(\mathbb{R}\).
\(D\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}\). Підмножина\(K\)\(D\) закривається в\(D\) if і тільки тоді, коли для кожної послідовності\(\left\{x_{k}\right\}\) в цьому\(K\) збігається з точкою, що\(\bar{x} \in D\) випливає з цього\(\bar{x} \in K\).
- Доказ
-
\(D\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}\) Припустимо\(K\) закритий в\(D\). За теоремою 2.6.9 існує замкнута підмножина\(F\)\(\mathbb{R}\) таких, що
\[K=D \cap F.\]
\(\left\{x_{k}\right\}\)Дозволяти послідовність в\(K\) тому, що сходиться до точки\(\bar{x} \in D\). Оскільки також\(\left\{x_{k}\right\}\) є послідовністю в\(F\) і\(F\) є замкнутою підмножиною\(\mathbb{R}\),\(\bar{x} \in F\). Таким чином,\(\bar{x} \in D \cap F=K\).
Доведемо зворотне. Припустимо, протиріччя,\(K\) яке не\(D \backslash K\) закрито\(D\) або не відкрито в\(D\). Тоді існує\(\bar{x} \in D \backslash K\) таке\(\delta>0\), що для кожного
\[B(\bar{x} ; \delta) \cap D \nsubseteq D \backslash K.\]
Зокрема, для кожного\(k \in \mathbb{N}\),
\[B\left(\bar{x} ; \frac{1}{k}\right) \cap D \nsubseteq D \backslash K.\]
Для кожного\(k \in \mathbb{N}\) вибирайте\(x_{k} \in B\left(\bar{x} ; \frac{1}{k}\right) \cap D\) таку, що\(x_{k} \notin D \backslash K\). Потім\(\left\{x_{k}\right\}\) йде послідовність в\(K\) і, крім того,\(\left\{x_{k}\right\}\) сходиться до\(\bar{x} \in D\). Потім\(\bar{x} \in K\). Це суперечність. Робимо висновок,\(K\) що закритий в\(D\). \(square\)
Наступна теорема є прямим наслідком теорем 2.6.9 і 2.6.2.
\(D\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}\). Наступні трюми:
- \(\emptyset\)Підмножини і\(D\) закриваються в\(D\).
- Перетин будь-якої колекції замкнутих множин в\(D\) закритий в\(D\).
- Об'єднання скінченного числа замкнутих множин в\(D\) замкнуто в\(D\).
- Доказ
-
Додайте сюди доказ, і він автоматично буде прихований
Розглянемо\(D=[0,1)\) множину і підмножину\(A=\left[\frac{1}{2}, 1\right)\).
Рішення
Ясно\(A\), обмежений. Ми показали в прикладі 2.6.8, який\(A\) закритий в\(D\). Однак не\(A\) є компактним. Ми показуємо це, знаходячи послідовність\(\left\{a_{n}\right\}\),\(A\) для якої жодна підпослідовність не сходиться до точки в\(A\).
Дійсно, розглянемо послідовність\(a_{n}=1-\frac{1}{2 n}\) для\(n \in \mathbb{N}\). Тоді a_ {n}\ in A\) для всіх\(n\). Більш того,\(\left\{a_{n}\right\}\) сходиться до\(1\) і, отже, кожна підпослідовність також сходиться до\(1\). Так як\(1 \notin A\), випливає,\(A\) що не компактний.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Доведіть, що\(A\) підмножина\(\mathbb{R}\) відкрито, якщо і тільки якщо для будь-якого\(x \in A\), існує\(n \in \mathbb{N}\) такий, що\((x-1 / n, x+1 / n) \subset A\).
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Доведіть, що інтервал не\([0,1)\) є ні відкритим, ні закритим.
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Доведіть, що якщо\(A\) і\(B\) є компактними\(\mathbb{R}\) підмножинами, то\(A \cup B\) це компактний набір.
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Вправа\(\PageIndex{4}\)
Довести, що перетин будь-якої колекції компактних підмножин\(\mathbb{R}\) є компактним.
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Знайдіть усі граничні точки та всі ізольовані точки кожного з наступних наборів:
- \(A=(0,1)\).
- \(B=[0,1)\).
- \(C=\mathbb{Q}\).
- \(D=\{m+1 / n: m, n \in \mathbb{N}\}\).
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Вправа\(\PageIndex{6}\)
Нехай\(D=[0, \infty)\). Класифікуйте кожну підмножину\(D\) нижче як відкриту\(D\), закриту в, ні в\(D\), ні або в обох. Обґрунтуйте свої відповіді.
- \(A=(0,1)\).
- \(B=\mathbb{N}\).
- \(C=\mathbb{Q} \cap D\).
- \(D=(-1,1]\).
- \(E=(-2, \infty)\).
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
1 Це визначення компактності частіше називають послідовною компактністю.