8.4: Спрощення раціональних показників

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Спростіть вирази за допомогою$a^{\frac{1}{n}}$
• Спростіть вирази за допомогою$a^{\frac{m}{n}}$
• Використовуйте властивості експонент для спрощення виразів з раціональними показниками

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Додати:$\frac{7}{15}+\frac{5}{12}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.28.
2. Спростити:$(4x^{2}y^{5})^{3}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.18.
3. Спростити:$5^{−3}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.14.

Спрощення виразів за допомогою$a^{\frac{1}{n}}$

Раціональні експоненти - ще один спосіб написання виразів радикалами. Коли ми використовуємо раціональні показники, ми можемо застосувати властивості експонентів для спрощення виразів.

Влада властивість для експонентів говорить, що$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$ коли$m$ і$n$ є цілими числами. Припустимо, що тепер ми не обмежені цілими числами.

Припустимо, ми хочемо знайти число$p$ таке, що$\left(8^{p}\right)^{3}=8$. Ми будемо використовувати Власне властивість експонентів, щоб знайти значення$p$.

$\left(8^{p}\right)^{3}=8$

Множинні показники ліворуч.

$8^{3p}=8$

Напишіть експоненту$1$ праворуч.

$8^{3p}=8^{1}$

Оскільки основи однакові, показники повинні бути рівними.

$3p=1$

Вирішити для$p$.

$p=\frac{1}{3}$

Отже$\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=8$. Але ми також знаємо$(\sqrt[3]{8})^{3}=8$. Тоді воно повинно бути таким$8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}$.

Ця ж логіка може бути використана для будь-якого додатного цілого показника,$n$ щоб показати це$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.

Визначення$\PageIndex{1}$: Rational Exponent $a^{\frac{1}{n}}$

Якщо$\sqrt[n]{a}$ є дійсним числом і$n \geq 2$, то

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Знаменником раціонального показника є індекс радикала.

Будуть випадки, коли робота з виразами буде простіше, якщо використовувати раціональні показники і часи, коли буде простіше, якщо ви використовуєте радикали. У перших кількох прикладах ви будете практикувати перетворення виразів між цими двома позначеннями.

Приклад$\PageIndex{1}$

Напишіть як радикальний вираз:

1. $x^{\frac{1}{2}}$
2. $y^{\frac{1}{3}}$
3. $z^{\frac{1}{4}}$

Рішення:

Ми хочемо написати кожен вираз у вигляді$\sqrt[n]{a}$.

а.

$x^{\frac{1}{2}}$

Знаменником раціонального показника є$2$, тому індекс радикала дорівнює$2$. Ми не показуємо індекс, коли він є$2$.

$\sqrt{x}$

б.

$y^{\frac{1}{3}}$

Знаменник показника є$3$, тому індекс є$3$.

$\sqrt[3]{y}$

c.

$z^{\frac{1}{4}}$

Знаменник показника -\$4$, тому індекс є$4$.

$\sqrt[4]{z}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Напишіть як радикальний вираз:

1. $t^{\frac{1}{2}}$
2. $m^{\frac{1}{3}}$
3. $r^{\frac{1}{4}}$

Відповідь

1. $\sqrt{t}$
2. $\sqrt[3]{m}$
3. $\sqrt[4]{r}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Напишіть як радикальний вираз:

1. $b^{\frac{1}{6}}$
2. $z^{\frac{1}{5}}$
3. $p^{\frac{1}{4}}$

Відповідь

1. $\sqrt[6]{b}$
2. $\sqrt[5]{z}$
3. $\sqrt[4]{p}$

У наступному прикладі ми напишемо кожен радикал, використовуючи раціональний показник. Важливо використовувати круглі дужки навколо всього виразу в радикалі, так як весь вираз піднімається до раціональної сили.

Приклад$\PageIndex{2}$

Пишіть з раціональним показником:

1. $\sqrt{5y}$
2. $\sqrt[3]{4 x}$
3. $3 \sqrt[4]{5 z}$

Рішення:

Ми хочемо написати кожен радикал у вигляді$a^{\frac{1}{n}}$

а.

$\sqrt{5y}$

Індекс не відображається, так він і є$2$.

Знаменником показника буде$2$.

Поставте круглі дужки навколо всього виразу$5y$.

$(5 y)^{\frac{1}{2}}$

б.

$\sqrt[3]{4 x}$

Індекс є$3$, тому знаменником показника є$3$. Включити дужки$(4x)$.

$(4 x)^{\frac{1}{3}}$

c.

$3 \sqrt[4]{5 z}$

Індекс є$4$, тому знаменником показника є$4$. Ставимо дужки тільки навколо$5z$ так як 3 не під знаком радикала.

$3(5 z)^{\frac{1}{4}}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Пишіть з раціональним показником:

1. $\sqrt{10m}$
2. $\sqrt[5]{3 n}$
3. $3 \sqrt[4]{6 y}$

Відповідь

1. $(10 m)^{\frac{1}{2}}$
2. $(3 n)^{\frac{1}{5}}$
3. $3(6 y)^{\frac{1}{4}}$

Вправа$\PageIndex{4}$

Пишіть з раціональним показником:

1. $\sqrt[7]{3 k}$
2. $\sqrt[4]{5 j}$
3. $8 \sqrt[3]{2 a}$

Відповідь

1. $(3 k)^{\frac{1}{7}}$
2. $(5 j)^{\frac{1}{4}}$
3. $8(2 a)^{\frac{1}{3}}$

У наступному прикладі вам може бути простіше спростити вирази, якщо спочатку переписати їх як радикали.

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:

1. $25^{\frac{1}{2}}$
2. $64^{\frac{1}{3}}$
3. $256^{\frac{1}{4}}$

Рішення:

а.

$25^{\frac{1}{2}}$

Перепишіть як квадратний корінь.

$\sqrt{25}$

Спростити.

$5$

б.

$64^{\frac{1}{3}}$

Перепишіть як кубічний корінь.

$\sqrt[3]{64}$

Розпізнати$64$ - це ідеальний куб.

$\sqrt[3]{4^{3}}$

Спростити.

$4$

c.

$256^{\frac{1}{4}}$

Перепишіть як четвертий корінь.

$\sqrt[4]{256}$

Розпізнати$256$ - це досконала четверта сила.

$\sqrt[4]{4^{4}}$

Спростити.

$4$

Вправа$\PageIndex{5}$

Спростити:

1. $36^{\frac{1}{2}}$
2. $8^{\frac{1}{3}}$
3. $16^{\frac{1}{4}}$

Відповідь

1. $6$
2. $2$
3. $2$

Вправа$\PageIndex{6}$

Спростити:

1. $100^{\frac{1}{2}}$
2. $27^{\frac{1}{3}}$
3. $81^{\frac{1}{4}}$

Відповідь

1. $10$
2. $3$
3. $3$

Будьте уважні до розміщення негативних знаків в наступному прикладі. Нам потрібно буде використовувати властивість$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ в одному випадку.

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити:

1. $(-16)^{\frac{1}{4}}$
2. $-16^{\frac{1}{4}}$
3. $(16)^{-\frac{1}{4}}$

Рішення:

а.

$(-16)^{\frac{1}{4}}$

Перепишіть як четвертий корінь.

$\sqrt[4]{-16}$

$\sqrt[4]{(-2)^{4}}$

Спростити.

Немає реального рішення

б.

$-16^{\frac{1}{4}}$

Показник застосовується лише до$16$. Перепишіть як четвертий корінь.

$-\sqrt[4]{16}$

Перепишіть$16$ як$2^{4}$

$-\sqrt[4]{2^{4}}$

Спростити.

$-2$

c.

$(16)^{-\frac{1}{4}}$

Перепишіть, використовуючи властивість$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$.

$\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}$

Перепишіть як четвертий корінь.

$\frac{1}{\sqrt[4]{16}}$

Перепишіть$16$ як$2^{4}$.

$\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$

Спростити.

$\frac{1}{2}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Спростити:

1. $(-64)^{-\frac{1}{2}}$
2. $-64^{\frac{1}{2}}$
3. $(64)^{-\frac{1}{2}}$

Відповідь

1. Немає реального рішення
2. $-8$
3. $\frac{1}{8}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Спростити:

1. $(-256)^{\frac{1}{4}}$
2. $-256^{\frac{1}{4}}$
3. $(256)^{-\frac{1}{4}}$

Відповідь

1. Немає реального рішення
2. $-4$
3. $\frac{1}{4}$

Спрощення виразів за допомогою$a^{\frac{m}{n}}$

Ми можемо$a^{\frac{m}{n}}$ розглядати двома способами. Пам'ятайте, що Власна властивість говорить нам помножити показники і так,$\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}$ і$\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}$ обидва рівні$a^{\frac{m}{n}}$. Якщо записати ці вирази в радикальній формі, то отримаємо

$a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

Це призводить нас до наступного визначення.

Визначення$\PageIndex{2}$: Rational Exponent $a^{\frac{m}{n}}$

Для будь-яких натуральних чисел$m$ і$n$,

$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

Яку форму ми використовуємо для спрощення виразу? Зазвичай ми спочатку беремо корінь - таким чином ми тримаємо числа в радикалі менших, перш ніж підняти його до вказаної потужності.

Приклад$\PageIndex{5}$

Пишіть з раціональним показником:

1. $\sqrt{y^{3}}$
2. $(\sqrt[3]{2 x})^{4}$
3. $\sqrt{\left(\frac{3 a}{4 b}\right)^{3}}$

Рішення:

Ми хочемо використовувати$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ для написання кожного радикала у формі$a^{\frac{m}{n}}$

а.

Малюнок 8.3.1

б.

Малюнок 8.3.2

c.

Малюнок 8.3.3

Вправа$\PageIndex{9}$

Пишіть з раціональним показником:

1. $\sqrt{x^{5}}$
2. $(\sqrt[4]{3 y})^{3}$
3. $\sqrt{\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{5}}$

Відповідь

1. $x^{\frac{5}{2}}$
2. $(3 y)^{\frac{3}{4}}$
3. $\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{\frac{5}{2}}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Пишіть з раціональним показником:

1. $\sqrt[5]{a^{2}}$
2. $(\sqrt[3]{5 a b})^{5}$
3. $\sqrt{\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{3}}$

Відповідь

1. $a^{\frac{2}{5}}$
2. $(5 a b)^{\frac{5}{3}}$
3. $\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{\frac{3}{2}}$

Пам'ятайте про це$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$. Негативний знак в показнику не змінює знак виразу.

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:

1. $125^{\frac{2}{3}}$
2. $16^{-\frac{3}{2}}$
3. $32^{-\frac{2}{5}}$

Рішення:

Ми перепишемо вираз як радикал спочатку за допомогою визначення,$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}$. Ця форма дозволяє нам спочатку взяти корінь, і тому ми тримаємо числа в радикалі менше, ніж якщо б ми використовували іншу форму.

а.

$125^{\frac{2}{3}}$

Міць радикала - чисельник показника,$2$. Індекс радикала - знаменник показника,$3$.

$(\sqrt[3]{125})^{2}$

Спростити.

$(5)^{2}$

$25$

б Ми перепишемо кожен вираз спочатку, використовуючи,$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ а потім змінимо на радикальну форму.

$16^{-\frac{3}{2}}$

Перепишіть за допомогою$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

$\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}$

Зміна до радикальної форми. Міць радикала - чисельник показника,$3$. Індекс - знаменник показника,$2$.

$\frac{1}{(\sqrt{16})^{3}}$

Спростити.

$\frac{1}{4^{3}}$

$\frac{1}{64}$

c.

$32^{-\frac{2}{5}}$

Перепишіть за допомогою$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

$\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}$

Зміна до радикальної форми.

$\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^{2}}$

Перепишіть радиканд як силу.

$\frac{1}{\left(\sqrt[5]{2^{5}}\right)^{2}}$

Спростити.

$\frac{1}{2^{2}}$

$\frac{1}{4}$

Вправа$\PageIndex{11}$

Спростити:

1. $27^{\frac{2}{3}}$
2. $81^{-\frac{3}{2}}$
3. $16^{-\frac{3}{4}}$

Відповідь

1. $9$
2. $\frac{1}{729}$
3. $\frac{1}{8}$

Вправа$\PageIndex{12}$

Спростити:

1. $4^{\frac{3}{2}}$
2. $27^{-\frac{2}{3}}$
3. $625^{-\frac{3}{4}}$

Відповідь

1. $8$
2. $\frac{1}{9}$
3. $\frac{1}{125}$

Приклад$\PageIndex{7}$

Спростити:

1. $-25^{\frac{3}{2}}$
2. $-25^{-\frac{3}{2}}$
3. $(-25)^{\frac{3}{2}}$

Рішення:

а.

$-25^{\frac{3}{2}}$

Рерайт в радикальній формі.

$-(\sqrt{25})^{3}$

Спростити радикал.

$-(5)^{3}$

Спростити.

$-125$

б.

$-25^{-\frac{3}{2}}$

Перепишіть за допомогою$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$.

$-\left(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}\right)$

Рерайт в радикальній формі.

$-\left(\frac{1}{(\sqrt{25})^{3}}\right)$

Спростити радикал.

$-\left(\frac{1}{(5)^{3}}\right)$

Спростити.

$-\frac{1}{125}$

c.

$(-25)^{\frac{3}{2}}$

Рерайт в радикальній формі.

$(\sqrt{-25})^{3}$

Не існує дійсного числа, квадратний корінь якого є$-25$.

Чи не дійсне число.

Вправа$\PageIndex{13}$

Спростити:

1. $-16^{\frac{3}{2}}$
2. $-16^{-\frac{3}{2}}$
3. $(-16)^{-\frac{3}{2}}$

Відповідь

1. $-64$
2. $-\frac{1}{64}$
3. Чи не дійсне число

Вправа$\PageIndex{14}$

Спростити:

1. $-81^{\frac{3}{2}}$
2. $-81^{-\frac{3}{2}}$
3. $(-81)^{-\frac{3}{2}}$

Відповідь

1. $-729$
2. $-\frac{1}{729}$
3. Чи не дійсне число

Використання властивостей експонентів для спрощення виразів з раціональними показниками

Ті самі властивості показників, які ми вже використовували, стосуються і раціональних показників. Ми перерахуємо Властивості експонентів тут, щоб мати їх для довідки, оскільки ми спрощуємо вирази.

Властивості експонентів

Якщо$a$ і$b$ є дійсними числами і$m$ і$n$ є раціональними числами, то

Властивість продукту

$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$

Власне майно

$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$

Продукт до влади

$(a b)^{m}=a^{m} b^{m}$

Частота власності

$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0$

Визначення нульового показника

$a^{0}=1, a \neq 0$

Коефіцієнт до власності влади

$\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$

Негативна властивість експоненти

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0$

Ці властивості ми будемо застосовувати в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{8}$

Спростити:

1. $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}$
2. $\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}$
3. $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$

Рішення

a Властивість продукту говорить нам, що коли ми множимо одну і ту ж базу, ми додаємо експоненти.

$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}$

Бази однакові, тому ми додаємо експоненти.

$x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}$

Додайте дроби.

$x^{\frac{8}{6}}$

Спрощення показника.

$x^{\frac{4}{3}}$

b Власна властивість говорить нам, що коли ми піднімаємо владу до влади, ми множимо показники.

$\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}$

Щоб підняти силу до сили, ми множимо експоненти.

$z^{9 \cdot \frac{2}{3}}$

Спростити.

$z^{6}$

c Коефіцієнтна властивість говорить нам, що коли ми ділимо з тією ж базою, ми віднімаємо показники.

$\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$

Для поділу з однаковою базою віднімаємо показники.

$\frac{1}{x^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}$

Спростити.

$\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$

Вправа$\PageIndex{15}$

Спростити:

1. $x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{4}{3}}$
2. $\left(x^{6}\right)^{\frac{4}{3}}$
3. $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$

Відповідь

1. $x^{\frac{3}{2}}$
2. $x^{8}$
3. $\frac{1}{x}$

Вправа$\PageIndex{16}$

Спростити:

1. $y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{5}{8}}$
2. $\left(m^{9}\right)^{\frac{2}{9}}$
3. $\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}$

Відповідь

1. $y^{\frac{11}{8}}$
2. $m^{2}$
3. $\frac{1}{d}$

Іноді нам потрібно використовувати більше одного властивості. У наступному прикладі ми будемо використовувати як Product to a Power Property, а потім Power Property.

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростити:

1. $\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$
2. $\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$

Рішення:

а.

$\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

Спочатку ми використовуємо Product to a Power Property.

$(27)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

Перепишіть$27$ як силу$3$.

$\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

Щоб підняти силу до сили, ми множимо експоненти.

$\left(3^{2}\right)\left(u^{\frac{1}{3}}\right)$

Спростити.

$9 u^{\frac{1}{3}}$

б.

$\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$

Спочатку ми використовуємо Product to a Power Property.

$\left(m^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$

Щоб підняти силу до сили, ми множимо показники.

$m n^{\frac{3}{4}}$

Вправа$\PageIndex{17}$

Спростити:

1. $\left(32 x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{5}}$
2. $\left(x^{\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

Відповідь

1. $8 x^{\frac{1}{5}}$
2. $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}$

Вправа$\PageIndex{18}$

Спростити:

1. $\left(81 n^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{2}}$
2. $\left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}$

Відповідь

1. $729 n^{\frac{3}{5}}$
2. $a^{2} b^{\frac{2}{3}}$

У наступному прикладі ми будемо використовувати як Product Property, так і Quotient Property.

Приклад$\PageIndex{10}$

Спростити:

1. $\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}$
2. $\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Рішення:

а.

$\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}$

Використовуйте Product Property в чисельнику, додайте показники.

$\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}$

Використовуйте властивість частки, відніміть показники.

$x^{\frac{8}{4}}$

Спростити.

$x^{2}$

б.

$\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Використовуйте властивість частки, відніміть показники.

$\left(\frac{16 x^{\frac{6}{3}}}{y^{\frac{6}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Спростити.

$\left(\frac{16 x^{2}}{y}\right)^{\frac{1}{2}}$

Використовуйте продукт до властивості влади, помножте показники.

$\frac{4 x}{y^{\frac{1}{2}}}$

Вправа$\PageIndex{19}$

Спростити:

1. $\frac{m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{1}{3}}}{m^{-\frac{5}{3}}}$
2. $\left(\frac{25 m^{\frac{1}{6}} n^{\frac{11}{6}}}{m^{\frac{2}{3}} n^{-\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Відповідь

1. $m^{2}$
2. $\frac{5 n}{m^{\frac{1}{4}}}$

Вправа$\PageIndex{20}$

Спростити:

1. $\frac{u^{\frac{4}{5}} \cdot u^{-\frac{2}{5}}}{u^{-\frac{13}{5}}}$
2. $\left(\frac{27 x^{\frac{4}{5}} y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{5}} y^{-\frac{5}{6}}}\right)^{\frac{1}{3}}$

Відповідь

1. $u^{3}$
2. $3 x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{3}}$

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткового навчання та практики зі спрощенням раціональних показників.

• Огляд-Раціональні експоненти
• Використання законів показників на радикалах: властивості раціональних показників

Ключові концепції

• Раціональна експонента$a^{\frac{1}{n}}$
  • Якщо$\sqrt[n]{a}$ є дійсним числом і$n≥2$, то$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.
• Раціональна експонента$a^{\frac{m}{n}}$
  • Для будь-яких натуральних чисел$m$ і$n$,
    $a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \text { and } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
• Властивості експонентів
  • Якщо$a, b$ дійсні числа і$m, n$ є раціональними числами, то
    • Властивість продукту$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
    • Власне майно$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$
    • Продукт до влади$(a b)^{m}=a^{m} b^{m}$
    • Частота власності$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0$
    • Визначення нульового показника$a^{0}=1, a \neq 0$
    • Коефіцієнт до власності влади$\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$
    • Негативна властивість експоненти$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0$