8.4: Спрощення раціональних показників

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Спростіть вирази за допомогою\(a^{\frac{1}{n}}\)
• Спростіть вирази за допомогою\(a^{\frac{m}{n}}\)
• Використовуйте властивості експонент для спрощення виразів з раціональними показниками

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Додати:\(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\).
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.28.
2. Спростити:\((4x^{2}y^{5})^{3}\).
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.18.
3. Спростити:\(5^{−3}\).
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.14.

Спрощення виразів за допомогою\(a^{\frac{1}{n}}\)

Раціональні експоненти - ще один спосіб написання виразів радикалами. Коли ми використовуємо раціональні показники, ми можемо застосувати властивості експонентів для спрощення виразів.

Влада властивість для експонентів говорить, що\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\) коли\(m\) і\(n\) є цілими числами. Припустимо, що тепер ми не обмежені цілими числами.

Припустимо, ми хочемо знайти число\(p\) таке, що\(\left(8^{p}\right)^{3}=8\). Ми будемо використовувати Власне властивість експонентів, щоб знайти значення\(p\).

\(\left(8^{p}\right)^{3}=8\)

Множинні показники ліворуч.

\(8^{3p}=8\)

Напишіть експоненту\(1\) праворуч.

\(8^{3p}=8^{1}\)

Оскільки основи однакові, показники повинні бути рівними.

\(3p=1\)

Вирішити для\(p\).

\(p=\frac{1}{3}\)

Отже\(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=8\). Але ми також знаємо\((\sqrt[3]{8})^{3}=8\). Тоді воно повинно бути таким\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\).

Ця ж логіка може бути використана для будь-якого додатного цілого показника,\(n\) щоб показати це\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

Визначення\(\PageIndex{1}\): Rational Exponent \(a^{\frac{1}{n}}\)

Якщо\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом і\(n \geq 2\), то

\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)

Знаменником раціонального показника є індекс радикала.

Будуть випадки, коли робота з виразами буде простіше, якщо використовувати раціональні показники і часи, коли буде простіше, якщо ви використовуєте радикали. У перших кількох прикладах ви будете практикувати перетворення виразів між цими двома позначеннями.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Напишіть як радикальний вираз:

1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
3. \(z^{\frac{1}{4}}\)

Рішення:

Ми хочемо написати кожен вираз у вигляді\(\sqrt[n]{a}\).

а.

\(x^{\frac{1}{2}}\)

Знаменником раціонального показника є\(2\), тому індекс радикала дорівнює\(2\). Ми не показуємо індекс, коли він є\(2\).

\(\sqrt{x}\)

б.

\(y^{\frac{1}{3}}\)

Знаменник показника є\(3\), тому індекс є\(3\).

\(\sqrt[3]{y}\)

c.

\(z^{\frac{1}{4}}\)

Знаменник показника -\\(4\), тому індекс є\(4\).

\(\sqrt[4]{z}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Напишіть як радикальний вираз:

1. \(t^{\frac{1}{2}}\)
2. \(m^{\frac{1}{3}}\)
3. \(r^{\frac{1}{4}}\)

Відповідь

1. \(\sqrt{t}\)
2. \(\sqrt[3]{m}\)
3. \(\sqrt[4]{r}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Напишіть як радикальний вираз:

1. \(b^{\frac{1}{6}}\)
2. \(z^{\frac{1}{5}}\)
3. \(p^{\frac{1}{4}}\)

Відповідь

1. \(\sqrt[6]{b}\)
2. \(\sqrt[5]{z}\)
3. \(\sqrt[4]{p}\)

У наступному прикладі ми напишемо кожен радикал, використовуючи раціональний показник. Важливо використовувати круглі дужки навколо всього виразу в радикалі, так як весь вираз піднімається до раціональної сили.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Пишіть з раціональним показником:

1. \(\sqrt{5y}\)
2. \(\sqrt[3]{4 x}\)
3. \(3 \sqrt[4]{5 z}\)

Рішення:

Ми хочемо написати кожен радикал у вигляді\(a^{\frac{1}{n}}\)

а.

\(\sqrt{5y}\)

Індекс не відображається, так він і є\(2\).

Знаменником показника буде\(2\).

Поставте круглі дужки навколо всього виразу\(5y\).

\((5 y)^{\frac{1}{2}}\)

б.

\(\sqrt[3]{4 x}\)

Індекс є\(3\), тому знаменником показника є\(3\). Включити дужки\((4x)\).

\((4 x)^{\frac{1}{3}}\)

c.

\(3 \sqrt[4]{5 z}\)

Індекс є\(4\), тому знаменником показника є\(4\). Ставимо дужки тільки навколо\(5z\) так як 3 не під знаком радикала.

\(3(5 z)^{\frac{1}{4}}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Пишіть з раціональним показником:

1. \(\sqrt{10m}\)
2. \(\sqrt[5]{3 n}\)
3. \(3 \sqrt[4]{6 y}\)

Відповідь

1. \((10 m)^{\frac{1}{2}}\)
2. \((3 n)^{\frac{1}{5}}\)
3. \(3(6 y)^{\frac{1}{4}}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Пишіть з раціональним показником:

1. \(\sqrt[7]{3 k}\)
2. \(\sqrt[4]{5 j}\)
3. \(8 \sqrt[3]{2 a}\)

Відповідь

1. \((3 k)^{\frac{1}{7}}\)
2. \((5 j)^{\frac{1}{4}}\)
3. \(8(2 a)^{\frac{1}{3}}\)

У наступному прикладі вам може бути простіше спростити вирази, якщо спочатку переписати їх як радикали.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Спростити:

1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
3. \(256^{\frac{1}{4}}\)

Рішення:

а.

\(25^{\frac{1}{2}}\)

Перепишіть як квадратний корінь.

\(\sqrt{25}\)

Спростити.

\(5\)

б.

\(64^{\frac{1}{3}}\)

Перепишіть як кубічний корінь.

\(\sqrt[3]{64}\)

Розпізнати\(64\) - це ідеальний куб.

\(\sqrt[3]{4^{3}}\)

Спростити.

\(4\)

c.

\(256^{\frac{1}{4}}\)

Перепишіть як четвертий корінь.

\(\sqrt[4]{256}\)

Розпізнати\(256\) - це досконала четверта сила.

\(\sqrt[4]{4^{4}}\)

Спростити.

\(4\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Спростити:

1. \(36^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(16^{\frac{1}{4}}\)

Відповідь

1. \(6\)
2. \(2\)
3. \(2\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Спростити:

1. \(100^{\frac{1}{2}}\)
2. \(27^{\frac{1}{3}}\)
3. \(81^{\frac{1}{4}}\)

Відповідь

1. \(10\)
2. \(3\)
3. \(3\)

Будьте уважні до розміщення негативних знаків в наступному прикладі. Нам потрібно буде використовувати властивість\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) в одному випадку.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Спростити:

1. \((-16)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(-16^{\frac{1}{4}}\)
3. \((16)^{-\frac{1}{4}}\)

Рішення:

а.

\((-16)^{\frac{1}{4}}\)

Перепишіть як четвертий корінь.

\(\sqrt[4]{-16}\)

\(\sqrt[4]{(-2)^{4}}\)

Спростити.

Немає реального рішення

б.

\(-16^{\frac{1}{4}}\)

Показник застосовується лише до\(16\). Перепишіть як четвертий корінь.

\(-\sqrt[4]{16}\)

Перепишіть\(16\) як\(2^{4}\)

\(-\sqrt[4]{2^{4}}\)

Спростити.

\(-2\)

c.

\((16)^{-\frac{1}{4}}\)

Перепишіть, використовуючи властивість\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\).

\(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\)

Перепишіть як четвертий корінь.

\(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\)

Перепишіть\(16\) як\(2^{4}\).

\(\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}\)

Спростити.

\(\frac{1}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Спростити:

1. \((-64)^{-\frac{1}{2}}\)
2. \(-64^{\frac{1}{2}}\)
3. \((64)^{-\frac{1}{2}}\)

Відповідь

1. Немає реального рішення
2. \(-8\)
3. \(\frac{1}{8}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Спростити:

1. \((-256)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(-256^{\frac{1}{4}}\)
3. \((256)^{-\frac{1}{4}}\)

Відповідь

1. Немає реального рішення
2. \(-4\)
3. \(\frac{1}{4}\)

Спрощення виразів за допомогою\(a^{\frac{m}{n}}\)

Ми можемо\(a^{\frac{m}{n}}\) розглядати двома способами. Пам'ятайте, що Власна властивість говорить нам помножити показники і так,\(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}\) і\(\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}\) обидва рівні\(a^{\frac{m}{n}}\). Якщо записати ці вирази в радикальній формі, то отримаємо

\(a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

Це призводить нас до наступного визначення.

Визначення\(\PageIndex{2}\): Rational Exponent \(a^{\frac{m}{n}}\)

Для будь-яких натуральних чисел\(m\) і\(n\),

\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

Яку форму ми використовуємо для спрощення виразу? Зазвичай ми спочатку беремо корінь - таким чином ми тримаємо числа в радикалі менших, перш ніж підняти його до вказаної потужності.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Пишіть з раціональним показником:

1. \(\sqrt{y^{3}}\)
2. \((\sqrt[3]{2 x})^{4}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{3 a}{4 b}\right)^{3}}\)

Рішення:

Ми хочемо використовувати\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\) для написання кожного радикала у формі\(a^{\frac{m}{n}}\)

а.

Малюнок 8.3.1

б.

Малюнок 8.3.2

c.

Малюнок 8.3.3

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Пишіть з раціональним показником:

1. \(\sqrt{x^{5}}\)
2. \((\sqrt[4]{3 y})^{3}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{5}}\)

Відповідь

1. \(x^{\frac{5}{2}}\)
2. \((3 y)^{\frac{3}{4}}\)
3. \(\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{\frac{5}{2}}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Пишіть з раціональним показником:

1. \(\sqrt[5]{a^{2}}\)
2. \((\sqrt[3]{5 a b})^{5}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{3}}\)

Відповідь

1. \(a^{\frac{2}{5}}\)
2. \((5 a b)^{\frac{5}{3}}\)
3. \(\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Пам'ятайте про це\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\). Негативний знак в показнику не змінює знак виразу.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Спростити:

1. \(125^{\frac{2}{3}}\)
2. \(16^{-\frac{3}{2}}\)
3. \(32^{-\frac{2}{5}}\)

Рішення:

Ми перепишемо вираз як радикал спочатку за допомогою визначення,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}\). Ця форма дозволяє нам спочатку взяти корінь, і тому ми тримаємо числа в радикалі менше, ніж якщо б ми використовували іншу форму.

а.

\(125^{\frac{2}{3}}\)

Міць радикала - чисельник показника,\(2\). Індекс радикала - знаменник показника,\(3\).

\((\sqrt[3]{125})^{2}\)

Спростити.

\((5)^{2}\)

\(25\)

б Ми перепишемо кожен вираз спочатку, використовуючи,\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) а потім змінимо на радикальну форму.

\(16^{-\frac{3}{2}}\)

Перепишіть за допомогою\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

\(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\)

Зміна до радикальної форми. Міць радикала - чисельник показника,\(3\). Індекс - знаменник показника,\(2\).

\(\frac{1}{(\sqrt{16})^{3}}\)

Спростити.

\(\frac{1}{4^{3}}\)

\(\frac{1}{64}\)

c.

\(32^{-\frac{2}{5}}\)

Перепишіть за допомогою\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

\(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\)

Зміна до радикальної форми.

\(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^{2}}\)

Перепишіть радиканд як силу.

\(\frac{1}{\left(\sqrt[5]{2^{5}}\right)^{2}}\)

Спростити.

\(\frac{1}{2^{2}}\)

\(\frac{1}{4}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Спростити:

1. \(27^{\frac{2}{3}}\)
2. \(81^{-\frac{3}{2}}\)
3. \(16^{-\frac{3}{4}}\)

Відповідь

1. \(9\)
2. \(\frac{1}{729}\)
3. \(\frac{1}{8}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Спростити:

1. \(4^{\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{-\frac{2}{3}}\)
3. \(625^{-\frac{3}{4}}\)

Відповідь

1. \(8\)
2. \(\frac{1}{9}\)
3. \(\frac{1}{125}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Спростити:

1. \(-25^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-25^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-25)^{\frac{3}{2}}\)

Рішення:

а.

\(-25^{\frac{3}{2}}\)

Рерайт в радикальній формі.

\(-(\sqrt{25})^{3}\)

Спростити радикал.

\(-(5)^{3}\)

Спростити.

\(-125\)

б.

\(-25^{-\frac{3}{2}}\)

Перепишіть за допомогою\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\).

\(-\left(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}\right)\)

Рерайт в радикальній формі.

\(-\left(\frac{1}{(\sqrt{25})^{3}}\right)\)

Спростити радикал.

\(-\left(\frac{1}{(5)^{3}}\right)\)

Спростити.

\(-\frac{1}{125}\)

c.

\((-25)^{\frac{3}{2}}\)

Рерайт в радикальній формі.

\((\sqrt{-25})^{3}\)

Не існує дійсного числа, квадратний корінь якого є\(-25\).

Чи не дійсне число.

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Спростити:

1. \(-16^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-16^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-16)^{-\frac{3}{2}}\)

Відповідь

1. \(-64\)
2. \(-\frac{1}{64}\)
3. Чи не дійсне число

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Спростити:

1. \(-81^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-81^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-81)^{-\frac{3}{2}}\)

Відповідь

1. \(-729\)
2. \(-\frac{1}{729}\)
3. Чи не дійсне число

Використання властивостей експонентів для спрощення виразів з раціональними показниками

Ті самі властивості показників, які ми вже використовували, стосуються і раціональних показників. Ми перерахуємо Властивості експонентів тут, щоб мати їх для довідки, оскільки ми спрощуємо вирази.

Властивості експонентів

Якщо\(a\) і\(b\) є дійсними числами і\(m\) і\(n\) є раціональними числами, то

Властивість продукту

\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)

Власне майно

\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)

Продукт до влади

\((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)

Частота власності

\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)

Визначення нульового показника

\(a^{0}=1, a \neq 0\)

Коефіцієнт до власності влади

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)

Негативна властивість експоненти

\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)

Ці властивості ми будемо застосовувати в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Спростити:

1. \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)
2. \(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Рішення

a Властивість продукту говорить нам, що коли ми множимо одну і ту ж базу, ми додаємо експоненти.

\(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)

Бази однакові, тому ми додаємо експоненти.

\(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}\)

Додайте дроби.

\(x^{\frac{8}{6}}\)

Спрощення показника.

\(x^{\frac{4}{3}}\)

b Власна властивість говорить нам, що коли ми піднімаємо владу до влади, ми множимо показники.

\(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Щоб підняти силу до сили, ми множимо експоненти.

\(z^{9 \cdot \frac{2}{3}}\)

Спростити.

\(z^{6}\)

c Коефіцієнтна властивість говорить нам, що коли ми ділимо з тією ж базою, ми віднімаємо показники.

\(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Для поділу з однаковою базою віднімаємо показники.

\(\frac{1}{x^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}\)

Спростити.

\(\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Спростити:

1. \(x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{4}{3}}\)
2. \(\left(x^{6}\right)^{\frac{4}{3}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Відповідь

1. \(x^{\frac{3}{2}}\)
2. \(x^{8}\)
3. \(\frac{1}{x}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Спростити:

1. \(y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{5}{8}}\)
2. \(\left(m^{9}\right)^{\frac{2}{9}}\)
3. \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\)

Відповідь

1. \(y^{\frac{11}{8}}\)
2. \(m^{2}\)
3. \(\frac{1}{d}\)

Іноді нам потрібно використовувати більше одного властивості. У наступному прикладі ми будемо використовувати як Product to a Power Property, а потім Power Property.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Спростити:

1. \(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)
2. \(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Рішення:

а.

\(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Спочатку ми використовуємо Product to a Power Property.

\((27)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Перепишіть\(27\) як силу\(3\).

\(\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Щоб підняти силу до сили, ми множимо експоненти.

\(\left(3^{2}\right)\left(u^{\frac{1}{3}}\right)\)

Спростити.

\(9 u^{\frac{1}{3}}\)

б.

\(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Спочатку ми використовуємо Product to a Power Property.

\(\left(m^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Щоб підняти силу до сили, ми множимо показники.

\(m n^{\frac{3}{4}}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Спростити:

1. \(\left(32 x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{5}}\)
2. \(\left(x^{\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Відповідь

1. \(8 x^{\frac{1}{5}}\)
2. \(x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Спростити:

1. \(\left(81 n^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{2}}\)
2. \(\left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}\)

Відповідь

1. \(729 n^{\frac{3}{5}}\)
2. \(a^{2} b^{\frac{2}{3}}\)

У наступному прикладі ми будемо використовувати як Product Property, так і Quotient Property.

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Спростити:

1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)
2. \(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Рішення:

а.

\(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

Використовуйте Product Property в чисельнику, додайте показники.

\(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

Використовуйте властивість частки, відніміть показники.

\(x^{\frac{8}{4}}\)

Спростити.

\(x^{2}\)

б.

\(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Використовуйте властивість частки, відніміть показники.

\(\left(\frac{16 x^{\frac{6}{3}}}{y^{\frac{6}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Спростити.

\(\left(\frac{16 x^{2}}{y}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Використовуйте продукт до властивості влади, помножте показники.

\(\frac{4 x}{y^{\frac{1}{2}}}\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Спростити:

1. \(\frac{m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{1}{3}}}{m^{-\frac{5}{3}}}\)
2. \(\left(\frac{25 m^{\frac{1}{6}} n^{\frac{11}{6}}}{m^{\frac{2}{3}} n^{-\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Відповідь

1. \(m^{2}\)
2. \(\frac{5 n}{m^{\frac{1}{4}}}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Спростити:

1. \(\frac{u^{\frac{4}{5}} \cdot u^{-\frac{2}{5}}}{u^{-\frac{13}{5}}}\)
2. \(\left(\frac{27 x^{\frac{4}{5}} y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{5}} y^{-\frac{5}{6}}}\right)^{\frac{1}{3}}\)

Відповідь

1. \(u^{3}\)
2. \(3 x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{3}}\)

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткового навчання та практики зі спрощенням раціональних показників.

• Огляд-Раціональні експоненти
• Використання законів показників на радикалах: властивості раціональних показників

Ключові концепції

• Раціональна експонента\(a^{\frac{1}{n}}\)
  • Якщо\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом і\(n≥2\), то\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).
• Раціональна експонента\(a^{\frac{m}{n}}\)
  • Для будь-яких натуральних чисел\(m\) і\(n\),
    \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \text { and } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)
• Властивості експонентів
  • Якщо\(a, b\) дійсні числа і\(m, n\) є раціональними числами, то
    • Властивість продукту\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)
    • Власне майно\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)
    • Продукт до влади\((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)
    • Частота власності\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)
    • Визначення нульового показника\(a^{0}=1, a \neq 0\)
    • Коефіцієнт до власності влади\(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)
    • Негативна властивість експоненти\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)