Глава 6 Огляд вправ

Розділ Огляд Вправи

Найбільший спільний фактор і фактор за групуванням

Знайдіть найбільший спільний фактор двох або більше виразів

У наступних вправах знайдіть найбільший загальний фактор.

$12a^2b^3,\space 15ab^2$

Відповідь

$3ab^2$

$12m^2n^3,42m^5n^3$

$15y^3,\space 21y^2,\space 30y$

Відповідь

$3y$

$45x^3y^2,\space 15x^4y,\space 10x^5y^3$

Фактор найбільший спільний фактор з полінома

У наступних вправах фактор найбільший загальний фактор з кожного полінома.

$35y+84$

Відповідь

$7(5y+12)$

$6y^2+12y−6$

$18x^3−15x$

Відповідь

$3x(6x^2−5)$

$15m^4+6m^2n$

$4x^3−12x^2+16x$

Відповідь

$4x(x^2−3x+4)$

$−3x+24$

$−3x^3+27x^2−12x$

Відповідь

$−3x(x^2−9x+4)$

$3x(x−1)+5(x−1)$

Фактор за групуванням

У наступних вправах фактор за групуванням.

$ax−ay+bx−by$

Відповідь

$(a+b)(x−y)$

$x^2y−xy^2+2x−2y$

$x^2+7x−3x−21$

Відповідь

$(x−3)(x+7)$

$4x^2−16x+3x−12$

$m^3+m^2+m+1$

Відповідь

$(m^2+1)(m+1)$

$5x−5y−y+x$

Факторні термінали

Факторні триміали форми$x^2+bx+c$

У наступних вправах враховуйте кожен триноміал форми$x^2+bx+c$.

$a^2+14a+33$

Відповідь

$(a+3)(a+11)$

$k^2−16k+60$

$m^2+3m−54$

Відповідь

$(m+9)(m−6)$

$x^2−3x−10$

У наступних прикладах коефіцієнт кожного триноміалу форми$x^2+bxy+cy^2$.

$x^2+12xy+35y^2$

Відповідь

$(x+5y)(x+7y)$

$r^2+3rs−28s^2$

$a^2+4ab−21b^2$

Відповідь

$(a+7b)(a−3b)$

$p^2−5pq−36q^2$

$m^2−5mn+30n^2$

Відповідь

Прем'єр

Факторні прислівники виду ax2+bx+cax2+bx+c за допомогою проб і помилок

У наступних вправах фактор повністю за допомогою проб і помилок.

$x^3+5x^2−24x$

$3y^3−21y^2+30y$

Відповідь

$3y(y−5)(y−2)$

$5x^4+10x^3−75x^2$

$5y^2+14y+9$

Відповідь

$(5y+9)(y+1)$

$8x^2+25x+3$

$10y^2−53y−11$

Відповідь

$(5y+1)(2y−11)$

$6p^2−19pq+10q^2$

$−81a^2+153a+18$

Відповідь

$−9(9a−1)(a+2)$

Факторні триміали виду ax2+bx+cax2+bx+c методом 'ac'

У наступних вправах враховуєфактор.

$2x^2+9x+4$

$18a^2−9a+1$

Відповідь

$(3a−1)(6a−1)$

$15p^2+2p−8$

$15x^2+6x−2$

Відповідь

$(3x−1)(5x+2)$

$8a^2+32a+24$

$3x^2+3x−36$

Відповідь

$3(x+4)(x−3)$

$48y^2+12y−36$

$18a^2−57a−21$

Відповідь

$3(2a−7)(3a+1)$

$3n^4−12n^3−96n^2$

Фактор, що використовує заміщення

У наступних вправах враховуєтьсяфактор за допомогою заміщення.

$x^4−13x^2−30$

Відповідь

$(x^2−15)(x^2+2)$

$(x−3)^2−5(x−3)−36$

Фактор Спеціальні продукти

Фактор ідеальних квадратних триномів

У наступних вправах, фактор повністю використовуючи ідеальний квадратний триноми візерунок.

$25x^2+30x+9$

Відповідь

$(5x+3)^2$

$36a^2−84ab+49b^2$

$40x^2+360x+810$

Відповідь

$10(2x+9)^2$

$5k^3−70k^2+245k$

$75u^4−30u^3v+3u^2v^2$

Відповідь

$3u^2(5u−v)^2$

Факторні відмінності квадратів

У наступних вправах, фактор повністю використовуючи різницю квадратів візерунка, якщо це можливо.

$81r^2−25$

$169m^2−n^2$

Відповідь

$(13m+n)(13m−n)$

$25p^2−1$

$9−121y^2$

Відповідь

$(3+11y)(3−11y)$

$20x^2−125$

$169n^3−n$

Відповідь

$n(13n+1)(13n−1)$

$6p^2q^2−54p^2$

$24p^2+54$

Відповідь

$6(4p^2+9)$

$49x^2−81y^2$

$16z^4−1$

Відповідь

$(2z−1)(2z+1)(4z^2+1)$

$48m^4n^2−243n^2$

$a^2+6a+9−9b^2$

Відповідь

$(a+3−3b)(a+3+3b)$

$x^2−16x+64−y^2$

Факторні суми та відмінності кубів

У наступних вправах, коефіцієнт повністю використовуючи суми і відмінності кубиків візерунка, якщо це можливо.

$a^3−125$

Відповідь

$(a−5)(a^2+5a+25)$

$b^3−216$

$2m^3+54$

Відповідь

$2(m+3)(m^2−3m+9)$

$81m^3+3$

Загальна стратегія факторингу поліномів

Розпізнайте та використовуйте відповідний метод для повного фактору полінома

У наступних вправах фактор повністю.

$24x^3+44x^2$

Відповідь

$4x^2(6x+11)$

$24a^4−9a^3$

$16n^2−56mn+49m^2$

Відповідь

$(4n−7m)^2$

$6a^2−25a−9$

$5u^4−45u^2$

Відповідь

$5u^2(u+3)(u−3)$

$n^4−81$

$64j^2+225$

Відповідь

прем'єр

$5x^2+5x−60$

$b^3−64$

Відповідь

$(b−4)(b^2+4b+16)$

$m^3+125$

$2b^2−2bc+5cb−5c^2$

Відповідь

$(2b+5c)(b−c)$

$48x^5y^2−243xy^2$

$5q^2−15q−90$

Відповідь

$5(q+3)(q−6)$

$4u^5v+4u^2v^3$

$10m^4−6250$

Відповідь

$10(m−5)(m+5)(m^2+25)$

$60x^2y−75xy+30y$

$16x^2−24xy+9y^2−64$

Відповідь

$(4x−3y+8)(4x−3y−8)$

Поліноміальні рівняння

Використовувати властивість нульового продукту

У наступних вправах вирішуйте.

$(a−3)(a+7)=0$

$(5b+1)(6b+1)=0$

Відповідь

$b=−\frac{1}{5},\space b=−\frac{1}{6}$

$6m(12m−5)=0$

$(2x−1)^2=0$

Відповідь

$x=\frac{1}{2}$

$3m(2m−5)(m+6)=0$

Розв'язування квадратних рівнянь методом факторингу

У наступних вправах вирішуйте.

$x^2+9x+20=0$

Відповідь

$x=−4,\space x=−5$

$y^2−y−72=0$

$2p^2−11p=40$

Відповідь

$p=−\frac{5}{2},p=8$

$q^3+3q^2+2q=0$

$144m^2−25=0$

Відповідь

$m=\frac{5}{12},\space m=−\frac{5}{12}$

$4n^2=36$

$(x+6)(x−3)=−8$

Відповідь

$x=2,\space x=−5$

$(3x−2)(x+4)=12$

$16p^3=24p^2+9p$

Відповідь

$p=0,\space p=\frac{3}{4}$

$2y^3+2y^2=12y$

Розв'язуйте рівняння з поліноміальними функціями

У наступних вправах вирішуйте.

Для функції, ⓐ знайти$f(x)=x^2+11x+20$, коли$f(x)=−8$ ⓑ Використовуйте цю інформацію, щоб знайти дві точки, які лежать на графіку функції.

Відповідь

ⓐ$x=−7$ або\$x=−4$
ⓑ$(−7,−8)$$(−4,−8)$

Для функції, ⓐ знайти$f(x)=9x^2−18x+5$, коли$f(x)=−3$ ⓑ Використовуйте цю інформацію, щоб знайти дві точки, які лежать на графіку функції.

У кожній функції знайдіть: ⓐ нулі функції ⓑ x -перехоплення графа функції ⓒ y -перехоплення графа функції.

$f(x)=64x^2−49$

Відповідь

ⓐ$x=\frac{7}{8}$ або$x=−\frac{7}{8}$
ⓑ$(\frac{7}{8},0),\space (−\frac{7}{8},0)$ ⓒ$(0,−49)$

$f(x)=6x^2−13x−5$

Розв'язуйте програми, змодельовані квадратними рівняннями

У наступних вправах вирішуйте.

Добуток двох послідовних чисел - 399. Знайдіть цифри.

Відповідь

Цифри$−21$ і$−19$ або 19 і 21.

Площа дворика прямокутної форми 432 квадратних футів. Довжина внутрішнього дворика на 6 футів більше його ширини. Знайдіть довжину і ширину.

Сходи спирається на стіну будівлі. Довжина сходів на 9 футів більше відстані дна сходів від будівлі. Відстань верхньої частини сходів доходить до сторони будівлі на 7 футів більше відстані нижньої частини сходів від будівлі. Знайдіть довжини всіх трьох сторін трикутника, утвореного сходами, спираючись на будівлю.

Відповідь

Довжини 8, 15 і 17 футів.

Шруті збирається кинути м'яч з вершини скелі. Коли вона кидає м'яч з 80 футів над землею, функція$h(t)=−16t^2+64t+80$ моделює висоту, h, м'яча над землею в залежності від часу, т. Знайти: ⓐ нулі цієї функції, яка говорить нам, коли м'яч вдарить об землю. ⓑ час (и) м'яч буде 80 футів над землею. ⓒ висота м'яча буде в$t=2$ секундах, коли м'яч буде у найвищій точці.

Розділ Практика Тест

У наступних вправах фактор повністю.

$80a^2+120a^3$

Відповідь

$40a^2(2+3a)$

$5m(m−1)+3(m−1)$

$x^2+13x+36$

Відповідь

$(x+7)(x+6)$

$p^2+pq−12q^2$

$xy−8y+7x−56$

Відповідь

$(x−8)(y+7)$

$40r^2+810$

$9s^2−12s+4$

Відповідь

$(3s−2)^2$

$6x^2−11x−10$

$3x^2−75y^2$

Відповідь

$3(x+5y)(x−5y)$

$6u^2+3u−18$

$x^3+125$

Відповідь

$(x+5)(x^2−5x+25)$

$32x^5y^2−162xy^2$

$6x^4−19x^2+15$

Відповідь

$(3x^2−5)(2x^2−3)$

$3x^3−36x^2+108x$

У наступних вправах вирішуйте

$5a^2+26a=24$

Відповідь

$a=\frac{4}{5},\space a=−6$

Добуток двох послідовних цілих чисел дорівнює 156. Знайти цілі числа.

Площа прямокутного килимка місця становить 168 квадратних дюймів. Його довжина на два сантиметри більше ширини. Знайдіть довжину і ширину підставки.

Відповідь

Ширина становить 12 дюймів, а довжина - 14 дюймів.

Цзін збирається кинути м'яч з балкона її кондо. Коли вона кидає м'яч з 80 футів над землею, функція$h(t)=−16t^2+64t+80$ моделює висоту, h, м'яча над землею в залежності від часу, т. Знайти: ⓐ нулі цієї функції, яка говорить нам, коли м'яч вдарить об землю. ⓑ час (и) м'яч буде 128 футів над землею. ⓒ висота м'яча буде в$t=4$ секундах.

Для функції, ⓐ знайти$f(x)=x^2−7x+5$, коли$f(x)=−7$ ⓑ Використовуйте цю інформацію, щоб знайти дві точки, які лежать на графіку функції.

Відповідь

ⓐ$x=3$ або$x=4$ ⓑ$(3,−7)$$(4,−7)$

Для функції$f(x)=25x^2−81$ знайдіть: ⓐ нулі функції ⓑ x -перехоплення графа функції ⓒ y -перехоплення графа функції.

Глосарій

ступінь рівняння полінома

Ступінь рівняння полінома - це ступінь многочлена.

рівняння полінома

Поліноміальне рівняння - це рівняння, яке містить поліноміальний вираз.

квадратне рівняння

Поліноміальні рівняння другого ступеня називаються квадратними рівняннями.

нуль функції

Значення xx, де функція дорівнює 0, називається нулем функції.

Нульова властивість продукту

Властивість нульового продукту говорить, що якщо добуток двох величин дорівнює нулю, то хоча б одна з величин дорівнює нулю.