Глава 6 Огляд вправ

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.6E: Вправи
- 7: Раціональні вирази та функції

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Розділ Огляд Вправи

Найбільший спільний фактор і фактор за групуванням

Знайдіть найбільший спільний фактор двох або більше виразів

У наступних вправах знайдіть найбільший загальний фактор.

$12a^2b^3,\space 15ab^2$

Відповідь: $3ab^2$

$12m^2n^3,42m^5n^3$

$15y^3,\space 21y^2,\space 30y$

Відповідь: $3y$

$45x^3y^2,\space 15x^4y,\space 10x^5y^3$

Фактор найбільший спільний фактор з полінома

У наступних вправах фактор найбільший загальний фактор з кожного полінома.

$35y+84$

Відповідь: $7(5y+12)$

$6y^2+12y−6$

$18x^3−15x$

Відповідь: $3x(6x^2−5)$

$15m^4+6m^2n$

$4x^3−12x^2+16x$

Відповідь: $4x(x^2−3x+4)$

$−3x+24$

$−3x^3+27x^2−12x$

Відповідь: $−3x(x^2−9x+4)$

$3x(x−1)+5(x−1)$

Фактор за групуванням

У наступних вправах фактор за групуванням.

$ax−ay+bx−by$

Відповідь: $(a+b)(x−y)$

$x^2y−xy^2+2x−2y$

$x^2+7x−3x−21$

Відповідь: $(x−3)(x+7)$

$4x^2−16x+3x−12$

$m^3+m^2+m+1$

Відповідь: $(m^2+1)(m+1)$

$5x−5y−y+x$

Факторні термінали

Факторні триміали форми $x^2+bx+c$

У наступних вправах враховуйте кожен триноміал форми $x^2+bx+c$ .

$a^2+14a+33$

Відповідь: $(a+3)(a+11)$

$k^2−16k+60$

$m^2+3m−54$

Відповідь: $(m+9)(m−6)$

$x^2−3x−10$

У наступних прикладах коефіцієнт кожного триноміалу форми $x^2+bxy+cy^2$ .

$x^2+12xy+35y^2$

Відповідь: $(x+5y)(x+7y)$

$r^2+3rs−28s^2$

$a^2+4ab−21b^2$

Відповідь: $(a+7b)(a−3b)$

$p^2−5pq−36q^2$

$m^2−5mn+30n^2$

Відповідь: Прем'єр

Факторні прислівники виду ax2+bx+cax2+bx+c за допомогою проб і помилок

У наступних вправах фактор повністю за допомогою проб і помилок.

$x^3+5x^2−24x$

$3y^3−21y^2+30y$

Відповідь: $3y(y−5)(y−2)$

$5x^4+10x^3−75x^2$

$5y^2+14y+9$

Відповідь: $(5y+9)(y+1)$

$8x^2+25x+3$

$10y^2−53y−11$

Відповідь: $(5y+1)(2y−11)$

$6p^2−19pq+10q^2$

$−81a^2+153a+18$

Відповідь: $−9(9a−1)(a+2)$

Факторні триміали виду ax2+bx+cax2+bx+c методом 'ac'

У наступних вправах враховуєфактор.

$2x^2+9x+4$

$18a^2−9a+1$

Відповідь: $(3a−1)(6a−1)$

$15p^2+2p−8$

$15x^2+6x−2$

Відповідь: $(3x−1)(5x+2)$

$8a^2+32a+24$

$3x^2+3x−36$

Відповідь: $3(x+4)(x−3)$

$48y^2+12y−36$

$18a^2−57a−21$

Відповідь: $3(2a−7)(3a+1)$

$3n^4−12n^3−96n^2$

Фактор, що використовує заміщення

У наступних вправах враховуєтьсяфактор за допомогою заміщення.

$x^4−13x^2−30$

Відповідь: $(x^2−15)(x^2+2)$

$(x−3)^2−5(x−3)−36$

Фактор Спеціальні продукти

Фактор ідеальних квадратних триномів

У наступних вправах, фактор повністю використовуючи ідеальний квадратний триноми візерунок.

$25x^2+30x+9$

Відповідь: $(5x+3)^2$

$36a^2−84ab+49b^2$

$40x^2+360x+810$

Відповідь: $10(2x+9)^2$

$5k^3−70k^2+245k$

$75u^4−30u^3v+3u^2v^2$

Відповідь: $3u^2(5u−v)^2$

Факторні відмінності квадратів

У наступних вправах, фактор повністю використовуючи різницю квадратів візерунка, якщо це можливо.

$81r^2−25$

$169m^2−n^2$

Відповідь: $(13m+n)(13m−n)$

$25p^2−1$

$9−121y^2$

Відповідь: $(3+11y)(3−11y)$

$20x^2−125$

$169n^3−n$

Відповідь: $n(13n+1)(13n−1)$

$6p^2q^2−54p^2$

$24p^2+54$

Відповідь: $6(4p^2+9)$

$49x^2−81y^2$

$16z^4−1$

Відповідь: $(2z−1)(2z+1)(4z^2+1)$

$48m^4n^2−243n^2$

$a^2+6a+9−9b^2$

Відповідь: $(a+3−3b)(a+3+3b)$

$x^2−16x+64−y^2$

Факторні суми та відмінності кубів

У наступних вправах, коефіцієнт повністю використовуючи суми і відмінності кубиків візерунка, якщо це можливо.

$a^3−125$

Відповідь: $(a−5)(a^2+5a+25)$

$b^3−216$

$2m^3+54$

Відповідь: $2(m+3)(m^2−3m+9)$

$81m^3+3$

Загальна стратегія факторингу поліномів

Розпізнайте та використовуйте відповідний метод для повного фактору полінома

У наступних вправах фактор повністю.

$24x^3+44x^2$

Відповідь: $4x^2(6x+11)$

$24a^4−9a^3$

$16n^2−56mn+49m^2$

Відповідь: $(4n−7m)^2$

$6a^2−25a−9$

$5u^4−45u^2$

Відповідь: $5u^2(u+3)(u−3)$

$n^4−81$

$64j^2+225$

Відповідь: прем'єр

$5x^2+5x−60$

$b^3−64$

Відповідь: $(b−4)(b^2+4b+16)$

$m^3+125$

$2b^2−2bc+5cb−5c^2$

Відповідь: $(2b+5c)(b−c)$

$48x^5y^2−243xy^2$

$5q^2−15q−90$

Відповідь: $5(q+3)(q−6)$

$4u^5v+4u^2v^3$

$10m^4−6250$

Відповідь: $10(m−5)(m+5)(m^2+25)$

$60x^2y−75xy+30y$

$16x^2−24xy+9y^2−64$

Відповідь: $(4x−3y+8)(4x−3y−8)$

Поліноміальні рівняння

Використовувати властивість нульового продукту

У наступних вправах вирішуйте.

$(a−3)(a+7)=0$

$(5b+1)(6b+1)=0$

Відповідь: $b=−\frac{1}{5},\space b=−\frac{1}{6}$

$6m(12m−5)=0$

$(2x−1)^2=0$

Відповідь: $x=\frac{1}{2}$

$3m(2m−5)(m+6)=0$

Розв'язування квадратних рівнянь методом факторингу

У наступних вправах вирішуйте.

$x^2+9x+20=0$

Відповідь: $x=−4,\space x=−5$

$y^2−y−72=0$

$2p^2−11p=40$

Відповідь: $p=−\frac{5}{2},p=8$

$q^3+3q^2+2q=0$

$144m^2−25=0$

Відповідь: $m=\frac{5}{12},\space m=−\frac{5}{12}$

$4n^2=36$

$(x+6)(x−3)=−8$

Відповідь: $x=2,\space x=−5$

$(3x−2)(x+4)=12$

$16p^3=24p^2+9p$

Відповідь: $p=0,\space p=\frac{3}{4}$

$2y^3+2y^2=12y$

Розв'язуйте рівняння з поліноміальними функціями

У наступних вправах вирішуйте.

Для функції, ⓐ знайти $f(x)=x^2+11x+20$ , коли $f(x)=−8$ ⓑ Використовуйте цю інформацію, щоб знайти дві точки, які лежать на графіку функції.

Відповідь: ⓐ $x=−7$ або\ $x=−4$
ⓑ $(−7,−8)$ $(−4,−8)$

Для функції, ⓐ знайти $f(x)=9x^2−18x+5$ , коли $f(x)=−3$ ⓑ Використовуйте цю інформацію, щоб знайти дві точки, які лежать на графіку функції.

$f(x)=64x^2−49$

$f(x)=6x^2−13x−5$

Розв'язуйте програми, змодельовані квадратними рівняннями

У наступних вправах вирішуйте.

Добуток двох послідовних чисел - 399. Знайдіть цифри.

Відповідь: Цифри $−21$ і $−19$ або 19 і 21.

Площа дворика прямокутної форми 432 квадратних футів. Довжина внутрішнього дворика на 6 футів більше його ширини. Знайдіть довжину і ширину.

Сходи спирається на стіну будівлі. Довжина сходів на 9 футів більше відстані дна сходів від будівлі. Відстань верхньої частини сходів доходить до сторони будівлі на 7 футів більше відстані нижньої частини сходів від будівлі. Знайдіть довжини всіх трьох сторін трикутника, утвореного сходами, спираючись на будівлю.

Відповідь: Довжини 8, 15 і 17 футів.

Шруті збирається кинути м'яч з вершини скелі. Коли вона кидає м'яч з 80 футів над землею, функція $h(t)=−16t^2+64t+80$ моделює висоту, h, м'яча над землею в залежності від часу, т. Знайти: ⓐ нулі цієї функції, яка говорить нам, коли м'яч вдарить об землю. ⓑ час (и) м'яч буде 80 футів над землею. ⓒ висота м'яча буде в $t=2$ секундах, коли м'яч буде у найвищій точці.

Розділ Практика Тест

У наступних вправах фактор повністю.

$80a^2+120a^3$

Відповідь: $40a^2(2+3a)$

$5m(m−1)+3(m−1)$

$x^2+13x+36$

Відповідь: $(x+7)(x+6)$

$p^2+pq−12q^2$

$xy−8y+7x−56$

Відповідь: $(x−8)(y+7)$

$40r^2+810$

$9s^2−12s+4$

Відповідь: $(3s−2)^2$

$6x^2−11x−10$

$3x^2−75y^2$

Відповідь: $3(x+5y)(x−5y)$

$6u^2+3u−18$

$x^3+125$

Відповідь: $(x+5)(x^2−5x+25)$

$32x^5y^2−162xy^2$

$6x^4−19x^2+15$

Відповідь: $(3x^2−5)(2x^2−3)$

$3x^3−36x^2+108x$

У наступних вправах вирішуйте

$5a^2+26a=24$

Відповідь: $a=\frac{4}{5},\space a=−6$

Добуток двох послідовних цілих чисел дорівнює 156. Знайти цілі числа.

Площа прямокутного килимка місця становить 168 квадратних дюймів. Його довжина на два сантиметри більше ширини. Знайдіть довжину і ширину підставки.

Відповідь: Ширина становить 12 дюймів, а довжина - 14 дюймів.

Цзін збирається кинути м'яч з балкона її кондо. Коли вона кидає м'яч з 80 футів над землею, функція $h(t)=−16t^2+64t+80$ моделює висоту, h, м'яча над землею в залежності від часу, т. Знайти: ⓐ нулі цієї функції, яка говорить нам, коли м'яч вдарить об землю. ⓑ час (и) м'яч буде 128 футів над землею. ⓒ висота м'яча буде в $t=4$ секундах.

Для функції, ⓐ знайти $f(x)=x^2−7x+5$ , коли $f(x)=−7$ ⓑ Використовуйте цю інформацію, щоб знайти дві точки, які лежать на графіку функції.

Відповідь: ⓐ $x=3$ або $x=4$ ⓑ $(3,−7)$ $(4,−7)$

Глосарій

ступінь рівняння полінома: Ступінь рівняння полінома - це ступінь многочлена.

рівняння полінома: Поліноміальне рівняння - це рівняння, яке містить поліноміальний вираз.

квадратне рівняння: Поліноміальні рівняння другого ступеня називаються квадратними рівняннями.

нуль функції: Значення xx, де функція дорівнює 0, називається нулем функції.

Нульова властивість продукту: Властивість нульового продукту говорить, що якщо добуток двох величин дорівнює нулю, то хоча б одна з величин дорівнює нулю.