Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.7: Варіація

  • Anonymous
  • LibreTexts

Цілі навчання

  • Вирішуйте програми, що включають пряму зміну.
  • Вирішуйте програми, що включають зворотну варіацію.
  • Вирішити додатки, що включають спільну варіацію

Пряма варіація

Розглянемо вантажний поїзд, що рухається з постійною швидкістю 30 миль на годину. Рівняння, яке виражає відстань, пройдену з цією швидкістю за часом, задається

D=30t

Через1 годину поїзд пройшов30 кілометри, через2 години поїзд проїхав60 кілометри і так далі. Ми можемо побудувати діаграму і графік це відношення.

Часt, в годиниках ВідстаньD=30t
\ (t\), у годинах">0 \ (Д = 30т\) ">0
\ (t\), у годинах">1 \ (Д = 30т\) ">30
\ (t\), у годинах">2 \ (Д = 30т\) ">60
\ (t\), у годинах">3 \ (Д = 30т\) ">90
\ (t\), у годинах">4 \ (Д = 30т\) ">120
Таблиця7.7.1
Знімок екрана (326) .png
Малюнок7.7.1

У цьому прикладі ми бачимо, що відстань змінюється з часом як добуток постійної швидкості,30 миль на годину та змінної,t. Цей зв'язок описується як пряма варіація і30 називається постійною варіації. Крім того, якщо ми розділимо обидві сторониD=30t наt ми маємо

Dt=30

У такому вигляді розумно сказати, щоD пропорційноt, де30 знаходиться константа пропорційності. Загалом, у нас

Ключові слова Переклад
«yзмінюється безпосередньо якx» y=kx
«yпрямо пропорційноx»
«yпропорційноx»
Таблиця7.7.2

Тутk ненульова і називається константою варіації або константою пропорційності.

Приклад7.7.1

Окружність кола прямо пропорційна його діаметру, а константа пропорційності -π. Якщо окружність вимірюється20 дюймами, то який радіус кола?

Рішення:

CДозволяти представляти окружність кола.

dДозволяти представляти діаметр кола.

Використовуйте той факт, що «окружність прямо пропорційна діаметру», щоб написати рівняння, яке пов'язує дві змінні.

C=kd

Нам дано, що «константа пропорційності є»π, абоk=π. Тому пишемо

C=πd

Тепер скористайтеся цією формулою, щоб знайти,d коли довжина окружності дорівнює20 дюймам.

20=πd20π=πdπ20π=d

Радіус кола,r, дорівнює половині його діаметра.

r=d2=20π2=20π12=10π

Відповідь:

Радіус -10π дюйми, або приблизно3.18 дюйми

Як правило, нам не дадуть константу варіації. Замість цього нам буде надана інформація, з якої її можна визначити.

Приклад7.7.2

Вага об'єкта на землі залежить безпосередньо від його ваги на Місяці. Якщо чоловік важить180 кілограми на землі, то він буде важити30 кілограми на Місяці. Встановіть алгебраїчне рівняння, яке виражає вагу на землі з точки зору ваги на Місяці, і використовуйте його для визначення ваги жінки на Місяці, якщо вона важить120 кілограми на землі.

Рішення:

Нехайy представляють вагу на Землі.

Нехайx представляють вагу на Місяці.

Нам дано, що «вага на землі змінюється безпосередньо до ваги на Місяці».

y=kx

Щоб знайти константу варіаціїk, використовуйте задану інформацію. A180 -pound людина на землі важить30 фунти на Місяці, абоy=180 колиx=30.

180=k30

Вирішити дляk.

18030=k6=k

Далі встановіть формулу, яка моделює задану інформацію.

y=6x

Це означає, що вага людини на землі в6 рази перевищує її вагу на Місяці. Щоб відповісти на питання, використовуйте вагу жінки на землі,y=120 фунти, і вирішуйте дляx.

120=6x1206=x20=x

Відповідь:

Жінка важить20 кілограми на настрій.

Зворотна варіація

Далі розглянемо взаємозв'язок між часом і ставкою,

r=Dt

Якщо ми хочемо пройти фіксовану відстань, то ми можемо визначити середню швидкість, необхідну для проходження цієї відстані за певний проміжок часу. Наприклад, якщо ми хочемо проїхати 240 миль за 4 години, ми можемо визначити необхідну середню швидкість наступним чином:

r=2404=6

Середня швидкість, необхідна для проїзду 240 миль за 4 години, становить 60 миль на годину. Якщо ми хочемо проїхати 240 миль за 5 годин, то визначаємо необхідну швидкість, використовуючи аналогічне рівняння:

r=2405=48

У цьому випадку нам доведеться лише в середньому 48 миль на годину. Ми можемо скласти діаграму і переглянути цю залежність на графіку.

Часt в годинах Швидкістьr=240t
\ (t\) в годинах">2 \ (r=\ гідророзриву {240} {t}\) ">120
\ (t\) в годинах">3 \ (r=\ гідророзриву {240} {t}\) ">80
\ (t\) в годинах">4 \ (r=\ гідророзриву {240} {t}\) ">60
\ (t\) в годинах">5 \ (r=\ frac {240} {t}\) ">48
Таблиця7.7.3
Знімок екрана (327) .png
Малюнок7.7.2

Це приклад зворотного зв'язку. Ми говоримо, щоr обернено пропорційно часуt, де240 константа пропорційності. Загалом, у нас

Ключові слова Переклад
«yзмінюється обернено, якx» y=kx
«yобернено пропорційнаx»
Таблиця7.7.4

Знову ж таки,k ненульовий і називається константою варіації або константою пропорційності.

Приклад7.7.3

Якщоy змінюється обернено, якx іy=5 колиx=2, то знайдіть константу пропорційності та рівняння, яке пов'язує дві змінні.

Рішення:

Якщо дозволитиk представляти константу пропорційності, то твердження «yзмінюється обернено якx» можна записати наступним чином:

y=kx

Використовуйте наведену інформацію,y=5 колиx=2, щоб знайтиk.

5=k2

Вирішити дляk.

\boldsymbol{\begin{aligned} \color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot 5}&=\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot\frac{k}{2}\\10&=k} \end{aligned}}

Тому формула, яка моделює проблему, є

y=10x

Відповідь:

Константа пропорційності є10, а рівняння єy=10x.

Приклад7.7.4

Вага об'єкта змінюється обернено, як квадрат його відстані від центру землі. Якщо предмет важить100 кілограми на поверхні землі (приблизно в4,000 милі від центру), то скільки він буде важити в1,000 милі над земною поверхнею?

Рішення:

wДозволяти представляти вагу об'єкта.

dДозволяти представляти відстань об'єкта від центру Землі.

Оскільки "wзмінюється обернено, як квадрат»d, ми можемо написати

w=kd2

Використовуйте надану інформацію для пошукуk. Об'єкт важить100 фунти на поверхні землі, приблизно в4,000 милі від центру. Іншими словами,w=100 колиd=4,000:

100=k(4000)2

Вирішити дляk:

(4,000)2100=(4,000)2k(4,000)21,600,000,000=k1.6×109=k

Тому ми можемо змоделювати проблему за допомогою наступної формули:

w=1.6×109d2

Щоб скористатися формулою, щоб знайти вагу, нам потрібно відстань від центру землі. Оскільки об'єкт знаходиться в1,000 милі над поверхнею, знайдіть відстань від центру землі, додавши4,000 милі:

d=4,000+1,000=5,000миль

Щоб відповісти на питання, скористайтеся формулою сd=5,000.

y=1.6×109(5,000)2=1.6×10925,000,000=1.6×1092.5×107=0.64×102=64

Відповідь:

Об'єкт буде важити64 фунти на відстані1,000 миль над поверхнею землі.

Спільна варіація

Нарешті, ми визначаємо відносини між декількома змінними. Загалом, у нас

Лексика Переклад
«yваріюється спільно якx іz» y=kyz
«yспільно пропорційнаx іz»
Таблиця7.7.5

Тутk ненульова і називається константою варіації або константою пропорційності.

Приклад7.7.5

Площа еліпса змінюється разом як половинаa великої осі еліпса, так іb половина другорядної осі еліпса. Якщо площа еліпса дорівнює300π \text{cm}^{2}, деa=10 см іb=30 см, то яка константа пропорційності? Дайте формулу для площі еліпса.

Знімок екрана (328) .png
Малюнок\PageIndex{3}

Рішення:

Якщо ми дозволимоA представляти площу еліпса, то ми можемо використовувати оператор «площа змінюється спільно якa іb», щоб написати

A=kab

Щоб знайти константу варіаціїk, використовуйте той факт, що площа - це300π колиa=10 іb=30.

\begin{aligned} 300\pi &=k(\color{OliveGreen}{10}\color{black}{)(}\color{OliveGreen}{30}\color{black}{)} \\ 300\pi &=300k \\ \pi&=k \end{aligned}

Отже, формула для площі еліпса

A=\pi ab

Відповідь:

Константа пропорційності єπ, а формула для площі єA=abπ.

Вправа\PageIndex{1}

Враховуючи, щоy змінюється безпосередньо як квадрат, такx і обернено доz, деy = 2 колиx = 3 іz = 27, знайтиy колиx = 2 іz = 16.

Відповідь

\frac{3}{2}

Ключові виноси

  • Налаштування проблем варіації зазвичай вимагає декількох кроків. Спочатку визначте ключові слова, щоб встановити рівняння, а потім використовувати дану інформацію, щоб знайти константу варіаціїk. Визначивши константу варіації, напишіть формулу, яка моделює задачу. Як тільки формула знайдена, використовуйте її, щоб відповісти на питання.

Вправа\PageIndex{2} Variation Problems

Переведіть наступні пропозиції в математичну формулу.

  1. ВідстаньD, яку може проїхати автомобіль, прямо пропорційна часуt, що він подорожує з постійною швидкістю.
  2. Розширення підвісної пружини,d, прямо пропорційна вазіw, прикріпленому до нього.
  3. Автомобільна відстань розривуd, прямо пропорційна квадрату швидкості автомобіля,v.
  4. VОбсяг сфери змінюється безпосередньо як куб її радіуса,r.
  5. ОбсягV, заданої маси газу обернено пропорційний тискуp, що чиниться на нього.
  6. Інтенсивність світла від джерела світла обернено пропорційна квадрату відстаніd, від джерела.I
  7. Кожна частинка речовини у Всесвіті притягує кожну іншу частинку з силоюF, яка прямо пропорційна добутку масm_{2},m_{1} причому, частинок і обернено пропорційна квадрату відстаніd, між ними.
  8. ПростийI відсоток,, спільно пропорційний річній процентній ставціr, і часt, в роках вкладається фіксована сума грошей.
  9. ПеріодT, маятника прямо пропорційний квадратному кореню його довжини,L.
  10. Часt, який потрібно об'єкту, щоб впасти, прямо пропорційно квадратному кореню відстаніd, яке воно падає.
Відповідь

1. D=kt

3. d=kv^{2}

5. V=\frac{k}{p}

7. F=\frac{km_{1}⋅m_{2}}{d^{2}}

9. T=k\sqrt{L}

Вправа\PageIndex{3} Variation Problems

Побудувати математичну модель з урахуванням наступного.

  1. yзмінюється безпосередньо якx, так іy = 30 колиx = 6.
  2. yзмінюється безпосередньо якx, так іy = 52 колиx = 4.
  3. yпрямо пропорційнаx, іy = 12 колиx = 3.
  4. yпрямо пропорційнаx, іy = 120 колиx = 20.
  5. yзмінюється безпосередньо якx, так іy = 14 колиx = 10.
  6. yзмінюється безпосередньо якx, так іy = 2 колиx = 8.
  7. yзмінюється обернено якx, так іy = 5 колиx = 7.
  8. yзмінюється обернено якx, так іy = 12 колиx = 2.
  9. yобернено пропорційнаx, іy = 3 колиx = 9.
  10. yобернено пропорційнаx, іy = 21 колиx = 3.
  11. yзмінюється обернено якx, так іy = 2 колиx = \frac{1}{8}.
  12. yзмінюється обернено якx, так іy = \frac{3}{2} колиx = \frac{1}{9}.
  13. yзмінюється спільно якx іz, деx = 4 іy = 8 колиz = \frac{1}{2}.
  14. yзмінюється спільно якx іz, деx =\frac{1}{3} іy = 24 колиz = 9.
  15. yспільно пропорційнаx іz, деy = 2 колиx = 1 іz = 3.
  16. yспільно пропорційнаx іz, деy = 15 колиx = 3 іz = 7.
  17. yзмінюється спільно якx іz, деx = \frac{1}{2} іy = \frac{2}{3} колиz = 12.
  18. yзмінюється спільно якx іz, деx = \frac{3}{2} іy = 5 колиz = \frac{2}{9}.
  19. yзмінюється безпосередньо як квадратx, деy = 45 колиx = 3.
  20. yзмінюється безпосередньо як квадратx, деy = 3 колиx = \frac{1}{2}.
  21. yобернено пропорційна квадратуx, деy = 27 колиx = \frac{1}{3}.
  22. yобернено пропорційна квадратуx, деy = 9 колиx = \frac{2}{3}.
  23. yваріюється спільно якx і квадратz, деy = 54 колиx = 2 іz = 3.
  24. yваріюється спільно якx і квадратz, деy = 6 колиx = \frac{1}{4} іz = \frac{2}{3}.
  25. yзмінюється спільно якxz і обернено, як квадратw, де,y = 30 колиx = 8, z = 3, іw = 2
  26. yваріюється спільно якxz і обернено як квадратw, деy = 5 колиx= 1, z = 3, іw = \frac{1}{2}.
  27. yваріюється безпосередньо як квадратний корінь, такx і обернено якz, де,y = 12 колиx= 9 іz = 5.
  28. yзмінюється безпосередньо як квадратний коріньx і обернено як квадратz, деy = 15 колиx = 25 іz = 2.
  29. yзмінюється безпосередньо як квадратx і обернено, якz і квадратw, деy = 14 колиx = 4, w = 2, іz = 2.
  30. yваріюється безпосередньо як квадратний коріньx і обернено, якz і квадратw, деy = 27 колиx = 9, w = \frac{1}{2}, іz = 4.
Відповідь

1. y=5x

3. y=4x

5. y=\frac{7}{5}x

7. y=\frac{35}{x}

9. y=\frac{27}{x}

11. y=\frac{1}{4x}

13. y=4xz

15. y=\frac{2}{3}xz

17. y=\frac{1}{9}xz

19. y=5x^{2}

21. y=3x^{2}

23. y=3xz^{2}

25. y=\frac{5xz}{w^{2}}

27. y=\frac{20x}{\sqrt{z}}

29. y=\frac{7x^{2}}{w^{2}z}

Вправа\PageIndex{4} Variation Problems

Додатки, що включають варіацію.

  1. Виручка в доларах прямо пропорційна кількості проданих фірмових толстовок. Якщо дохід, отриманий від продажу25 сорочок, становить $318.75, то визначте виручку, якщо30 продаються толстовки.
  2. Податок з продажу при покупці нового автомобіля варіюється безпосередньо як і ціна автомобіля. Якщо купується18,000 новий автомобіль $, то податок з продажу становить $1,350. Скільки стягується податок з продажу, якщо новий автомобіль коштує в $22,000?
  3. Ціна частки простих акцій в компанії прямо пропорційна прибутку на акцію (EPS) за попередні 12 місяців. Якщо ціна частки звичайних акцій в компанії дорівнює $,22.55 а EPS публікується як $1.10, то визначте вартість акцій, якщо EPS збільшується на $0.20.
  4. Відстань, пройдена в дорозі, залежить безпосередньо від часу, проведеного в дорозі. Якщо126 -мильна поїздка може бути здійснена за3 годинами, то яку відстань можна проїхати в4 годинами?
  5. Окружність кола прямо пропорційна його радіусу. Якщо окружність кола з радіусом7 сантиметрів вимірюється як14π сантиметри, то знайдіть константу пропорційності.
  6. Площа кола змінюється безпосередньо як квадрат його радіуса. Якщо площа кола з радіусом7 сантиметрів визначається49π квадратними сантиметрами, то знайдіть константу пропорційності.
  7. Площа поверхні сфери змінюється безпосередньо як квадрат її радіуса. Коли радіус сфери вимірює2 метри, площа поверхні вимірює16π квадратні метри. Знайдіть площу поверхні сфери з радіусом3 метрів.
  8. Обсяг сфери змінюється безпосередньо як куб її радіуса. Коли радіус сфери вимірює3 метри, обсяг становить36π кубічні метри. Знайдіть об'єм сфери з радіусом1 метра.
  9. При фіксованій висоті обсяг конуса прямо пропорційний квадрату радіуса біля основи. Коли радіус біля основи вимірює10 сантиметри, обсяг становить200 кубічні сантиметри. Визначте обсяг конуса, якщо радіус підстави зменшено вдвічі.
  10. Відстаньd, об'єкт у вільному падінні падає безпосередньо залежить від квадрата часуt, що він падав. Якщо предмет у вільному падінні опускає36 ноги за1.5 лічені секунди, то як далеко він впаде за3 лічені секунди?
Відповідь

1. $382.50

3. $26.65

5.

7. 36πквадратних метрів

9. 50кубічні сантиметри

Вправа\PageIndex{5} Variation Problems

Закон Гука передбачає, що розширення підвісної пружини прямо пропорційно прикріпленому до неї вазі. Константа зміни називається постійною пружини.

  1. Якщо підвісна пружина розтягується на5 дюйми, коли до неї прикріплений вага20 -фунт, то визначте її постійну пружину.
  2. Якщо підвісна пружина розтягується3 сантиметрами при прикріпленні до неї2 -кілограмової ваги, то визначте постійну пружини.
  3. Якщо підвісна пружина розтягується на3 дюйми, коли прикріплена вага2 -фунт, то наскільки вона розтягнеться з додаванням ваги5 -pound?
  4. Якщо підвісна пружина розтягується6 сантиметрами, коли до неї прикріплений4 кілограмовий вага, то як далеко вона розтягнеться з прикріпленим2 -кілограмовим вагою?
Відповідь

1. \frac{1}{4}

3. 7.5дюймів

Вправа\PageIndex{6} Variation Problems

Відстань розриву автомобіля прямо пропорційна квадрату його швидкості.

  1. Якщо потрібно36 ноги, щоб зупинити конкретний автомобіль, що рухається зі швидкістю30 миль на годину, то скільки відстань розриву потрібно, якщо швидкість -35 милі на годину?
  2. Після аварії було визначено, що водієві потрібні80 ноги, щоб зупинити свій автомобіль. В експерименті в подібних умовах потрібно45 ноги, щоб зупинити автомобіль, що рухається зі швидкістю30 миль на годину. Оцініть, наскільки швидко рухався водій до аварії.
Відповідь

1. 49ноги

Вправа\PageIndex{7} Variation Problems

Закон Бойла стверджує, що якщо температура залишається постійною, обсягV,, заданої маси газу обернено пропорційний тискуp, що чиниться на неї.

  1. Повітряна куля заповнюється до обсягу216 кубічних дюймів на водолазному човні під1 тиском. Якщо балон береться під водою приблизно33 футів, де тиск вимірює2 атмосфери, то який обсяг балона?
  2. Якщо балон заповнюється до216 кубічних дюймів під тиском3 атмосфер на глибині66 футів, то який обсяг був би на поверхні, де тиск -1 атмосфера?
  3. Щоб збалансувати гойдалки, відстань від точки опори, на якій повинен сидіти людина, обернено пропорційно його вазі. Якщо72 -фунт хлопчик сидить3 ногами від точки опори, то як далеко від точки опори повинен сидіти54 - фунт хлопчик, щоб збалансувати гойдалки?
  4. СтрумI, в електричному провіднику обернено пропорційний його опору,R. Якщо струм\frac{1}{4} ампер при опорі100 Ом, то який струм при опорі150 Ом?
  5. Кількість чоловіків, представлених тимy, що потрібно прокласти бруківку під'їзної доріжки прямо пропорційно площіA, проїзду і обернено пропорційно кількості часуt, дозволеного на виконання завдання. Як правило,3 чоловіки можуть укладати1,200 квадратні фути кругляка за4 годинами. Скільки чоловіків потрібно буде укладати2,400 квадратні фути кругляка6 за даними годинами?
  6. Обсяг правого кругового циліндра змінюється спільно як квадрат його радіуса і його висоти. Правий круглий циліндр з3 -сантиметровим радіусом і висотою4 сантиметрів має обсяг36π кубічних сантиметрів. Знайдіть формулу об'єму правого кругового циліндра через його радіус і висоту.
  7. ПеріодT, маятника прямо пропорційний квадратному кореню його довжини,L. Якщо довжина маятника1 метр, то період становить приблизно2 секунди. Приблизний період маятника, який становить0.5 метр в довжину.
  8. Часt, який потрібно об'єкту, щоб впасти, прямо пропорційно квадратному кореню відстаніd, яке воно падає. Об'єкт, що впав з4 ніг, займе\frac{1}{2} друге місце, щоб вдарити об землю. Скільки часу знадобиться скинутий з16 ніг предмет, щоб вдаритися об землю?
Відповідь

1. 108кубічних дюймів

3. 4ноги

5. 4чоловіки

7. 1.4секунд

Вправа\PageIndex{8} Variation Problems

Універсальний закон гравітації Ньютона стверджує, що кожна частинка матерії у Всесвіті притягує кожну іншу частинку силоюF, яка прямо пропорційна добутку масm_{2},m_{1} причому, частинок і обернено пропорційна квадрату відстані, d, Між ними. Константа пропорційності називається гравітаційної константою.

  1. Якщо два об'єкти з масою50 кілограмів і100 кілограмів знаходяться в\frac{1}{2} метрах один від одного, то вони виробляють приблизно1.34×10^{−6} ньютони (N) сили. Обчисліть гравітаційну константу.
  2. Використовуйте гравітаційну константу з попередньої вправи, щоб написати формулу, яка наближає силуF, в ньютонах між двома масамиm_{1} іm_{2}, виражену в кілограмах, враховуючи відстаньd між ними в метрах.
  3. Обчисліть силу в ньютонах між землею і місяцем, враховуючи, що маса Місяця дорівнює приблизно7.3×10^{22} кілограмам, маса землі дорівнює приблизно6.0×10^{24} кілограмам, а відстань між ними - в середніх1.5×10^{11} метрах.
  4. Розрахуйте силу в ньютонах між землею і сонцем, враховуючи, що маса Сонця становить приблизно2.0×10^{30} кілограми, маса землі дорівнює приблизно6.0×10^{24} кілограмам, а відстань між ними - в середніх3.85×10^{8} метрах.
  5. Якщоy змінюється безпосередньо як квадратx, то якy зміниться, якщоx подвоюється?
  6. Якщоy змінюється обернено, як квадратt, то якy зміниться, якщоt подвоюється?
  7. Якщоy змінюється безпосередньо як квадратx і обернено як квадратt, то якy зміниться, якщо обидваx іt подвоюються?
Відповідь

1. 6.7×10^{−11} \frac{N m^{2}}{kg^{2}}

3. 1.98×10^{20}N

5. yзміни за фактором4

7. yзалишається незмінним