2.3: Рішення лінійних рівнянь - Частина 1

Цілі навчання

• Визначте лінійні рівняння з однією змінною і перевірте їх розв'язки.
• Використовуйте властивості рівності для вирішення основних лінійних рівнянь.
• Використовуйте кілька кроків для вирішення лінійних рівнянь шляхом виділення змінної.
• Вирішіть лінійні рівняння, де коефіцієнти є дробами або десятковими числами.

Лінійні рівняння з однією змінною та їх розв'язки

Навчання розв'язуванню різних алгебраїчних рівнянь є однією з головних цілей алгебри. У цьому розділі представлені основні прийоми, що застосовуються для розв'язання лінійних рівнянь з однією змінною.

Рівняння - це твердження, яке вказує на те, що два алгебраїчні вирази рівні. Лінійне рівняння з однією змінною\(x\), - це рівняння, яке можна записати в загальному вигляді\(ax+b=0\), де\(a\) і\(b\) є дійсними числами і\(a≠0\). Ось кілька прикладів лінійних рівнянь, всі з яких вирішуються в цьому розділі:

\(x+3=-5\qquad 2x-5=15\qquad\frac{5}{3}x+2=-8\)

Рішення лінійного рівняння - це будь-яке значення, яке може замінити змінну для отримання істинного твердження. Змінна в лінійному рівнянні\(2x+3=13\) є\(x\), а рішення є\(x=5\). Щоб перевірити це, підставте значення\(5\) для\(x\) і перевірте, чи ви отримаєте true твердження.

\(\begin{aligned} 2x+13&=13 \\ 2(\color{Cerulean}{5}\color{black}{)+3}&=13 \\ 10+3&=13 \\ 13&=13\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Крім того, коли рівняння дорівнює константі, ми можемо перевірити рішення, підставивши значення змінної і показати, що результат дорівнює цій константі. У цьому сенсі ми говоримо, що рішення задовольняють рівнянню.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Чи\(x=3\) є рішенням\(−2x−3=−9\)?

Рішення:

\(-2x-3=-2(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)-3=-6-3=-9}\quad\color{Cerulean}{\checkmark}\)

Відповідь:

Так, це рішення, тому що\(x=3\) задовольняє рівнянню.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Чи\(a=−\frac{1}{2}\) є рішенням\(−10a+5=25\)?

Рішення:

\(-10a+5=-10\color{black}{\left( \color{Cerulean}{-\frac{1}{2}} \right) +5=5+5=10\neq 25}\quad\color{red}{x}\)

Відповідь:

Ні, це не рішення, тому що\(a=−\frac{1}{2}\) не задовольняє рівнянню.

Нагадаємо, що при оцінці виразів хороша практика спочатку замінити всі змінні дужками, потім підставити відповідні значення. Використовуючи дужки, ми уникаємо деяких поширених помилок при роботі з порядком операцій.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Чи\(y=−3\) є рішенням\(2y−5=−y−14\)?

Рішення:

Відповідь:

Так, це рішення, тому що\(y=−3\) виробляє правдиве твердження.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Чи\(x=−3\) є рішенням\(−2x+5=−1\)?

Відповідь

Ні

Розв'язування основних лінійних рівнянь

Почнемо з визначення еквівалентних рівнянь як рівнянь з однаковим набором розв'язків. Розглянемо наступні два лінійних рівняння і перевірте, чи є рішення\(x=7\).

\(\begin{array}{c|c} {\begin{aligned} 3x-5&=16 \\ 3(\color{Cerulean}{7}\color{black}{)-5}&=16 \\ 21-5&=16 \\ 16&=16\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}}&{\begin{aligned} 3x&=21 \\ 3(\color{Cerulean}{7}\color{black}{)}&=21 \\ 21&=21\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}} \end{array}\)

Тут ми бачимо, що два лінійних рівняння\(3x−5=16\) і\(3x=21\) рівнозначні, оскільки вони поділяють один і той же набір рішень, а саме,\(\{7\}\). Мета полягає в розробці систематичного процесу пошуку еквівалентних рівнянь, поки змінна не буде ізольована:

\(\left.\begin{aligned} 3x-5&=16 \\ 3x&=21 \\x&=7 \end{aligned}\right\} \quad\color{Cerulean}{Equivalent\:equations}\)

Для цього використовують властивості рівності. Дано алгебраїчні вирази A і B, де c - дійсне число, маємо наступне:

\(\begin{array}{ll}{\textbf{Addition Property of Equality}:} & { If\:A=B,\: then\: A\color{Cerulean}{+c}\color{black}{=B}\color{Cerulean}{+c}} \\ {\textbf{Subtraction Property of Equality:}}&{If\:A=B,\:then\:A\color{Cerulean}{-c}\color{black}{=B}\color{Cerulean}{-c}} \\ {\textbf{Multiplication Property of Equality:}}&{If\:A=B,\:then\:\color{Cerulean}{c}\color{black}{A=}\color{Cerulean}{c}\color{black}{B}} \\ {\textbf{Division Property of Equality:}}&{If\:A=B,\:then\:\color{black}{\frac{A}{\color{Cerulean}{c}}=\frac{B}{\color{Cerulean}{c}}}\:c\neq 0}\end{array}\)

Примітка

Обережно уникнути множення або ділення обох сторін\(0\) рівняння на. Ділення на\(0\) не визначено і множення обох сторін на\(0\) результати в рівнянні\(0 = 0\).

Підсумовуючи, рівність зберігається, і ви отримаєте еквівалентне рівняння, якщо ви додаєте, віднімаєте, множите або ділите обидві сторони рівняння на будь-яке ненульове дійсне число. Методика розв'язання лінійних рівнянь передбачає застосування цих властивостей з метою виділення змінної на одній стороні рівняння. Якщо лінійне рівняння має постійний член, то додаємо або віднімаємо його з обох сторін рівняння, щоб отримати еквівалентне рівняння, де змінний член ізольований.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:

\(x+3=−5\).

Рішення:

Щоб ізолювати змінну\(x\) з лівого боку, відніміть\(3\) з обох сторін.

Відповідь:

Рішення є\(x=−8\).

Щоб перевірити, що це правда,\(−8\) підставити в вихідне рівняння і спростити, щоб побачити, що воно задоволено:\(x+3=-8+3=-5\quad\checkmark\).

У попередньому прикладі після віднімання\(3\) з обох сторін ви отримаєте\(x+0=−8\). За адитивним властивістю ідентичності дійсних чисел це еквівалентно\(x=−8\). Цей крок часто залишається осторонь при поданні рішення.

Якщо змінний член рівняння (включаючи коефіцієнт) ізольований, то застосовують властивість множення або ділення рівності для отримання еквівалентного рівняння зі змінною ізольованою. Іншими словами, наша мета - отримати еквівалентне рівняння зі знаком рівності\(x\) або\(1x\) ізольованим на одній стороні.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вирішити:

\(−5x=−35\).

Рішення:

Коефіцієнт\(x\) є\(–5\), тому розділіть обидві сторони на\(−5\).

Відповідь:

Рішення є\(x=7\). Виконайте перевірку подумки, підставивши\(7\)\(x\) в вихідне рівняння.

У попередньому прикладі після поділу обох сторін на\(−5, x\) залишається коефіцієнт\(1\), тому що\(\frac{−5}{−5}=1\). Насправді, коли ми говоримо «ізолювати змінну», ми маємо на увазі змінити коефіцієнт змінної на\(1\),\(1x=7\) тому що еквівалентний\(x=7\). Цей крок часто залишається поза навчальними прикладами, хоча його упущення іноді є джерелом плутанини.

Ще однією важливою властивістю є симетрична властивість: для будь-яких алгебраїчних виразів\(A\) і\(B\),

\[\text{If }A=B,\text{ then }B=A\]

\(2=x\)Рівняння еквівалентно\(x=2\). Не має значення, з якого боку ми виберемо ізолювати змінну.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вирішити:

\(2=5+x\).

Рішення:

Виділіть змінну\(x\), віднімаючи\(5\) з обох сторін рівняння.

Відповідь:

Рішення є\(−3\), і перевірка рішення показує, що\(2 = 5 − 3\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:

\(6=x-4\)

Відповідь

\(x=10\)

Ізоляція змінної в два кроки

Лінійне рівняння форми\(ax+b=c\) займає два кроки для вирішення. По-перше, використовуйте відповідну властивість рівності додавання або віднімання для виділення змінного члена. Далі виділяють змінну, використовуючи властивість рівності множення або ділення. Перевірка рішень в наступних прикладах залишається за читачем.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вирішити:

\(2x-5=15\).

Рішення:

\(\begin{aligned} 2x-5&=15 \\ 2x-5\color{Cerulean}{+5}&=15\color{Cerulean}{+5} &\color{Cerulean}{Add\:5\:to\:both\:sides.} \\ 2x&=20 \\ \frac{2x}{\color{Cerulean}{2}}&=\frac{20}{\color{Cerulean}{2}} &\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:2.} \\ x&=10 \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(10\).

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вирішити:

\(−3x−2=9\).

Рішення:

\(\begin{aligned} -3x-2&=9 \\ -3x-2\color{Cerulean}{+2}&=9\color{Cerulean}{+2} &\color{Cerulean}{Add\:2\:to\:both\:sides.} \\ -3x&=11 \\ \frac{-3x}{\color{Cerulean}{-3}}&=\frac{11}{\color{Cerulean}{-3}} &\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:-3.} \\ x&=-\frac{11}{3} \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(-\frac{11}{3}\).

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Вирішити:

\(6−5y=−14\).

Рішення:

Коли жоден знак не передує терміну, він розуміється як позитивний. Іншими словами, подумайте про це як\(+6−5y=−14\). Почніть з віднімання\(6\) з обох сторін знака рівності.

Відповідь:

Рішення є\(4\).

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Вирішити:

\(3x+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\).

Рішення:

\(\begin{aligned} 3x+\frac{1}{2}&=\frac{2}{3} \\ 3x+\frac{1}{2}\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}}&=\frac{2}{3}\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}}&\color{Cerulean}{Subtract\:\frac{1}{2}\:from\:both\:sides.} \\ 3x&=\color{black}{\frac{2\cdot\color{OliveGreen}{2}}{3\cdot\color{OliveGreen}{2}}-\frac{1\cdot\color{OliveGreen}{3}}{2\cdot\color{OliveGreen}{3}}} &\color{Cerulean}{Obtain\:equivalent\:fractions\:with} \\ &&\color{Cerulean}{a\:common\:denominator.} \\ 3x&=\frac{4}{6}-\frac{3}{6} \\ 3x&=\frac{1}{6} \\ \frac{3x}{\color{Cerulean}{3}}&=\frac{6}{\color{Cerulean}{3}} &\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:3.} \\ x&=\frac{1}{6}\div\color{Cerulean}{3}\color{black}{=\frac{1}{6}\cdot}\color{Cerulean}{\frac{1}{3}}\color{black}{=\frac{1}{18}} \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(\frac{1}{18}\).

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Вирішити:

\(3−y=1\).

Рішення:

Нагадаємо,\(−y\) що еквівалентно\(−1y\); розділити обидві сторони рівняння на\(−1\).

\(\begin{aligned} -y&=-2\\ \frac{-1y}{\color{Cerulean}{-1}}&=\frac{-2}{\color{Cerulean}{-1}} \\ y&=2 \end{aligned}\)

Як варіант, помножте обидві сторони\(−y=−2\) на\(−1\) і досягайте однакового результату:

Відповідь:

Рішення є\(2\).

Підсумовуючи, щоб зберегти еквівалентні рівняння, ми повинні виконати одну і ту ж операцію з обох сторін рівняння. Спочатку застосуйте властивість додавання або віднімання рівності, щоб ізолювати змінний член, а потім застосуйте властивість множення або ділення рівності, щоб ізолювати змінну на одній стороні рівняння.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити:

\(−7x+6=27\).

Відповідь

\(x=−3\)

Множення на взаємну

Щоб вирішити подібне рівняння\(\frac{3}{4}x=1\), ми можемо виділити змінну, розділивши обидві сторони на коефіцієнт. Наприклад

\(\begin{aligned} \frac{3}{4}x&=1 \\ \frac{\frac{3}{4}x}{\color{Cerulean}{\frac{3}{4}}}&=\frac{1}{\color{Cerulean}{\frac{3}{4}}}\\x&=1\cdot\color{Cerulean}{\frac{4}{3}} \\ x&=\frac{4}{3} \end{aligned}\)

З лівого боку знака рівності дріб скасовується. З правого боку маємо комплексний дріб і множимо на зворотний коефіцієнта. Ви можете зберегти крок, визнавши це, і почати з множення обох сторін рівняння на зворотну коефіцієнту.

\(\begin{aligned} \frac{3}{4}x&=1 \\ \color{Cerulean}{\frac{4}{3}}\color{black}{\cdot\frac{3}{4}x}&=\color{Cerulean}{\frac{4}{3}}\color{black}{\cdot 1} \\ x&=\frac{4}{3} \end{aligned}\)

Нагадаємо, що добуток зворотних є\(1\), в даному випадку\(\frac{4}{3}⋅\frac{3}{4}=1\), залишаючи змінну ізольованою.

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Вирішити:

\(\frac{5}{3}x+2=−8\).

Рішення:

Виділіть змінний член, використовуючи властивість додавання рівності, а потім помножте обидві сторони рівняння на зворотну коефіцієнту\(\frac{5}{3}\).

Відповідь:

Рішення є\(-6\).

Приклад\(\PageIndex{13}\)

Вирішити:

\(−\frac{4}{5}x−5=15\).

Рішення:

\(\begin{aligned} -\frac{4}{5}x-5&=15 \\ -\frac{4}{5}x-5\color{Cerulean}{+5}&=15\color{Cerulean}{+5} \\ -\frac{4}{5}x&=20 \end{aligned}\)

Відповідним\(−\frac{4}{5}\) є\(−\frac{5}{4}\) тому, що\((−\frac{5}{4})(−\frac{4}{5})=+\frac{20}{20}=1\). Тому, щоб ізолювати змінну\(x\), помножте обидві сторони на\(−\frac{5}{4}\).

Відповідь:

Рішення є\(-25\).

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:

\(\frac{2}{3}x−9=−4\).

Відповідь

\(x=\frac{15}{2}\)

Ключові виноси

• Лінійні рівняння з однією змінною можна записати у вигляді\(ax+b=0\), де\(a\) і\(b\) є дійсними числами і\(a≠0\).
• «Вирішити лінійне рівняння» означає знайти числове значення, здатне замінити змінну і зробити істинне твердження.
• Властивості рівності надають інструменти для виділення змінної та розв'язування рівнянь.
• Щоб вирішити лінійне рівняння, спочатку ізолюйте змінний член, додавши протилежний постійному члену до обох сторін рівняння. Потім ізолюють змінну, діливши обидві сторони рівняння на її коефіцієнт.
• Після виділення змінного члена з коефіцієнтом дробу вирішують множенням обох сторін на зворотний коефіцієнту.

Вправа\(\PageIndex{5}\) Solutions to Linear Equations

Чи є дане значення розв'язком лінійного рівняння?

1. \(x−6=20; x=26\)
2. \(y+7=−6; y=−13\)
3. \(−x+5=17; x=12\)
4. \(−2y=44; y=11\)
5. \(4x=−24; x=−6\)
6. \(5x−1=34; x=−7\)
7. \(−2a−7=−7; a=0\)
8. \(−\frac{1}{3}x−4=−5; x=−3\)
9. \(−\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}=−\frac{1}{4}; x=\frac{11}{6}\)
10. \(−8x−33=3x; x=3\)
11. \(3y−5=−2y−15; y=−2\)
12. \(3(2x+1)=−4x−3; x=−\frac{1}{2}\)
13. \(\frac{1}{2}y−\frac{1}{3}=\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}; y=3\)
14. \(−\frac{4}{3}y+\frac{1}{9}=−\frac{2}{3}y−\frac{1}{9}; y=\frac{1}{3}\)

Відповідь

1. Так

3. Ні

5. Так

7. Так

9. Так

11. Так

13. Так

Вправа\(\PageIndex{6}\) Solving Basic Linear Equations

Вирішити.

1. \(x+3=13\)
2. \(y−4=22\)
3. \(−6+x=12\)
4. \(9+y=−4\)
5. \(x−\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\)
6. \(x+\frac{2}{3}=−\frac{1}{5}\)
7. \(x+2\frac{1}{2}=3\frac{1}{3}\)
8. \(−37+x=−37\)
9. \(4x=−44\)
10. \(-9x=63\)
11. \(−y=13\)
12. \(−x=−10\)
13. \(−9x=0\)
14. \(−3a=−33\)
15. \(27=18y\)
16. \(14=−7x\)
17. \(31. 5.6a=−39.2\)
18. \(−1.2y=3.72\)
19. \(\frac{1}{3}x=−\frac{1}{2}\)
20. \(−\frac{t}{12}=\frac{1}{4}\)
21. \(−\frac{7}{3}x=\frac{1}{2}\)
22. \(\frac{x}{5}=−3\)
23. \(\frac{4}{9}y=−\frac{2}{3}\)
24. \(−\frac{5}{8}y=−\frac{5}{2}\)

Відповідь

1. \(10\)

3. \(18\)

5. \(\frac{5}{6}\)

7. \(\frac{5}{6}\)

9. \(−11\)

11. \(−13\)

13. \(0\)

15. \(\frac{3}{2}\)

17. \(−7\)

19. \(−\frac{3}{2}\)

21. \(−\frac{3}{14}\)

23. \(−\frac{3}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) Solving Linear Equations

Вирішити.

1. \(5x+7=32\)
2. \(4x−3=21\)
3. \(3a−7=23\)
4. \(12y+1=1\)
5. \(21x−7=0\)
6. \(−3y+2=−13\)
7. \(−5x+9=8\)
8. \(22x−55=−22\)
9. \(4.5x−2.3=6.7\)
10. \(1.4−3.2x=3\)
11. \(9.6−1.4y=−10.28\)
12. \(4.2y−3.71=8.89\)
13. \(3−2y=−11\)
14. \(−4−7a=24\)
15. \(−10=2x−5\)
16. \(24=6−12y\)
17. \(\frac{5}{6}x−\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\)
18. \(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}\)
19. \(4a−\frac{2}{3}=−\frac{1}{6}\)
20. \(\frac{3}{5}x−\frac{1}{2}=\frac{1}{10}\)
21. \(−\frac{4}{5}y+\frac{1}{3}=\frac{1}{15}\)
22. \(−\frac{9}{16}x+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\)
23. \(−x+5=14\)
24. \(−y−7=−12\)
25. \(75−a=200\)
26. \(15=5−x\)
27. \(−8=4−2x\)
28. \(33−x=33\)
29. \(18=6−y\)
30. \(−12=−2x+3\)
31. \(−3=3.36−1.2a\)
32. \(0=−3.1a+32.55\)
33. \(\frac{1}{4}=−\frac{3}{8}+10x\)
34. \(70=50−\frac{1}{2}y\)

Відповідь

1. \(5\)

3. \(10\)

5. \(\frac{1}{3}\)

7. \(\frac{1}{5}\)

9. \(2\)

11. \(14.2\)

13. \(7\)

15. \(−\frac{5}{2}\)

17. \(\frac{7}{5}\)

19. \(\frac{1}{8}\)

21. \(\frac{1}{3}\)

23. \(−9\)

25. \(−125\)

27. \(6\)

29. \(−12\)

31. \(5.3\)

33. \(\frac{1}{16}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\) Solving Linear Equations

Переведіть наступні пропозиції в лінійні рівняння, а потім вирішіть.

1. Сума\(2x\) і\(5\) дорівнює\(15\).
2. Сума\(−3x\) і\(7\) дорівнює\(14\).
3. Різниця\(5x\) і\(6\) дорівнює\(4\).
4. Дванадцять разів\(x\) дорівнює\(36\).
5. Число,\(n\) розділене на\(8\) є\(5\).
6. Шість віднімається з двох разів число\(x\)\(12\).
7. Чотири\(n\) додається до трьох разів число\(25\).
8. Три чверті числа\(x\) - це\(9\).
9. Негативні дві третини раз число\(x\) дорівнює\(20\).
10. Половина числа\(x\) плюс\(3\) дорівнює\(10\).

Відповідь

1. \(2x+5=15; x=5\)

3. \(5x−6=4; x=2\)

5. \(\frac{n}{8}=5; n=40\)

7. \(3n+4=25; n=7\)

9. \(−\frac{2}{3}x=20; x=−30\)

Вправа\(\PageIndex{9}\) Solving Linear Equations

Знайти лінійне рівняння виду\(ax+b=0\) з заданим розв'язком, де\(a\) і\(b\) є цілими числами. (Відповіді можуть відрізнятися.)

1. \(x=2\)
2. \(x=−3\)
3. \(x=-\frac{1}{2}\)
4. \(x=\frac{2}{3}\)

Відповідь

1. \(x−2=0\)

3. \(2x+1=0\)

Вправа\(\PageIndex{10}\) Discussion Board Topics

1. Скільки кроків потрібно для вирішення будь-якого рівняння виду\(ax+b=c\)? Поясніть.
2. Замість того, щоб ділити на\(6\) коли\(6x=12\), ви могли б помножити на взаємний\(6\)? Чи завжди це працює?

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися