1.1: Реальні числа та номер рядка

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58106

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

НАВИЧКИ РОЗВИТКУ

Побудувати числову лінію і точки графіка на ній.
Використовуйте числовий рядок, щоб визначити порядок дійсних чисел.
Визначте протилежне дійсному числу.
Визначте абсолютне значення дійсного числа.

Визначення

Набір - це сукупність об'єктів, зазвичай згрупованих у фігурних дужках\(\{\)\(\}\), де кожен об'єкт називається елементом. Наприклад,\(\{\text{red, green, blue}\}\) це набір кольорів. Підмножина - це множина, що складається з елементів, які належать до заданої множини. Наприклад,\(\{\text{green, blue}\}\) це підмножина кольору, встановленого вище. Набір без елементів називається порожнім набором і має свої спеціальні позначення,\(\{\)\(\}\) або\(\varnothing\).

При вивченні математики ми орієнтуємося на спеціальні набори чисел. Набір натуральних (або рахункових) чисел, що позначаються\(\mathbb{N}\), дорівнює

\( \{1,2,3,4,5 , \dots \} \quad \color{Cerulean}{Natural\: Numbers} \)

Три періоди\((\dots)\) називаються крапкою і вказують на те, що числа тривають без обмежень. Безліч цілих чисел, що позначаються\(\mathbb{W}\), - це сукупність натуральних чисел, об'єднаних з нулем.

\( \{0,1,2,3,4,5 , \dots\} \quad \color{Cerulean}{Whole\: Numbers} \)

Безліч цілих чисел, що позначаються\(\mathbb{Z}\), складається як з позитивних, так і з від'ємних цілих чисел, а також з нуля.

\( \{\dots, -3,-2,-1,0,1,2,3 , \dots\} \quad \color{Cerulean}{Integers} \)

Зверніть увагу, що множини натуральних і цілих чисел є підмножинами множини цілих чисел.

Раціональні числа, що позначаються\(\mathbb{Q}\), визначаються як будь-яке число виду\(\dfrac{a}{b}\), де\(a\) і\(b\) є цілими числами і\(b\) є ненульовими. Десяткові числа, які повторюються або закінчуються, є раціональними. Наприклад,

\(0.7= \frac{7}{10} \quad \text{and} \quad 0. \overline{3} =0.3333 \dots = \frac{1}{3}\)

Множина цілих чисел є підмножиною множини раціональних чисел, оскільки кожне ціле число може бути виражено у вигляді співвідношення цілого числа і\(1\). Іншими словами, будь-яке ціле число може бути записано над\(1\) і може вважатися раціональним числом. Наприклад,

\(5= \frac{5}{1}\)

Ірраціональні числа визначаються як будь-яке число, яке не можна записати як співвідношення двох цілих чисел. Некінцеві десяткові знаки, які не повторюються, ірраціональні. Наприклад,

\(\pi =3.14159 \dots \quad \text{and} \quad \sqrt{2} = 1.41421 \dots\)

Безліч дійсних чисел, що позначаються\(\mathbb{R}\), визначається як сукупність всіх раціональних чисел, об'єднаних з безліччю всіх ірраціональних чисел. Тому всі визначені до цього часу числа є підмножинами множини дійсних чисел. Підсумовуючи,

Номер рядка

Реальна числова лінія, або просто числова лінія, дозволяє нам візуально відображати дійсні числа, пов'язуючи їх з унікальними точками на лінії. Справжнє число, пов'язане з точкою, називається координатою. Точка на дійсній числовій лінії, яка пов'язана з координатою, називається її графом.

Щоб побудувати числову лінію, намалюйте горизонтальну лінію зі стрілками на обох кінцях, щоб вказати, що вона триває без обмежень. Далі виберіть будь-яку точку для представлення числа нуль; ця точка називається початком.

Відзначте послідовну довжину по обидва боки початку і позначте кожну позначку галочки, щоб визначити масштаб. Позитивні дійсні числа лежать праворуч від походження, а від'ємні дійсні - ліворуч. Число нуль не\((0)\) є ні позитивним, ні негативним. Як правило, кожна галочка являє собою одну одиницю.

Як показано нижче, шкала не завжди повинна бути однією одиницею. У першому цифровому рядку кожна позначка позначає дві одиниці. У другому кожна позначка позначає\(\frac{1}{7}\) одиницю.

Графік кожного дійсного числа відображається у вигляді крапки у відповідній точці на числовій лінії. Частковий графік множини цілих чисел\(\mathbb{Z}\) виглядає наступним чином:

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Графік наведено наступний набір дійсних чисел:

Рішення

Графік чисел на числовому рядку зі шкалою, де кожна\(\frac{1}{2}\) позначка позначає одиницю.

Замовлення реальних чисел

При порівнянні дійсних чисел на числовому рядку більше число завжди буде лежати праворуч від меншого. Зрозуміло, що\(15\) більше\(5\), але це може бути не так зрозуміло, щоб побачити, що\(−1\) більше, ніж\(−5\) поки ми графуємо кожне число на числовому рядку.

Ми використовуємо символи, щоб допомогти нам ефективно спілкуватися між числами на числовому рядку. Символи, що використовуються для опису співвідношення рівності між числами, слідують:

\[\begin{align*} &= \quad \color{Cerulean}{is\ equal\ to} \\ &\neq \quad \color{Cerulean}{is\ not\ equal\ to} \\ &\approx \quad \color{Cerulean}{is\ approximately\ equal\ to} \end{align*}\]

Ці символи використовуються і інтерпретуються наступним чином:

\[\begin{align*} &5=5 \qquad &&\color{Cerulean}{5\ is\ equal\ to\ 5} \\ &0 \neq 5 \qquad &&\color{Cerulean}{0\ is\ not\ equal\ to\ 5} \\ &\pi \approx 3.14 \quad &&\color{Cerulean}{pi\ is\ approximately\ equal\ to\ 3.14} \end{align*}\]

Далі ми визначаємо символи, які позначають відносини порядку між дійсними числами.

\[\begin{align*} &< \quad \color{Cerulean}{Less\ than} \\ &> \quad \color{Cerulean}{Greater\ than} \\ &\leq \quad \color{Cerulean}{Less\ than\ or\ equal\ to} \\ &\geq \quad \color{Cerulean}{Greater\ than\ or\ equal\ to} \end{align*}\]

Ці символи дозволяють порівняти два числа. Наприклад,

Оскільки графік\(−120\) знаходиться ліворуч від графіка\(–10\) на числовому рядку, це число менше\(−10\). Ми могли б написати еквівалентне твердження наступним чином:

Аналогічно, оскільки графік нуля знаходиться праворуч від графіка будь-якого від'ємного числа на числовому рядку, нуль більше будь-якого від'ємного числа.

Символи\(<\) і\(>\) використовуються для позначення суворих нерівностей, а символи і використовуються для позначення інклюзивних нерівностей. У деяких ситуаціях може бути правильно застосований більше одного символу. Наприклад, такі два твердження є вірними:

Крім того, компонент інклюзивного нерівності «або дорівнює» дозволяє правильно записати наступне:

Логічне вживання слова «або» вимагає, щоб істинним було лише одне з умов: «менше ніж» або «дорівнює».

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Заповніть бланк за допомогою\(<, =\), або\(>: −2\) ____\(−12\).

Рішення

Використовуйте > тому що графік\(−2\) знаходиться праворуч від графіка\(−12\) на числовому рядку. Тому\(−2 > −12\), що говорить «негативні два більше негативних дванадцяти».

Відповідь:

\(-2>-12\)

У цьому тексті ми часто вказуємо еквівалентні позначення, що використовуються для вираження математичних величин в електронному вигляді за допомогою стандартних символів, доступних на клавіатурі. Почнемо з еквівалентного текстового позначення для нерівностей:

\[\begin{align*} &\geq &&">=" \\ &\leq &&"<=" \\ &\neq &&"!=" \end{align*}\]

Багато калькуляторів, систем комп'ютерної алгебри та мов програмування використовують ці позначення.

Протилежності

Протилежність будь-якому дійсному числу\(a\) є\(−a\). Протилежні дійсні числа - це однакова відстань від початку на числовій лінії, але їх графіки лежать на протилежних сторонях від походження і числа мають протилежні знаки.

Наприклад, ми говоримо, що\(10\) протилежне є\(−10\).

Далі розглянемо протилежне негативному числу. Задано ціле число\(−7\), ціле число однакова відстань від початку і з протилежним знаком дорівнює\(+7\), або просто\(7\).

Тому ми говоримо, що\(−7\) протилежне є\(−(−7) = 7\). Ця ідея призводить до того, що часто називають подвійним негативним властивістю. Для будь-якого дійсного числа\(a\)

\(-(-a)=a\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Що є протилежним\(-\frac{3}{4}\)?

Рішення

Тут ми застосовуємо властивість double-negative.

\(-(-\frac{3}{4})=\frac{3}{4}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Спростити\(-(-(4))\)

Рішення

Почніть з найпотаємніших дужок, знайшовши протилежне\(+4\).

\[\begin{align*} -(-(4)) &= -(\color{Cerulean}{-(4)} \color{Black}{)} \\ &= -(\color{Cerulean}{-4} \color{Black}{)} \\ &=4 \end{align*}\]

Відповідь

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Спростити:\(-(-(-2))\).

Рішення

Застосуйте властивість double-negative, починаючи з самих внутрішніх дужок.

\[\begin{align*} -(-(-2)) &= -(\color{Cerulean}{-(-2)} \color{Black}{)} \\ &= -(\color{Cerulean}{2} \color{Black}{)} \\ &=-2 \end{align*}\]

Відповідь

-2

чайові

Якщо є парна кількість послідовних негативних ознак, то результат позитивний. Якщо є непарна кількість послідовних негативних знаків, то результат негативний.

Спробуйте це!

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Спростити:\(-(-(-(5)))\).

Відповідь

-5

Порядок дій:

\[\begin{align*} -(-(-(5))) &= -(\color{Cerulean}{-(-(5))} \color{Black}{)}\\ &= -(\color{Cerulean}{-(-5)} \color{Black}{)} \\ &= -(\color{Cerulean}{5} \color{Black}{)} \\&= -5 \end{align*} \]

Відео Рішення:

(натисніть, щоб подивитися відео)

Абсолютна величина

Абсолютне значення дійсного числа\(a\), що позначається\(|a|\), визначається як відстань між нулем (початком) і графіком цього дійсного числа на числовому рядку. Оскільки це відстань, вона завжди позитивна. Наприклад,

\(|-4|=4 \quad \text{and} \quad |4|=4\)

Обидва\(4\) і\(−4\) є чотирма одиницями від походження, як показано нижче:

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Спростити:

а.\(|-12|\)

б.\(|12|\)

Рішення

Обидва\(−12\) і\(12\) є дванадцятьма одиницями від початку на числовому рядку. Тому,

\(|-12|=12 \quad \text{and} \quad |12|=12\)

Відповідь

а.\(12\) б.\(12\)

Також варто відзначити, що

\(|0|=0\)

Абсолютна величина може бути виражена текстуально за допомогою позначення abs\((a)\). Ми часто стикаємося з негативними абсолютними значеннями, такими як\(−|3|\) або\(−\) abs\((3)\). Зверніть увагу, що негативний знак знаходиться перед символом абсолютного значення. У цьому випадку спочатку спрацюйте абсолютне значення, а потім знайдіть протилежне результату.

Постарайтеся не плутати це з подвійно-негативним властивістю, яке говорить про це\(−(−7)=+7\).

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Простіше:\(-|-(-7)|\).

Рішення

Спочатку знайдіть протилежне\(−7\) всередині абсолютного значення. Потім знайдіть протилежне результату.

\[\begin{align*} -|\color{Cerulean}{-(-7)} \color{Black}{|} &= -|\color{Cerulean}{7} \color{Black}{|} \\ &=-7 \end{align*}\]

Відповідь

-7

У цей момент ми можемо визначити, які дійсні числа мають ту чи іншу абсолютну величину. Наприклад,

\(|?|=5\)

Подумайте про дійсне число, відстань до походження якого є\(5\) одиницями. Є два рішення: відстань праворуч від початку і відстань зліва від початку, а саме,\(\{\pm 5\}\). Символ\( (\pm) \) читається «плюс або мінус» і вказує на те, що є дві відповіді, один позитивний і один негативний.

\(|-5|=5\ \quad \text{and} \quad |5|=5\)

Тепер розглянемо наступне:

\(|?|=-5\)

Тут ми хочемо знайти значення, для якого відстань до початку від'ємне. Оскільки від'ємна відстань не визначена, це рівняння не має рішення. Якщо рівняння не має розв'язку, ми говоримо, що рішення є порожнім набором:\(\varnothing\).

Ключові винос

Будь-яке дійсне число може бути пов'язане з точкою на прямій.
Створіть числовий рядок, спочатку визначивши походження та позначивши масштаб, відповідний для даної задачі.
Негативні числа лежать зліва від походження, а позитивні - праворуч.
Менші числа завжди лежать ліворуч від більших чисел на числовому рядку.
Протилежність додатному числу негативна, а протилежна негативному - позитивна.
Абсолютне значення будь-якого дійсного числа завжди є додатним, оскільки воно визначено як відстань від нуля (початок) на числовому рядку.
Абсолютне значення нуля дорівнює нулю.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Скористайтеся нотацією set для переліку описаних елементів.

Годинники на годиннику.
Дні тижня.
Перші десять цілих чисел.
Перші десять натуральних чисел.
Перші п'ять натуральних парних чисел.
Перші п'ять натуральних непарних чисел.

Відповідь

1. \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\)

3. \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)

5. \(\{2, 4, 6, 8, 10\}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Визначте, чи є наступні дійсні числа цілими числами, раціональними або ірраціональними.

\(12\)
\(−3\)
\(4.5\)
\(−5\)
\(0.3 \overline{6} \)
\(0. \overline{3} \)
\(1.001000100001 \dots\)
\(1.00 \overline{1} \)
\(e=2.71828 \dots \)
\(\sqrt{7}=2.645751 \dots \)
\(−7\)
\(3.14\)
\(227\)
\(1.33\)
\(0\)
\(8,675,309\)

Відповідь

1: Ціле число, Раціональне

3: Раціональний

5: Раціональний

7: Ірраціональний

9: Ірраціональний

11: Ціле число, Раціональне

13: Раціональний

15: Ціле число, Раціональне

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Правда чи брехня.

Всі цілі числа є раціональними числами.
Всі цілі числа є цілими числами.
Всі раціональні числа є цілими числами.
Деякі ірраціональні числа є раціональними.
Всі кінцеві десяткові числа є раціональними.
Всі ірраціональні числа дійсні.

Відповідь

1: Правда

3: Помилковий

5: Правда

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Виберіть відповідний масштаб і графікуйте наступні набори дійсних чисел на числовому рядку.

\(\{−3, 0, 3\}\)
\(\{−2, 2, 4, 6, 8, 10\}\)
\(\{−2, −1/3, 2/3, 5/3\}\)
\(\{−5/2, −1/2, 0, 1/2 , 2\}\)
\(\{−5/7, 0, 2/7 , 1\}\)
\(\{ –5, –2, –1, 0\}\)
\(\{ −3, −2, 0, 2, 5\}\)
\(\{−2.5, −1.5, 0, 1, 2.5\}\)
\(\{0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2\}\)
\(\{−10, 30, 50\}\)
\(\{−6, 0, 3, 9, 12\}\)
\(\{−15, −9, 0, 9, 15\}\)

Відповідь

1. \(\{−3, 0, 3\}\)

3. \(\{−2, −1/3, 2/3, 5/3\}\)

5d60b52b0b6e50564cce17abb9413c4a.jpg (993А — 94) — Малюнок\(\PageIndex{13}\)

5. \(\{−5/7, 0, 2/7 , 1\}\)

dfe28a76e8c94c770ab7208c1ea40135.jpg (993А — 94) — Малюнок\(\PageIndex{14}\)

7. \(\{ −3, −2, 0, 2, 5\}\)

9. \(\{0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2\}\)

74efb4c094ff915b0603b080bc2744c1.jpg (994—62) — Малюнок\(\PageIndex{16}\)

11. \(\{−6, 0, 3, 9, 12\}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Заповніть бланк за допомогою\(<, =\), або\(>\).

\(−7\)___\(0\)
\(30\)___\(2\)
\(10\)___\(−10\)
\(−150\)___\(−75\)
\(−0.5\)___\(−1.5\)
\(0\)___\(0\)
\(-500\)___\(200\)
\(−1\)___\(−200\)
\(−10\)___\(−10\)
\(−40\)___\(−41\)

Відповідь

1. \(<\)

3. \(>\)

5. \(>\)

7. \(<\)

9. \(=\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Правда чи брехня.

\(5≠7\)
\(4=5\)
\(1≠1\)
\(−5>−10\)
\(4 \leq 4\)
\(−12 \geq 0\)
\(−10=−10\)
\(3>3\)
\(−1000<−20\)
\(0=0\)

Відповідь

1. Правда

3. Помилковий

5. Правда

7. Правда

9. Правда

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Перерахуйте номери.

Перерахуйте три цілих числа менше\(−5\).
Перерахуйте три цілих числа більше ніж\(−10\).
Перерахуйте три раціональних числа менше нуля.
Перерахуйте три раціональних числа, більші за нуль.
Перерахуйте три цілих числа між\(−20\) і\(−5\).
Перерахуйте три раціональних числа між\(0\) і\(1\).

Відповідь

1. \(−10, −7, −6\)(відповіді можуть відрізнятися)

3. \(−1, −2/3, −1/3\)(відповіді можуть відрізнятися)

5. \(−15, −10, −7\)(відповіді можуть відрізнятися)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Перекладіть кожне твердження в англійське речення.

\(10<20\)
\(−50 \leq −10\)
\(−4 \neq 0\)
\(30 \geq −1\)
\(0=0\)
\(e \approx 2.718\)

Відповідь

1. Десятка менше двадцяти.

3. Негативна четвірка не дорівнює нулю.

5. Нуль дорівнює нулю.

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Переведіть наступне в математичне твердження.

Негативна сімка менше нуля.
Двадцять чотири не дорівнює десяти.
Нуль більше або дорівнює негативному одиниці.
Чотири більше або дорівнює негативному двадцяти одному.
Негативні два дорівнює негативним два.
Негативні дві тисячі менше негативних однієї тисячі.

Відповідь

1. \(−7<0\)

3. \(0 \geq −1\)

5. \(−2=−2\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Спростити.

\(−(−9)\)
\(−(−35)\)
\(−(10)\)
\(−(3)\)
\(−(5)\)
\(−(34)\)
\(−(−1)\)
\(−(−(−1))\)
\(−(−(1))\)
\(−(−(−3))\)
\(−(−(−(−11)))\)

Відповідь

1. \(9\)

3. \(−10\)

5. \(−5\)

7. \(1\)

9. \(1\)

11. \(11\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Дайте відповідь на наступні питання.

У чому протилежність\(-12\)
Що є протилежним\(\pi \)?
Що навпаки\(−0.01\)?
Протилежність\(−12\) меншому або більшому, ніж\(−11\)?
Протилежність\(7\) меншому або більшому, ніж\(−6\)?

Відповідь

2. \(-\pi \)

4. Більший

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Заповніть бланк за допомогою\(<, =\), або\(>\).

\(−7\)___\(−(−8)\)
\(6\)___\(−(6)\)
\(13\)___\(−(−12)\)
\(−(−5)\)___\(−(−2)\)
\(−100\)___\(−(−(−50))\)
\(44\)___\(−(−44)\)

Відповідь

1. \(<\)

3. \(>\)

5. \(<\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Спростити.

\(|20|\)
\(|−20|\)
\(|−33|\)
\(|−0.75|\)
\(|−\frac{3}{5}|\)
\(|38|\)
\(|0|\)
\(|1|\)
\(−|12|\)
\(−|−20|\)
\(−|20|\)
\(−|−8|\)
\(−|7|\)
\(−|−316|\)
\(−(−|\frac{8}{9}|)\)
\(|−(−2)|\)
\(−|−(−3)|\)
\(−(−|5|)\)
\(−(−|−45|)\)
\(−|−(−21)|\)
абс\((6)\)
абс\((−7)\)
\(−\)абс\((5)\)
\(−\)абс\((−19)\)
\(−(−\)абс\((9))\)
\(−\)абс\((−(−12))\)

Відповідь

1. \(20\)

3. \(33\)

5. \(\frac{3}{5}\)

7. \(0\)

9. \(−12\)

11. \(−20\)

13. \(−7\)

15. \(\frac{8}{9}\)

17. \(−3\)

19. \(45\)

21. \(6\)

23. \(−5\)

25. \(9\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Визначте невідоме.

\(| ? |=9\)
\(| ? |=15\)
\(| ? |=0\)
\(| ? |=1\)
\(| ? |=−8\)
\(| ? |=−20\)
\(|?|−10=−2\)
\(|?|+5=14\)

Відповідь

1. \(\pm 9\)

3. \(0\)

5. \(\varnothing\), Немає рішення

7. \(\pm 8\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Заповніть бланк за допомогою\(<, =\), або\(>\).

\(|−2|\)____\(0\)
\(|−7|\)____\(|−10|\)
\(−10\)____\(−|−2|\)
\(|−6|\)____\(|−(−6)|\)
\(−|3|\)____\(|−(−5)|\)
\(0\)____\(−|−(−4)|\)

Відповідь

1. \(>\)

3. \(<\)

5. \(<\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Теми дискусійної дошки.

Досліджуйте і обговоріть історію числа нуль.
Досліджуйте та обговорюйте різні системи нумерації протягом історії.
Досліджуйте та обговоріть визначення та історію\(\pi\).
Дослідження історії ірраціональних чисел. Кому приписують доведення того, що квадратний корінь нераціональний і що з ним сталося?\(2\)
Досліджуйте та обговоріть історію абсолютного значення.
Обговоріть визначення абсолютної величини «просто зробіть позитивним»