7.6: Додатки

Цілі навчання

• Використовуйте складові і безперервні процентні формули.
• Розрахуйте час подвоєння.
• Використовуйте експоненціальну модель зростання/розпаду.
• Розрахуйте швидкість розпаду з урахуванням періоду напіврозпаду.

Складені та безперервні процентні формули

Нагадаємо, що складні відсотки виникають, коли відсотки, накопичені за один період, додаються до основної інвестиції перед нарахуванням відсотків на наступний період. Сума,$A$ нарахована таким чином з плином часу,$t$ моделюється за формулою складних відсотків:

$A(t)=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}$

Тут$P$ початковий основний капітал накопичує складні відсотки за річною ставкою,$r$ де значення$n$ представляє кількість разів, коли відсотки збільшуються за рік.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Сьюзен інвестувала $$500$ в рахунок, який заробляє$4 \frac{1}{2}$% річних відсотків, який збільшується щомісяця.

а. скільки буде на рахунку через$3$ роки?

б Скільки часу знадобиться, щоб сума виросла до $$750$?

Рішення

У цьому прикладі основна$P =$ сума $$500$, процентна ставка$r = 4 \frac{1}{2}$%$= 0.045$, а тому відсотки збільшуються щомісяця,$n = 12$. Інвестиція може бути змодельована наступною функцією:

$A(t)=500\left(1+\frac{0.045}{12}\right)^{12 t}$
$A(t)=500(1.00375)^{12 t}$

a. використовувати цю модель для розрахунку суми на рахунку через$t=3$ роки.

$\begin{aligned} A(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)} &=500(1.00375)^{12(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)}} \\ &=500(1.00375)^{36} \\ & \approx 572.12 \end{aligned}$

Округлено до найближчого цента, через$3$ роки накопичена сума становитиме $$572.12$.

б. обчислити час, необхідний для накопичення $$750$, встановити$A (t) = 750$ і вирішити для$t$.

$\begin{array}{l}{A(t)=500(1.00375)^{12 t}} \\ {\color{Cerulean}{750}\color{black}{=}500(1.00375)^{12 t}}\end{array}$

Це призводить до експоненціального рівняння, яке можна вирішити, спочатку ізолюючи експоненціальний вираз.

$\begin{aligned} 750 &=500(1.00375)^{12 t} \\ \frac{750}{500} &=(1.00375)^{12 t} \\ 1.5 &=(1.00375)^{12 t} \end{aligned}$

У цей момент візьміть загальний логарифм обох сторін, застосуйте правило потужності для логарифмів, а потім вирішіть для$t$.

$\begin{aligned} \log (1.5) &=\log (1.00375)^{12 t} \\ \log (1.5) &=12 t \log (1.00375)\\\frac{\log (1.5)}{\color{Cerulean}{12\log (1.00375)}}&\color{black}{=} \frac{\cancel{12}t\cancel{\log (1.00375)}}{\cancel{\color{Cerulean}{12\: \log (1.00375)}}} \\\frac{\log(1.5)}{12\:\log(1.00375)}&=t\end{aligned}$

За допомогою калькулятора ми можемо наблизити час, який він займає.

$t=\log (1.5) /(12 * \log (1.00375)) \approx 9$років

Відповідь:

а. $$572.12$

б. приблизно$9$ років

Період часу, який займає кількість для подвоєння, називається подвоєнням часу ²⁰. Далі ми окреслимо методику розрахунку часу, необхідного для подвоєння початкової інвестиції, заробляючи складні відсотки.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Маріо інвестував $$1000$ в рахунок, який заробляє$6.3$% річних відсотків, що ускладнюється півроку. Скільки часу знадобиться інвестиція, щоб подвоїти?

Рішення

Тут основна$P =$ сума $$1,000$, процентна ставка$r = 6.3$%$= 0.063$, а тому відсотки складаються півроку$n = 2$. Цю інвестицію можна змоделювати наступним чином:

$A(t)=1,000\left(1+\frac{0.063}{2}\right)^{2 t}$
$A(t)=1,000(1.0315)^{2 t}$

Оскільки ми шукаємо час, який потрібно для подвоєння $$1,000$, підставляємо $$2,000$ на отриману суму,$A (t)$ а потім вирішуємо для$t$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{2,000} &\color{black}{=}1,000(1.0315)^{2 t} \\ \frac{2,000}{1,000} &=(1.0315)^{2 t} \\ 2 &=(1.0315)^{2 t} \end{aligned}$

У цей момент беремо загальний логарифм обох сторін.

$\begin{aligned} 2 &=(1.0315)^{2 t} \\ \log 2 &=\log (1.0315)^{2 t} \\ \log 2 &=2 t \log (1.0315) \\ \frac{\log 2}{2 \log (1.0315)} &=t \end{aligned}$

За допомогою калькулятора ми можемо наблизити час, який він займає:

$t=\log (2) /(2 * \log (1.0315)) \approx 11.17$років

Відповідь:

Приблизно$11.17$ років подвоїти$6.3$ в%.

Якби інвестиції в попередньому прикладі становили мільйон доларів, скільки часу потрібно було б подвоїти? Щоб відповісти на це, ми використаємо$P =$ $$1,000,000$ та$A (t) =$ $$2,000,000$:

$\begin{aligned} A(t) &=1,000(1.0315)^{2 t} \\ \color{Cerulean}{2,000,000} &\color{black}{=}1,000,000(1.0315)^{2 t} \end{aligned}$

Розділивши обидві сторони на,$1,000,000$ отримаємо таку ж експоненціальну функцію, що і раніше.

$2=(1.0315)^{2 t}$

Значить, результат буде однаковим, приблизно$11.17$ років. Насправді час подвоєння не залежить від початкових інвестицій$P$.

Відсотки, як правило, складаються півроку$(n = 2)$, щокварталу$(n = 4)$$(n = 12)$, щомісяця або щодня$(n = 365)$. Однак, якщо інтерес посилюється кожну мить, ми отримуємо формулу для безперервного збільшення відсотків:

$A(t)=P e^{r t}$

Тут$P$ представлена початкова основна сума інвестування,$r$ являє собою річну процентну ставку і$t$ представляє час у роках інвестиції дозволяється нараховувати постійно збільшені відсотки.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Мері інвестувала $$200$ в рахунок, який заробляє$5 \frac{3}{4}$% річних відсотків, який постійно посилюється. Скільки часу знадобиться інвестиції, щоб вирости до $$350$?

Рішення

Тут основна$P =$ сума $$200$ і процентна ставка$r = 5 \frac{3}{4}$$= 5.75$%$= 0.0575$. Так як інтерес посилюється безперервно, скористайтеся формулою$A (t) = Pe^{rt}$. Отже, інвестиції можуть бути змодельовані наступним чином,

$A(t)=200 e^{0.0575 t}$

Щоб обчислити час, який потрібно накопичити до $$350$, встановити$A (t) = 350$ і вирішити для$t$.

$\begin{array}{r}{A(t)=200 e^{0.0575 t}} \\ {\color{Cerulean}{350}\color{black}{=}200 e^{0.0575 t}}\end{array}$

Почніть з виділення експоненціального виразу.

$\begin{aligned} \frac{350}{200} &=e^{0.0575 t} \\ \frac{7}{4} &=e^{0.0575 t} \\ 1.75 &=e^{0.0575 t} \end{aligned}$

Оскільки ця експоненціальна має базу$e$, ми вирішили взяти натуральний логарифм обох сторін, а потім вирішити для$t$.

$\begin{array}{l}{\ln (1.75)=\ln e^{0.0575 t}}\quad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:logarithms.} \\ {\ln (1.75)=0.0575 t \ln e} \quad\color{Cerulean}{Recall\:that\: \ln e=1.} \\ {\ln (1.75)=0.0575 t \cdot 1} \\ {\frac{\ln (1.75)}{0.0575}=t}\end{array}$

За допомогою калькулятора ми можемо наблизити час, який він займає:

$t=\ln (1.75) / 0.0575 \approx 9.73 \quad years$

Відповідь:

Це буде приблизно$9.73$ років.

При вирішенні додатків, пов'язаних зі складними відсотками, шукайте ключове слово «безперервний», або ключові слова, які вказують на кількість річних складів. Саме ці ключові слова визначають, яку формулу вибрати.

Вправа$\PageIndex{1}$

Маріо інвестував $$1,000$ в рахунок, який заробляє$6.3$% річних відсотків, який постійно посилюється. Скільки часу знадобиться інвестиція, щоб подвоїти?

Відповідь

Приблизно$11$ років.

www.youtube.com/В/З_ІІЛ

Моделювання експоненціального зростання та розпаду

У науках, коли кількість, як кажуть, зростає або розпадається експоненціально, вона спеціально призначена для моделювання за допомогою експоненціальної формули зростання/розпаду ²¹:

$P(t)=P_{0} e^{k t}$

Тут$P_{0}$ читається «$P$ні», або «$P$нуль», представляє початкову суму, k являє собою швидкість зростання і$t$ являє час, коли початкова сума зростає або розпадається в геометричній прогресії. Якщо$k$ негативний, то функція моделює експоненціальний розпад. Зверніть увагу, що функція виглядає дуже схоже на те, що постійно складати процентну формулу. Ми можемо використовувати цю формулу для моделювання зростання населення, коли умови оптимальні.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Підраховано, що населення певного невеликого містечка - це$93,000$ люди з річним темпом приросту$2.6$%. Якщо чисельність населення продовжує збільшуватися в геометричній прогресії такими темпами:

1. Оцініть чисельність населення$7$ в роках.
2. Оцініть час, який знадобиться населенню, щоб досягти 120 000 чоловік.

Рішення

Почнемо з побудови математичної моделі на основі заданої інформації. Тут початкове населення$P_{0} = 93,000$ населення і темп$r = 2.6$ зростання%$= 0.026$. Наступна модель дає чисельність населення за часом, виміряним у роках:

$P(t)=93,000 e^{0.026 t}$

a. використовувати цю функцію для оцінки чисельності населення в$t = 7$ роках.

$\begin{aligned} P(t) &=93,000 e^{0006(\color{Cerulean}{7}\color{black}{)}} \\ &=93,000 e^{0.182} \\ & \approx 111,564 \quad people \end{aligned}$

б Використовуйте модель, щоб визначити час, необхідний для досягнення$P (t) = 120,000$ людей.

$\begin{aligned} P(t) &=93,000 e^{0.026 t} \\ \color{Cerulean}{120,000} &\color{black}{=}93,000 e^{0.026 t} \\ \frac{120,000}{93,000} &=e^{0.026 t} \\ \frac{40}{31} &=e^{0.026 t} \end{aligned}$

Візьміть натуральний логарифм обох сторін, а потім вирішіть для$t$.

$\ln \left(\frac{40}{31}\right)=\ln e^{0.026 t}$
$\ln \left(\frac{40}{31}\right)=0.026 t \ln e$
$\ln \left(\frac{40}{31}\right)=0.026 t \cdot 1$
$\frac{\ln \left(\frac{40}{31}\right)}{0.026}=t$

Використовуючи калькулятор,

$t=\ln (40 / 31) / 0.026 \approx 9.8\quad years$

Відповідь:

1. $111,564$люди
2. $9.8$років

Часто темпи зростання не$k$ дають. У цьому випадку ми шукаємо якусь іншу інформацію, щоб ми могли її визначити, а потім побудувати математичну модель. Загальні кроки викладені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{5}$:

За оптимальних умов бактерії кишкової палички (кишкової палички) будуть рости експоненціально з подвоєнням часу$20$ хвилин. Якщо клітини$1,000$ кишкової палички поміщаються в чашку Петрі і підтримуються в оптимальних умовах, скільки клітин кишкової палички буде присутнім за$2$ годинами?

Малюнок$\PageIndex{1}$: кишкова паличка (кишкова паличка)

Рішення

Мета полягає в тому, щоб використовувати задану інформацію для побудови математичної моделі на основі формули$P (t) = P_{0} e^{kt}$.

Крок 1: Знайдіть швидкість зростання$k$. Використовуйте той факт, що початкова кількість,$P_{0} = 1,000$ клітини, подвоюється за$20$ лічені хвилини. Тобто$P (t) = 2,000$ клітини, коли$t = 20$ хвилини.

$\begin{aligned} P(t) &=P_{0} e^{k t} \\ \color{Cerulean}{2,000} &\color{black}{=}1,000 e^{k \color{Cerulean}{20}} \end{aligned}$

Вирішити для єдиної змінної$k$.

$\begin{aligned} 2,000 &=1,000 e^{k 20} \\ \frac{2,000}{1,000} &=e^{k 20} \\ 2 &=e^{k 20} \\ \ln (2) &=\ln e^{k 20} \\ \ln (2) &=k 20 \ln e \\ \ln (2) &=k 20 \cdot 1 \\ \frac{\ln (2)}{20} &=k \end{aligned}$

Крок 2: Напишіть математичну модель на основі заданої інформації. Тут$k ≈ 0.0347$, що становить близько$3.5$% темпів зростання в хвилину. Однак ми будемо використовувати точне значення для$k$ в нашій моделі. Це дозволить уникнути помилки округлення в кінцевому результаті. Використовувати$P_{0} = 1,000$ і$k=\ln (2) / 20$:

$P(t)=1,000 e^{(\ln (2) / 20) t}$

Це рівняння моделює кількість клітин кишкової палички за часом у хвилинах.

Крок 3: Використовуйте функцію, щоб відповісти на питання. У цьому випадку нас просять знайти кількість осередків, присутніх в$2$ годині. Оскільки час вимірюється в хвилинах, використовуйте$t = 120$ хвилини для обчислення кількості клітин кишкової палички.

$\begin{aligned} P(\color{Cerulean}{120}\color{black}{)} &=1,000 e^{(\ln (2) / 20)(\color{Cerulean}{120}\color{black}{)}} \\ &=1,000 e^{\ln (2) \cdot 6} \\ &=1,000 e^{\ln 2^{6}} \\ &=1,000 \cdot 2^{6} \\ &=64,000 \text { cells } \end{aligned}$

Відповідь:

Через дві години$64,000$ осередки будуть присутні.

Коли швидкість росту негативна, функція моделює експоненціальний розпад. Ми можемо описати зменшення кількості, використовуючи період напіврозпаду ²², або час, необхідний для розпаду до половини заданої кількості.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Внаслідок радіоактивного розпаду цезій-137 має період напіврозпаду$30$ років. Скільки часу знадобиться зразок$50$ -міліграм, щоб розпасти до$10$ міліграмів?

Рішення

Використовуйте інформацію про період напіврозпаду, щоб визначити швидкість розпаду$k$. У$t = 30$ роки початкова кількість$P_{0} = 50$ міліграмів розпадеться до половини$P (30) = 25$ міліграмів.

$\begin{aligned} P(t) &=P_{0} e^{k t} \\ 25 &=50 e^{k 30} \end{aligned}$

Вирішити для єдиної змінної,$k$.

$\begin{aligned}25&=50 e^{130} \\ \frac{25}{50}&=e^{30 k} \\ \ln \left(\frac{1}{2}\right)&=\ln e^{30 k} \\ \ln \left(\frac{1}{2}\right)&=30 k \ln e \\ \frac{\ln 1-\ln 2}{30}&=k\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Recall\:that\:\ln1=0.} \\ -\frac{\ln 2}{30}&=k\end{aligned}$

Зверніть увагу, що$k=-\ln \frac{2}{30} \approx-0.0231$ є негативним. Однак ми будемо використовувати точне значення для побудови моделі, яка дає кількість цезію-137 по відношенню до часу в роках.

$P(t)=50 e^{(-\ln 2 / 30) t}$

Використовуйте цю модель, щоб знайти,$t$ коли$P (t) = 10$ міліграм.

$\begin{aligned}10&=50 e^{(-\ln 2 / 30) t} \\ \frac{10}{50}&=e^{(-\ln 2 / 30) t} \\ \ln \left(\frac{1}{5}\right)&=\ln e^{(-\ln 2 / 30) t} \\ \ln 1-\ln 5&=\left(-\frac{\ln 2}{30}\right) t \ln e \quad\color{Cerulean} { Recall\: that\: \ln e=1. }\\ -30\frac{(\ln 1-\ln5)}{\ln 2}&=t\\-\frac{30(0-\ln 5)}{\ln 2}&=t \\ \frac{30\ln 5}{\ln 2}&=t\end{aligned}$

Відповідь:

Використовуючи калькулятор, на розпад до$10$ міліграмів знадобляться$t ≈ 69.66$ роки.

Радіовуглецеве датування - це метод, який використовується для оцінки віку артефактів на основі відносної кількості присутнього в ньому вуглецю-14. Коли організм гине, він перестає поглинати цей природний радіоактивний ізотоп, і вуглець-14 починає розпадатися з відомою швидкістю. Тому кількість вуглецю-14, присутнього в артефакті, може бути використано для оцінки віку артефакту.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Встановлено, що стародавній кістковий інструмент$25$ містить% вуглецю-14, який зазвичай міститься в кістці. З огляду на, що вуглець-14 має період напіввиведення$5,730$ років, оцініть вік кошти.

Рішення

Почніть з використання Half-Life інформації, щоб знайти$k$. Тут початкова$P_{0}$ кількість вуглецю-14 не наводиться, однак, ми знаємо, що через$t = 5,730$ роки ця сума розпадається до половини$\frac{1}{2} P_{0}$.

$P(t)=P_{0} e^{k t}$
$\frac{1}{2} P_{0}=P_{0} e^{k 5,730}$

Поділ обох сторін на$P_{0}$ залишає нам експоненціальне рівняння в терміні$k$. Це показує, що період напіврозпаду не залежить від початкової кількості.

$\frac{1}{2}=e^{k5,730}$

Вирішити для$k$.

$\begin{aligned}\ln \left(\frac{1}{2}\right)&=\ln e^{k 5,730}\\ \ln1-\ln2 &= 5,730k\ln e \\ \frac{0-\ln 2}{5,730}&=k \\ -\frac{\ln 2}{5,730}&=k\end{aligned}$

Тому у нас є модель,

$P(t)=P_{0} e^{(-\ln 2 / 5,730) t}$

Далі ми бажаємо знайти час, щоб вуглець-14 розпався$25$ до% від початкової кількості, або$P (t) = 0.25P_{0}$

. $0.25 P_{0}=P_{0} e^{(-\ln 2 / 5,730) t}$

Розділіть обидві сторони на$P_{0}$ і вирішуйте для$t$.

$\begin{aligned} 0.25 &=e^{(-\ln 2 / 5,730) t} \\ \ln (0.25) &=\ln e^{(-\ln 2 / 5,730) t} \\ \ln (0.25) &=\left(-\frac{\ln 2}{5,730}\right)_{t \ln e} \\-\frac{5,730 \ln (0.25)}{\ln 2} &=t\\11,460&\approx t \end{aligned}$

Відповідь:

Засіб приблизно$11,460$ років.

Вправа$\PageIndex{2}$

Період напіввиведення стронцію-90 становить близько$28$ років. Скільки часу знадобиться$36$ міліграмова проба стронцію-90, щоб розпасти до$30$ міліграмів?

Відповідь

$7.4$років

www.youtube.com/В/ОТО0ІІІВБК

Ключові винос

• Коли відсотки посилюються задану кількість разів на рік, використовуйте формулу$A(t)=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}$.
• Коли інтерес потрібно постійно посилювати, використовуйте формулу$A(t)=P e^{r t}$.
• Подвоєння часу - це період часу, який займає задану суму, щоб подвоїти. Подвоєння часу не залежить від принципалу.
• Коли суми, як кажуть, збільшуються або розпадаються в геометричній прогресії, використовуйте формулу$P(t)=P_{0} e^{k t}$.
• Період напіврозпаду - це період часу, який займає певну суму, щоб зменшити до половини. Період напіввиведення не залежить від початкової кількості.
• Для моделювання даних за допомогою експоненціальної формули зростання/розпаду використовуйте наведену інформацію для визначення швидкості зростання/розпаду$k$. Після$k$ визначення можна записати формулу для моделювання проблеми. Використовуйте формулу, щоб відповісти на питання.

Вправа$\PageIndex{3}$

1. Джилл інвестувала $$1,450$ в рахунок, який заробляє$4 \frac{5}{8}$% річних відсотків, який збільшується щомісяця.
   1. Скільки буде на рахунку через$6$ роки?
   2. Скільки часу знадобиться рахунок, щоб вирости до $$2,200$?
2. Джеймс інвестував $$825$ в рахунок, який заробляє$5 \frac{2}{5}$% річних відсотків, який збільшується щомісяця.
   1. Скільки буде на рахунку через$4$ роки?
   2. Скільки часу знадобиться рахунок, щоб вирости до $$1,500$?
3. Рауль інвестував $$8,500$ в фонд онлайн-грошового ринку, який заробляє$4.8$% річних відсотків, який постійно посилюється.
   1. Скільки буде на рахунку через$2$ роки?
   2. Скільки часу знадобиться рахунок, щоб вирости до $$10,000$?
4. Ян депонував $$500$ на рахунок, який заробляє$3.9$% річних відсотків, який постійно посилюється.
   1. Скільки буде на рахунку через$3$ роки?
   2. Скільки часу знадобиться рахунок, щоб вирости до $$1,500$?
5. Білл хоче виростити свою $$75,000$ спадщину до $,$100,000$ перш ніж витрачати будь-який з них. Скільки часу це займе, якщо банк пропонує$5.2$% річних відсотків, що складаються щоквартально?
6. Мері потрібні $$25,000$ для початкового внеску на новий будинок. Якщо вона інвестує свої заощадження в розмірі $$21,350$ в рахунок, який заробляє$4.6$% річних відсотків, який посилюється півроку, скільки часу знадобиться, щоб вирости до тієї суми, яка їй потрібна?
7. Джо інвестував свої$8,700$ заощадження $ на рахунок, який заробляє$6 \frac{3}{4}$% річних відсотків, який постійно посилюється. Скільки часу знадобиться, щоб заробити $$300$ в процентах?
8. Міріам інвестувала $$12,800$ в рахунок, який заробляє$5 \frac{1}{4}$% річних відсотків, який збільшується щомісяця. Скільки часу знадобиться, щоб заробити $$1,200$ в процентах?
9. Враховуючи, що банк пропонує$4.2$% річних відсотків, що складаються щомісяця, який основний капітал потрібен, щоб заробити $$25,000$ в процентах за один рік?
10. Враховуючи, що банк пропонує$3.5$% річних відсотків, що сумуються безперервно, який основний капітал потрібен, щоб заробити $$12,000$ в процентах протягом одного року?
11. Хосе інвестував свій$3,500$ бонус $ в рахунок, який заробляє$5 \frac{1}{2}$% річних відсотків, який збільшується щоквартально. Скільки часу знадобиться, щоб подвоїти його інвестиції?
12. Марія інвестувала$4,200$ свої заощадження в $ на рахунок, який заробляє$6 \frac{3}{4}$% річних відсотків, який ускладнюється півріччя. Скільки часу знадобиться, щоб подвоїти її заощадження?
13. Якщо гроші інвестуються в рахунок, який заробляє$3.85$% річних відсотків, який постійно збільшується, скільки часу знадобиться сума, щоб подвоїти?
14. Якщо гроші інвестуються в рахунок, який заробляє$6.82$% річних відсотків, який постійно збільшується, скільки часу знадобиться сума, щоб подвоїти?
15. Знайдіть річну процентну ставку, за якою рахунок, який постійно нараховує відсотки, має час подвоєння$9$ років.
16. Знайдіть річну процентну ставку, за якою рахунок заробляє відсотки, що складаються щомісяця, має подвоєння$10$ років.
17. Аліса інвестувала свої заощадження$7,000$ в розмірі $ на рахунок, який заробляє$4.5$% річних відсотків, який збільшується щомісяця. Як довго буде потрібно рахунок, щоб втричі в ціні?
18. Мері інвестувала свій$42,000$ бонус $ на рахунок, який заробляє$7.2$% річних відсотків, який постійно посилюється. Як довго буде потрібно рахунок, щоб втричі в ціні?
19. Обчисліть час подвоєння інвестиції,$7$ здійсненої під% річних відсотків, що складається:
    1. щомісяця
    2. безперервно
20. Обчисліть час подвоєння інвестиції, яка заробляє постійно збільшуючи відсотки за річною процентною ставкою:
    1. $4$%
    2. $6$%
21. Дід Біллі інвестував у ощадну облігацію, яка заробляла$5.5$% річних відсотків, які щорічно ускладнювалися. В даний час, через$30$ роки, ощадна облігація оцінюється в $$10,000$. Визначте, які були початкові інвестиції.
22. У 1935 році Френк відкрив рахунок, що заробляє$3.8$% річних відсотків, який збільшувався щоквартально. Він знову відкрив цей рахунок під час прибирання свого гаража в 2005 році. Якщо рахунок зараз коштує $$11,294.30$, скільки був його початковий депозит в 1935 році?

Відповідь

1. (1) $$1,912.73$ (2)$9$ років

3. (1) $$9,356.45$ (2)$3.4$ років

5. $5.6$років

7. $\frac{1}{2}$рік

9. $$583,867$

11. $12.7$років

13. $18$років

15. $7.7$%

17. $24.5$років

19. (1)$9.93$ роки (2)$9.90$ роки

21. $$2,006.44$

Вправа$\PageIndex{4}$

1. Очікується, що населення невеликого$24,000$ містечка населення зросте в геометричній прогресії зі швидкістю$1.6$% на рік. Побудувати експоненціальну модель зростання і використовувати її для:
   1. Оцініть чисельність населення$3$ в роках.
   2. Оцініть час, який знадобиться населенню, щоб охопити$30,000$ людей.
2. Під час експоненціальної фази росту певні бактерії можуть рости зі швидкістю$4.1$% на годину. Якщо$10,000$ клітини спочатку присутні у вибірці, побудуйте експоненціальну модель зростання та використовуйте її для:
   1. Оцініть чисельність населення в$5$ годинами.
   2. Оцініть час, який знадобиться для того, щоб популяція досягла$25,000$ клітин.
3. У 2000 році населення світу оцінювалося в$6.115$ мільярд людей, а в 2010 році оцінка становила$6.909$ мільярд людей. Якщо населення світу продовжує зростати в геометричній прогресії, оцініть загальну чисельність населення світу в 2020 році.
4. У 2000 році населення Сполучених Штатів оцінювалося в$282$ мільйон чоловік, а в 2010 році оцінка становила$309$ мільйон чоловік. Якщо населення США зростає в геометричній прогресії, оцініть чисельність населення в 2020 році.
5. Автомобіль був придбаний новий за $,$42,500$ а через$2$ роки його оцінили в $$33,400$. Оцініть вартість автомобіля в$5$ роках, якщо вона продовжує зменшуватися в геометричній прогресії.
6. Новий ПК був придбаний за $$1,200$ і через$1.5$ роки він коштував $$520$. Припустимо, що значення зменшується експоненціально і оцініть вартість ПК через чотири роки після його придбання.
7. Населення центру міста певного міста скоротилося від$12,500$ людей до$10,200$ людей за два роки. Якщо населення продовжить експоненціально зменшуватися такими темпами, що б ми очікували, що населення буде ще через два роки?
8. Новий MP3-плеєр був придбаний за $$320$ і в$1$ рік він продавався б/у в Інтернеті за $$210$. Якщо значення продовжує зменшуватися експоненціально з цією швидкістю, визначте значення MP3-плеєра через$3$ роки після його придбання.
9. Період напіввиведення радію-226 становить близько$1,600$ років. Скільки часу проба$5$ -міліграм радію-226 прийме до розпаду до$1$ міліграма?
10. Період напіввиведення плутонію-239 становить близько$24,000$ років. Як довго проба$5$ -міліграм плутонію-239 прийме до розпаду до$1$ міліграма?
11. Період напіввиведення радіоактивного йоду-131 становить близько$8$ доби. Скільки часу знадобиться$28$ -грам початкового зразка йоду-131 для розпаду до$12$ грамів?
12. Період напіввиведення цезію-137 становить близько$30$ років. Скільки часу знадобиться$15$ -міліграмовий зразок цезію-137, щоб розпастися до$5$ міліграмів?
13. Математичний папірус Rhind вважається найкращим прикладом єгипетської математики, знайденої на сьогоднішній день. Виявлено, що цей древній папірус$64$ містив% вуглецю-14, який зазвичай міститься в папірусі. З огляду на, що вуглець-14 має період напіввиведення$5,730$ років, оцініть вік папірусу.
14. Виявлено, що артефакт дерев'яної чаші, вирізаний з дуба, містить$55$% вуглецю-14, який зазвичай міститься в дубі. З огляду на, що вуглець-14 має період напіврозпаду$5,730$ років, оцініть вік чаші.
15. Період напіввиведення радіоактивного йоду-131 становить близько$8$ доби. Як довго знадобиться зразок йоду-131, щоб розпастися$10$ до% від початкової кількості?
16. Період напіввиведення цезію-137 становить близько$30$ років. Як довго проба цезію-137 буде розпадатися$25$ в% від початкової кількості?
17. Період напіввиведення цезію-137 становить близько$30$ років. Який відсоток початкової вибірки залишиться через$100$ роки?
18. Період напіввиведення радіоактивного йоду-131 становить близько$8$ доби. Який відсоток початкового зразка залишиться через$30$ дні?
19. Якщо кістці$100$ років, який відсоток від її початкової кількості вуглецю-14 ми очікуємо знайти в ній?
20. Період напіввиведення плутонію-239 становить близько$24,000$ років. Який відсоток початкової вибірки залишиться через$1,000$ роки?
21. Знайдіть кількість часу, який знадобиться для$10$% початкового зразка плутонію-239 для розпаду. (Підказка: Якщо$10$% спаде, то$90$% залишиться.)
22. Знайдіть кількість часу, який знадобиться для$10$% початкової проби вуглецю-14 для розпаду.

Відповідь

1. (1) Про$25,180$ людей (2) Про$14$ роки

3. Близько$7.806$ мільярда людей

5. Близько $$23,269.27$

7. $8,323$люди

9. $3,715$років

11. $9.8$днів

13. Близько$3,689$ років

15. $26.6$днів

17. $9.9$%

19. $98.8$%

21. $3,648$років

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішити для заданої змінної:

1. Вирішити для$t: A = Pe^{rt}$
2. Вирішити для$t: A = P(1 + r)^{t}$
3. Вирішити для$I: M=\log \left(\frac{I}{l_{0}}\right)$
4. Вирішити для$H^{+}: pH = -\log \left(H^{+}\right)$
5. Вирішити для$t: P = \frac{1}{1+e^{−t}}$
6. Вирішити для$I: L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)$
7. Кількість клітин у певному зразку бактерій апроксимується логістичною моделлю росту$N(t)=\frac{1.2 \times 10^{5}}{1+9 e^{-0.32t}}$, де$t$ відображається час у годині. Визначте час, який потрібно зразку, щоб вирости до$24,000$ клітин.
8. Частка ринку товару у відсотках наближається за формулою,$P(t)=\frac{100}{3+e^{-0.44 t}}$ де$t$ відображається кількість місяців після запуску агресивної рекламної кампанії.
   1. Якою була початкова частка ринку?
   2. Як довго ми очікуємо збільшення частки ринку на$3.5$%?
9. У хімії рН є мірою кислотності і задається за формулою$\mathrm{pH}=-\log \left(H^{+}\right)$, де$H^{+}$ - концентрація іонів водню (вимірюється в молі водню на літр розчину). Яка концентрація іонів водню в морській воді з рН$8$?
10. Визначте концентрацію іонів водню в молоці з рН$6.6$.
11. Гучність звуку,$L$ в децибелах (дБ), задається формулою,$L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)$ де$I$ представляє інтенсивність звуку у ватах на квадратний метр. Визначте інтенсивність звуку фена, який випромінює$70$ дБ звуку.
12. Обсяг бензопили вимірює$110$ дБ. Визначте інтенсивність цього звуку.

Відповідь

1. $t=\frac{\ln (A)-\ln (P)}{r}$

3. $I=I_{0} \cdot 10^{M}$

5. $t=\ln \left(\frac{P}{1-P}\right)$

7. Приблизно$2.5$ годин

9. $10^{-8}$кротів на літр

11. $10^{-5}$Вт на квадратний метр

Вправа$\PageIndex{6}$

1. Який фактор найбільше впливає на час подвоєння, щорічне складання$n$ або процентну ставку$r$? Поясніть.
2. Дослідження та обговорення радіовуглецевого датування. Опублікуйте щось цікаве, що ви дізналися, а також посилання на додаткову інформацію.
3. Чи є експоненціальне зростання стійким протягом невизначеного періоду часу? Поясніть.
4. Дослідження та обговорення періоду напіврозпаду радіоактивних матеріалів.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

²⁰ Період часу, який займає кількість, щоб подвоїти.

²¹ Формула, яка моделює експоненціальне зростання або занепад:$P(t)=P_{0} e^{k t}$.

²² Період часу займає кількість, щоб розпастися до половини початкової суми.