7.1: Композиція та зворотні функції

Цілі навчання

• Виконують функцію композиції.
• Визначте, чи є дані функції зворотними.
• Скористайтеся тестом горизонтальної лінії.
• Знайти обернену функцію один до одного алгебраїчно.

склад функцій

У математиці часто буває так, що результат однієї функції оцінюється шляхом застосування другої функції. Для прикладу розглянемо функції,\(f(x)=x^{2}\) визначені і\(g(x)=2x+5\). По-перше,\(g\) оцінюється, де\(x=−1\) і потім результат зводиться в квадрат за допомогою другої функції,\(f\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Цей послідовний розрахунок призводить до\(9\). Ми можемо впорядкувати цей процес, створивши нову функцію, визначену\(f(g(x))\), яка явно отримується шляхом підстановки\(g(x)\) в\(f(x)\).

\(\begin{aligned} f(\color{Cerulean}{g(x)}\color{black}{)} &=f(\color{Cerulean}{2 x+5}\color{black}{)} \\ &=(2 x+5)^{2} \\ &=4 x^{2}+20 x+25 \end{aligned}\)

Тому\(f(g(x))=4x^{2}+20x+25\) і ми можемо переконатися, що коли\(x=−1\) результат є\(9\).

\(\begin{aligned} f(g(\color{Cerulean}{-1}\color{black}{)}) &=4(\color{Cerulean}{-1}\color{black}{)}^{2}+20(\color{Cerulean}{-1}\color{black}{)}+25 \\ &=4-20+25 \\ &=9 \end{aligned}\)

Наведений вище розрахунок описує склад функцій ¹, який вказується за допомогою оператора композиції ²\((○)\). Якщо задані функції\(f\) і\(g\),

\((f \circ g)(x)=f(g(x)) \quad \color{Cerulean}{Composition\:of\:Functions}\)

Позначення\(f○g\) читається, «\(f\)складений с»\(g\). Ця операція визначається тільки для значень, \(x\), в області\(g\) таких, що\(g(x)\) знаходиться в області\(f\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Дано\(f(x)=x^{2}−x+3\) і\(g(x)=2x−1\) розрахуйте:

1. \((f○g)(x)\).
2. \((g○f)(x)\).

Рішення

1. \(g\)Замінюємо в\(f\).

   \(\begin{aligned}(f \circ g)(x) &=f(g(x)) \\ &=f(\color{Cerulean}{2 x-1}\color{black}{)} \\ &=(\color{Cerulean}{2 x-1}\color{black}{)}^{2}-(\color{Cerulean}{2 x-1}\color{black}{)}+3 \\ &=4 x^{2}-4 x+1-2 x+1+3 \\ &=4 x^{2}-6 x+5 \end{aligned}\)

2. \(f\)Замінюємо в\(g\).

   \(\begin{aligned}(g \circ f)(x) &=g(f(x)) \\ &=g\color{black}{\left(\color{Cerulean}{x^{2}-x+3}\right)} \\ &=2\color{black}{\left(\color{Cerulean}{x^{2}-x+3}\right)}-1 \\ &=2 x^{2}-2 x+6-1 \\ &=2 x^{2}-2 x+5 \end{aligned}\)

Відповідь:

1. \((f○g)(x)=4x^{2}−6x+5\)
2. \((g○f)(x)=2x^{2}−2x+5\)

Попередній приклад показує, що склад функцій не обов'язково комутативний.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

\(f(x)=x^{3}+1\)Даруємо і\(g(x)=\sqrt[3]{3 x-1}\) знаходимо\((f○g)(4)\).

Рішення

Почніть з пошуку\((f○g)(x)\).

\(\begin{aligned}(f \circ g)(x) &=f(g(x)) \\ &=f(\color{Cerulean}{\sqrt[3]{3 x-1}}\color{black}{)} \\ &=(\color{Cerulean}{\sqrt[3]{3 x-1}}\color{black}{)}^{3}+1 \\ &=3 x-1+1 \\ &=3 x \end{aligned}\)

Далі\(4\) підставляємо на\(x\).

\(\begin{aligned}(f \circ g)(x) &=3 x \\(f \circ g)(\color{Cerulean}{4}\color{black}{)} &=3(\color{Cerulean}{4}\color{black}{)} \\ &=12 \end{aligned}\)

Відповідь:

\((f○g)(4)=12\)

Функції можуть складатися з собою.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Дано\(f(x)=x^{2}−2\) знахідку\((f○f)(x)\).

Рішення

\(\begin{aligned}(f \circ f)(x) &=f(\color{Cerulean}{f(x)}\color{black}{)} \\ &=f\color{black}{\left(\color{Cerulean}{x^{2}-2}\right)} \\ &=\color{black}{\left(\color{Cerulean}{x^{2}-2}\right)}^{2}-2 \\ &=x^{4}-4 x^{2}+4-2 \\ &=x^{4}-4 x^{2}+2 \end{aligned}\)

Відповідь:

\((f \circ f)(x)=x^{4}-4 x^{2}+2\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\(f(x)=2x+3\)Даруємо і\(g(x)=\sqrt{x-1}\) знаходимо\((f○g)(5)\).

Відповідь

\(7\)

www.youtube.com/В/КВЕГСЯ 5ТЛК

Зворотні функції

Розглянемо функцію, яка перетворює градуси Фаренгейта в градуси Цельсія:\(C(x)=\frac{5}{9}(x-32)\). Ми можемо використовувати цю функцію для перетворення\(77\)° F в градуси Цельсія наступним чином.

\(\begin{aligned} C(\color{OliveGreen}{77}\color{black}{)} &=\frac{5}{9}(\color{OliveGreen}{77}\color{black}{-}32) \\ &=\frac{5}{9}(45) \\ &=25 \end{aligned}\)

Отже,\(77\) °F еквівалентно\(25\)° C Якщо ми хочемо перетворити\(25\)° C назад в градуси Фаренгейта, ми використаємо формулу:\(F(x)=\frac{9}{5}x+32\).

\(\begin{aligned} F(\color{OliveGreen}{25}\color{black}{)} &=\frac{9}{5}(\color{OliveGreen}{25}\color{black}{)}+32 \\ &=45+32 \\ &=77 \end{aligned}\)

Зверніть увагу, що дві функції\(C\) і\(F\) кожна зворотний ефект іншого.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Це описує зворотну залежність. Загалом,\(f\) і\(g\) є оберненими функціями якщо,

\(\begin{aligned}(f \circ g)(x)&=f(g(x))=x\quad\color{Cerulean}{for\:all\:x\:in\:the\:domain\:of\:g\:and} \\ (g \mathrm{O} f)(x)&=g(f(x))=x\quad\color{Cerulean}{for\:all\:x\:in\:the\:domain\:of\:f.}\end{aligned}\)

У цьому прикладі

\(\begin{aligned} C(F(\color{Cerulean}{25}\color{black}{)}) &=C(77)=\color{Cerulean}{25} \\ F(C(\color{Cerulean}{77}\color{black}{)}) &=F(25)=\color{Cerulean}{77} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Перевірте алгебраїчно, що функції,\(f(x)=\frac{1}{2}x−5\) визначені і\(g(x)=2x+10\) є зворотними.

Рішення

Складіть функції обома способами і переконайтеся, що результат є\(x\).

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

\(\begin{aligned}(f \circ g)(x) &=f(g(x)) \\ &=f(\color{Cerulean}{2 x+10}\color{black}{)} \\ &=\frac{1}{2}(\color{Cerulean}{2 x+10}\color{black}{)}-5 \\ &=x+5-5 \\ &=x\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned}(g \text { Of })(x) &=g(f(x)) \\ &=g\color{black}{\left(\color{Cerulean}{\frac{1}{2} x-5}\right)} \\ &=2\color{black}{\left(\color{Cerulean}{\frac{1}{2} x-5}\right)}+10 \\ &=x-10+10 \\ &=x\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

Обидва\((f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)=x\); отже, вони зворотні.

Далі ми досліджуємо геометрію, пов'язану з оберненими функціями. Графіки обох функцій у попередньому прикладі наведені на одному наборі осей нижче.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Зверніть увагу, що існує симетрія щодо лінії\(y=x\); графіки\(f\) та\(g\) є дзеркальними зображеннями про цю лінію. Також зверніть увагу, що точка\((20, 5)\) знаходиться на графіку\(f\) і що\((5, 20)\) знаходиться на графіку\(g\). Обидва ці спостереження істинні загалом, і ми маємо такі властивості обернених функцій:

1. Графіки обернених функцій симетричні щодо прямої\(y=x\).
2. Якщо\((a,b)\) знаходиться на графіку функції, то\((b,a)\) знаходиться на графіку її оберненої.

Крім того, якщо\(g\) є зворотним,\(f\) ми використовуємо позначення\(g=f^{-1}\). Тут\(f^{-1}\) читається «\(f\)зворотний», і його не слід плутати з негативними показниками. Іншими словами,\(f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}\) і ми маємо,

\(\begin{array}{l}{\left(f \circ f^{-1}\right)(x)=f\left(f^{-1}(x)\right)=x \text { and }} \\ {\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=f^{-1}(f(x))=x}\end{array}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Перевірте алгебраїчно, що функції,\(f(x)=\frac{1}{x}−2\) визначені і\(f^{-1}(x)=\frac{1}{x+2}\) є зворотними.

Рішення

Складіть функції обома способами, щоб перевірити, чи є результат\(x\).

Таблиця\(\PageIndex{2}\)

\(\begin{aligned}\left(f \circ f^{-1}\right)(x) &=f\left(f^{-1}(x)\right) \\ &=f\color{black}{\left(\color{Cerulean}{\frac{1}{x+2}}\right)} \\ &=\frac{1}{\color{black}{\left(\color{Cerulean}{\frac{1}{x+2}}\right)}}-2 \\ &=\frac{x+2}{1}-2 \\ &=x+2-2 \\ &=x\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned}\left(f^{-1} \circ f\right)(x) &=f^{-1}(f(x)) \\ &=f^{-1}\color{black}{\left(\color{Cerulean}{\frac{1}{x}-2}\right)} \\ &=\frac{1}{\color{black}{\left(\color{Cerulean}{\frac{1}{x}-2}\right)}+2} \\ &=\frac{1}{\frac{1}{x}} \\ &=x\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

Так як\(\left(f \circ f^{-1}\right)(x)=\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=x\) вони зворотні.

Нагадаємо, що функція - це відношення, де кожен елемент в області відповідає рівно одному елементу в діапазоні. Ми використовуємо тест вертикальної лінії, щоб визначити, чи представляє графік функцію чи ні. Функції можна додатково класифікувати за допомогою зворотного зв'язку. Функції «один-на-один» ³ - це функції, де кожне значення в діапазоні відповідає рівно одному елементу в області. Тест горизонтальної лінії ⁴ використовується для визначення того, чи є графік функцією один до одного. Якщо горизонтальна лінія перетинає графік більше одного разу, то вона не представляє функцію один до одного.

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Горизонтальна лінія являє собою значення в діапазоні, а кількість перетинів з графіком представляє кількість значень, яким вона відповідає в області. Функція,\(f(x)=x^{3}\) визначена, є один до одного, а функція,\(f(x)=|x|\) визначена не. Визначення того, чи є функція один до одного, важливо, оскільки функція має зворотну, якщо і лише тоді, коли вона одна до одного. Іншими словами, функція має зворотну, якщо вона проходить тест горизонтальної лінії.

Примітка

У цьому тексті, коли ми говоримо «функція має зворотне», ми маємо на увазі, що є інша функція\(f^{−1}\), така, що\((f○f^{−1})(x)=(f^{−1}○f)(x)=x\).

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Визначте, чи є дана функція один-на-один.

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Рішення

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Відповідь:

Дана функція проходить тест горизонтальної лінії і, таким чином, є один до одного.

По суті, будь-яка лінійна функція форми\(f(x)=mx+b\) де\(m≠0\), є один до одного і, таким чином, має зворотну. Етапи пошуку оберненої функції один до одного викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Знайти обернену функцію, визначену за допомогою\(f(x)=\frac{3}{2}x−5\).

Рішення

Перед початком цього процесу слід переконатися, що функція один-на-один. У цьому випадку ми маємо лінійну функцію, де\(m≠0\) і, таким чином, вона один-на-один.

Крок 1: Замініть позначення\(f(x)\) функції на\(y\).

\(\begin{aligned}f(x)&=\frac{3}{2} x-5 \\ y&=\frac{3}{2} x-5\end{aligned}\)

Крок 2: Розв'язка\(x\) і\(y\). Використовується той факт, що якщо\((x,y)\) є точкою на графіку функції, то\((y,x)\) є точкою на графіку її оберненої.

\(x=\frac{3}{2} y-5\)

Крок 3: Вирішіть для\(y\).

\(\begin{aligned} x &=\frac{3}{2} y-5 \\ x+5 &=\frac{3}{2} y \\ \\\color{Cerulean}{\frac{2}{3}}\color{black}{ \cdot}(x+5) &=\color{Cerulean}{\frac{2}{3}}\color{black}{ \cdot} \frac{3}{2} y \\ \frac{2}{3} x+\frac{10}{3} &=y \end{aligned}\)

Крок 4: Отримана функція є оберненою\(f\). \(y\)Замінити на\(f^{−1}(x)\).

\(f^{-1}(x)=\frac{2}{3} x+\frac{10}{3}\)

Крок 5: Перевірте.

Таблиця\(\PageIndex{3}\)

\(\begin{array}{l}{\left(f \circ f^{-1}\right)(x)} \\ {=f\left(f^{-1}(x)\right)} \\ {=f\color{black}{\left(\color{Cerulean}{\frac{2}{3} x+\frac{10}{3}}\right)}} \\ {=\frac{3}{2}\color{black}{\left(\color{Cerulean}{\frac{2}{3} x+\frac{10}{3}}\right)}-5} \\ {=x+5-5} \\ {=x}\:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left(f^{-1} \circ f\right)(x)} \\ {=f^{-1}(f(x))} \\ {=f^{-1}\color{black}{\left(\color{Cerulean}{\frac{3}{2} x-5}\right)}} \\ {=\frac{2}{3}\color{black}{\left(\color{Cerulean}{\frac{3}{2} x-5}\right)}+\frac{10}{3}} \\ {=x-\frac{10}{3}+\frac{10}{3}} \\ {=x} \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}\)

Відповідь:

\(f^{-1}(x)=\frac{2}{3} x+\frac{10}{3}\)

Якщо функція не один до одного, часто буває так, що ми можемо обмежити домен таким чином, щоб отриманий граф був один до одного. Для прикладу розглянемо функцію квадрата, зміщену вгору на одну одиницю,\(g(x)=x^{2}+1\). Зверніть увагу, що він не проходить тест горизонтальної лінії і, таким чином, не є один-на-один. Однак, якщо ми обмежимо область невід'ємними значеннями\(x≥0\), то графік дійсно проходить тест горизонтальної лінії.

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

На обмеженому домені,\(g\) це один до одного, і ми можемо знайти його зворотний.

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Знайти обернену функцію, визначену\(g(x)=x^{2}+1\) where\(x≥0\).

Рішення

Почніть\(g(x)\) з заміни позначення функції на\(y\).

\(\begin{aligned} g(x) &=x^{2}+1 \\ y &=x^{2}+1 \text { where } x \geq 0 \end{aligned}\)

Розв'язка\(x\) і\(y\).

\(x=y^{2}+1\)де\(y \geq 0\)

Вирішити для\(y\).

\(\begin{aligned} x &=y^{2}+1 \\ x-1 &=y^{2} \\ \pm \sqrt{x-1} &=y \end{aligned}\)

Так як\(y≥0\) ми враховуємо тільки позитивний результат.

\(\begin{aligned} y &=\sqrt{x-1} \\ g^{-1}(x) &=\sqrt{x-1} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(g^{-1}(x)=\sqrt{x-1}\). Чек залишається на зчитувач.

Графіки в попередньому прикладі показані на тому ж наборі осей нижче. Візьміть на замітку симетрію щодо лінії\(y=x\).

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Знайти обернену функцію, визначену за допомогою\(f(x)=\frac{2 x+1}{x-3}\).

Рішення

Використовуйте утиліту графіків, щоб переконатися, що ця функція є один-на-один. Почніть\(f(x)\) з заміни позначення функції на\(y\).

\(\begin{aligned} f(x) &=\frac{2 x+1}{x-3} \\ y &=\frac{2 x+1}{x-3} \end{aligned}\)

Розв'язка\(x\) і\(y\).

\(x=\frac{2 y+1}{y-3}\)

Вирішити для\(y\).

\(\begin{aligned} x &=\frac{2 y+1}{y-3} \\ x(y-3) &=2 y+1 \\ x y-3 x &=2 y+1 \end{aligned}\)

Отримати всі члени зі змінною\(y\) на одній стороні рівняння і все інше з іншого. Це дозволить нам ставитися\(y\) як до GCF.

\(\begin{aligned} x y-3 x &=2 y+1 \\ x y-2 y &=3 x+1 \\ y(x-2) &=3 x+1 \\ y &=\frac{3 x+1}{x-2} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(f^{-1}(x)=\frac{3 x+1}{x-2}\). Чек залишається на зчитувач.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть зворотне\(f(x)=\sqrt[3]{x+1}-3\).

Відповідь

\(f^{-1}(x)=(x+3)^{3}-1\)

www.youtube.com/В/MWSB9WYFCA

Ключові виноси

• Оператор композиції\((○)\) вказує на те, що ми повинні підставляти одну функцію в іншу. Іншими словами,\((f○g)(x)=f(g(x))\) вказує на те, що ми підставляємо\(g(x)\) в\(f(x)\).
• Якщо дві функції обернені, то кожна поверне ефект іншої. Використання позначень,\((f○g)(x)=f(g(x))=x\) і\((g○f)(x)=g(f(x))=x\).
• Обернені функції мають спеціальні позначення. Якщо\(g\) є зворотним\(f\), то ми можемо писати\(g(x)=f^{-1}(x)\). Це позначення часто плутають з негативними показниками і не дорівнює одиниці, розділеної на\(f(x)\).
• Графіки інверсів симетричні щодо прямої\(y=x\). Якщо\((a,b)\) є точкою на графіку функції, то\((b,a)\) є точкою на графіку її оберненої.
• Якщо кожна точка в діапазоні функції відповідає рівно одному значенню в області, то функція є один до одного. Використовуйте тест горизонтальної лінії, щоб визначити, чи є функція один до одного.
• Функція один-на-один має зворотну, яку часто можна знайти шляхом зміни\(x\) і\(y\), і рішення для\(y\). Ця нова функція є оберненою початковою функцією.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Дано функції,\(f\) визначені і\(g\) знайти\((f \circ g)(x)\) і\((g \circ f)(x)\).

1. \(f(x)=4 x-1, g(x)=3 x\)
2. \(f(x)=-2 x+5, g(x)=2 x\)
3. \(f(x)=3 x-5, g(x)=x-4\)
4. \(f(x)=5 x+1, g(x)=2 x-3\)
5. \(f(x)=x^{2}-x+1, g(x)=2 x-1\)
6. \(f(x)=x^{2}-3 x-2, g(x)=x-2\)
7. \(f(x)=x^{2}+3, g(x)=x^{2}-5\)
8. \(f(x)=2 x^{2}, g(x)=x^{2}-x\)
9. \(f(x)=8 x^{3}+5, g(x)=\sqrt[3]{x-5}\)
10. \(f(x)=27 x^{3}-1, g(x)=\sqrt[3]{x+1}\)
11. \(f(x)=\frac{1}{x+5}, g(x)=\frac{1}{x}\)
12. \(f(x)=\frac{1}{x}-3, g(x)=\frac{3}{x+3}\)
13. \(f(x)=5 \sqrt{x}, g(x)=3 x-2\)
14. \(f(x)=\sqrt{2 x}, g(x)=4 x+1\)
15. \(f(x)=\frac{1}{2 x}, g(x)=x^{2}+8\)
16. \(f(x)=2 x-1, g(x)=\frac{1}{x+1}\)
17. \(f(x)=\frac{1-x}{2 x}, g(x)=\frac{1}{2 x+1}\)
18. \(f(x)=\frac{2 x}{x+1}, g(x)=\frac{x+1}{x}\)

Відповідь

1. \((f \circ g)(x)=12 x-1 ;(g \circ f)(x)=12 x-3\)

3. \((f \circ g)(x)=3 x-17 ;(g \circ f)(x)=3 x-9\)

5. \((f \circ g)(x)=4 x^{2}-6 x+3 ;(g \circ f)(x)=2 x^{2}-2 x+1\)

7. \((f \circ g)(x)=x^{4}-10 x^{2}+28 ;(g \circ f)(x)=x^{4}+6 x^{2}+4\)

9. \((f \circ g)(x)=8 x-35 ;(g \circ f)(x)=2 x\)

11. \((f \circ g)(x)=\frac{x}{5 x+1} ;(g \circ f)(x)=x+5\)

13. \((f \circ g)(x)=5 \sqrt{3 x-2} ;(g \circ f)(x)=15 \sqrt{x}-2\)

15. \(\begin{array}{l}{(f \circ g)(x)=\frac{1}{2 x^{2}+16}}; {(g \circ f)(x)=\frac{1+32 x^{2}}{4 x^{2}}}\end{array}\)

17. \((f \circ g)(x)=x ;(g \circ f)(x)=x\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

З огляду на функції\(f(x)=3 x^{2}-2, g(x)=5 x+1\), визначені, і\(h(x)=\sqrt{x}\), обчислити наступне.

1. \((f \circ g)(2)\)
2. \((g \circ f)(-1)\)
3. \((g \circ f)(0)\)
4. \((f \circ g)(0)\)
5. \((f \circ h)(3)\)
6. \((g \circ h)(16)\)
7. \((h \circ g)\left(\frac{3}{5}\right)\)
8. \((h \circ f)(-3)\)

Відповідь

1. \(361\)

3. \(−9\)

5. \(7\)

7. \(2\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

З огляду на функції\(f(x)=\sqrt[3]{x+3}, g(x)=8 x^{3}-3\), визначені, і\(h(x)=2 x-1\), обчислити наступне.

1. \(( f\circ g )(1)\)
2. \((g \circ f)(-2)\)
3. \((g \circ f)(0)\)
4. \((f \circ g)(-2)\)
5. \((f \circ h)(-1)\)
6. \((h \circ g)\left(-\frac{1}{2}\right)\)
7. \((h \circ f)(24)\)
8. \((g \circ h)(0)\)

Відповідь

1. \(2\)

3. \(21\)

5. \(0\)

7. \(5\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

З огляду на функцію, визначте\((f \circ f)(x)\).

1. \(f(x)=3 x-1\)
2. \(f(x)=\frac{2}{5} x+1\)
3. \(f(x)=x^{2}+5\)
4. \(f(x)=x^{2}-x+6\)
5. \(f(x)=x^{3}+2\)
6. \(f(x)=x^{3}-x\)
7. \(f(x)=\frac{1}{x+1}\)
8. \(f(x)=\frac{x+1}{2 x}\)

Відповідь

1. \((f\circ f)(x)=9 x-4\)

3. \((f \circ f)(x)=x^{4}+10 x^{2}+30\)

5. \((f \circ f)(x)=x^{9}+6 x^{6}+12 x^{3}+10\)

7. \((f \circ f)(x)=\frac{x+1}{x+2}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Чи є дані функції один-на-один? Поясніть.

1.

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

2.

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

4.

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

5. \(f(x)=x+1\)

6. \(g(x)=x^{2}+1\)

7. \(h(x)=|x|+1\)

8. \(r(x)=x^{3}+1\)

9. \(f(x)=\sqrt{x+1}\)

10. \(g(x)=3\)

Відповідь

1. Ні, не вдається HLT

3. Так, проходить HLT

5. Так, його графік проходить HLT.

7. Ні, його графік не вдається HLT.

9. Так, його графік проходить HLT.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Задано графік функції один до одного, графік її обернено.

1.

Малюнок\(\PageIndex{14}\)

2.

Малюнок\(\PageIndex{15}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{16}\)

4.

Малюнок\(\PageIndex{17}\)

5.

Малюнок\(\PageIndex{18}\)

6.

Малюнок\(\PageIndex{19}\)

Відповідь

1.

Малюнок\(\PageIndex{20}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{21}\)

5.

Малюнок\(\PageIndex{22}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Перевірте алгебраїчно, що дві задані функції є зворотними. Іншими словами, показати, що\(\left(f \circ f^{-1}\right)(x)=x\) і\(\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=x\).

1. \(f(x)=3 x-4, f^{-1}(x)=\frac{x+4}{3}\)
2. \(f(x)=-5 x+1, f^{-1}(x)=\frac{1-x}{5}\)
3. \(f(x)=-\frac{2}{3} x+1, f^{-1}(x)=-\frac{3}{2} x+\frac{3}{2}\)
4. \(f(x)=4 x-\frac{1}{3}, f^{-1}(x)=\frac{1}{4} x + \frac{1}{12}\)
5. \(f(x)=\sqrt{x-8}, f^{-1}(x)=x^{2}+8, x \geq 0\)
6. \(f(x)=\sqrt[3]{6 x}-3, f^{-1}(x)=\frac{(x+3)^{3}}{6}\)
7. \(f(x)=\frac{x}{x+1}, f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}\)
8. \(f(x)=\frac{x-3}{3 x}, f^{-1}(x)=\frac{3}{1-3 x}\)
9. \(f(x)=2(x-1)^{3}+3, f^{-1}(x)=1+\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\)
10. \(f(x)=\sqrt[3]{5 x-1}+4, f^{-1}(x)=\frac{(x-4)^{3}+1}{5}\)

Відповідь

1. Доказ

3. Доказ

5. Доказ

7. Доказ

9. Доказ

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Знайдіть зворотні наступні функції.

1. \(f(x)=5 x\)
2. \(f(x)=\frac{1}{2} x\)
3. \(f(x)=2 x+5\)
4. \(f(x)=-4 x+3\)
5. \(f(x)=-\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}\)
6. \(f(x)=-\frac{1}{2} x+\frac{3}{4}\)
7. \(g(x)=x^{2}+5, x \geq 0\)
8. \(g(x)=x^{2}-7, x \geq 0\)
9. \(f(x)=(x-5)^{2}, x \geq 5\)
10. \(f(x)=(x+1)^{2}, x \geq-1\)
11. \(h(x)=3 x^{3}+5\)
12. \(h(x)=2 x^{3}-1\)
13. \(f(x)=(2 x-3)^{3}\)
14. \(f(x)=(x+4)^{3}-1\)
15. \(g(x)=\frac{2}{x^{3}+1}\)
16. \(g(x)=\frac{1}{x^{3}}-2\)
17. \(f(x)=\frac{5}{x+1}\)
18. \(f(x)=\frac{1}{2 x-9}\)
19. \(f(x)=\frac{x+5}{x-5}\)
20. \(f(x)=\frac{3 x-4}{2 x-1}\)
21. \(h(x)=\frac{x-5}{10 x}\)
22. \(h(x)=\frac{9 x+1}{3 x}\)
23. \(g(x)=\sqrt[3]{5 x+2}\)
24. \(g(x)=\sqrt[3]{4 x-3}\)
25. \(f(x)=\sqrt[3]{x-6}-4\)
26. \(f(x)=2 \sqrt[3]{x+2}+5\)
27. \(h(x)=\sqrt[5]{x+1}-3\)
28. \(h(x)=\sqrt[5]{x-8}+1\)
29. \(f(x)=m x+b, m \neq 0\)
30. \(f(x)=a x^{2}+c, x \geq 0\)
31. \(f(x)=a x^{3}+d\)
32. \(f(x)=a(x-h)^{2}+k, x \geq h\)

Відповідь

1. \(f^{-1}(x)=\frac{x}{5}\)

3. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{2} x-\frac{5}{2}\)

5. \(f^{-1}(x)=-\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}\)

7. \(g^{-1}(x)=\sqrt{x-5}\)

9. \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}+5\)

11. \(h^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{x-5}{3}}\)

13. \(f^{-1}(x)=\frac{\sqrt[3]{x}+3}{2}\)

15. \(g^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{2-x}{x}}\)

17. \(f^{-1}(x)=\frac{5-x}{x}\)

19. \(f^{-1}(x)=\frac{5(x+1)}{x-1}\)

21. \(h^{-1}(x)=-\frac{5}{10 x-1}\)

23. \(g^{-1}(x)=\frac{x^{3}-2}{5}\)

25. \(f^{-1}(x)=(x+4)^{3}+6\)

27. \(h^{-1}(x)=(x+3)^{5}-1\)

29. \(f^{-1}(x)=\frac{x-b}{m}\)

31. \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{x-d}{a}}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Графік функції та її оберненої на одному наборі осей.

1. \(f(x)=x+2\)
2. \(f(x)=\frac{2}{3} x-4\)
3. \(f(x)=-2 x+2\)
4. \(f(x)=-\frac{1}{3} x+4\)
5. \(g(x)=x^{2}-2, x \geq 0\)
6. \(g(x)=(x-2)^{2}, x \geq 2\)
7. \(h(x)=x^{3}+1\)
8. \(h(x)=(x+2)^{3}-2\)
9. \(f(x)=2-\sqrt{x}\)
10. \(f(x)=\sqrt{-x}+1\)

Відповідь

1.

Малюнок\(\PageIndex{23}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{24}\)

5.

Малюнок\(\PageIndex{25}\)

7.

Малюнок\(\PageIndex{26}\)

9.

Малюнок\(\PageIndex{27}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

1. Чи є склад функцій асоціативним? Поясніть.
2. Поясніть чому\(C(x)=\frac{5}{9}(x-32)\) і\(F(x)=\frac{9}{5} x+32\) визначте зворотні функції. Доведіть це алгебраїчно.
3. Чи відображають графіки всіх прямих функцій один до одного? Поясніть.
4. Якщо графіки обернених функцій перетинаються, то як знайти точку перетину? Поясніть.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹ Застосування функції до результатів іншої функції.

² Відкрита точка, яка використовується для позначення складу функції\((f ○g) (x) = f (g (x))\)

³ Функції, де кожне значення в діапазоні відповідає рівно одному значенню в домені.

⁴ Якщо горизонтальна лінія перетинає графік функції більше одного разу, то вона не один до одного.

.