Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.4: Властивості логарифма

  • Anonymous
  • LibreTexts

Цілі навчання

  • Застосовуємо обернені властивості логарифма.
  • Розгорніть логарифми, використовуючи добуток, частку та правило потужності для логарифмів.
  • Об'єднати логарифми в один логарифм з коефіцієнтом 1.

Логарифми та їх зворотні властивості

Згадаймо визначення base-b логарифма: даноb>0 деb1,

y=logbxякщо і тільки якщоx=by

Використовуйте це визначення для перетворення логарифмів у експоненціальну форму. Роблячи це, ми можемо вивести кілька властивостей:

logb1=0 because b0=1logbb=1 because b1=blogb(1b)=1 because b1=1b

Приклад7.4.1

Оцініть:

  1. log1
  2. lne
  3. log5(15)

Рішення

  1. Коли основа не написана, передбачається10. Це загальний логарифм,log1=log101=0
  2. Натуральний логарифм, за визначенням, має підставуe,lne=logee=1
  3. Тому що у51=15 нас є,log5(15)=1

Крім того, розглянемо дробові основи виду1/b деb>1.

log1/bb=1тому що(1b)1=11b1=b1=b

Приклад7.4.2

Оцініть:

  1. log1/44
  2. log2/3(32)

Рішення

  1. log1/44=1тому що(14)1=4
  2. log2/3(32)=1тому що(23)1=32

Дано експоненціальну функціюf(x)=bx, визначену, деb>0 іb1, її оберненою єb base-логарифм,f1(x)=logbx. f(f1(x))=xІ томуf1(f(x))=x, що і, ми маємо такі обернені властивості логарифма 11:

f1(f(x))=logbbx=xі
f(f1(x))=blogbx=x,x>0

Оскількиf1(x)=logbx має домен, що складається з позитивних значень(0,), властивістьblogbx=x обмежується значеннями деx>0.

Приклад7.4.3

Оцінити

  1. log5625
  2. 5log53
  3. eln5

Рішення

Застосовуємо обернені властивості логарифма.

  1. log5625=log554=4
  2. 5log53=3
  3. eln5=5

Підсумовуючиb1, колиb>0 і, ми маємо такі властивості:

Таблиця7.4.1
logb1=0 logbb=1
log1/bb=1 logb(1b)=1
logbbx=x blogbx=x,x>0

Вправа7.4.1

Оцініть:log0.00001

Відповідь

5

www.youtube.com/В/ЮФСЗК

Властивості добутку, коефіцієнта та потужності логарифмів

У цьому розділі розроблено три дуже важливих властивості логарифма. Ці властивості дозволять розширити нашу здатність вирішувати ще багато рівнянь. Ми починаємо з присвоєнняu іv до наступних логарифмів, а потім запишемо їх в експоненціальному вигляді:

logbx=ubu=xlogby=vbv=y

y=bvПідставляємоx=bu і в логарифм добуткуlogb(xy) і логарифм частки.logb(xy) Потім спростити за допомогою правил показників і обернених властивостей логарифма.

Таблиця7.4.2
Логарифм добутку Логарифм частки
logb(xy)=logb(bubv)=logbbu+v=u+v=logbx+logby logb(xy)=logb(bubv)=logbbuv=uv=logbxlogby

Це дає нам дві основні властивості: властивість добутку логарифмів 12,

logb(xy)=logbx+logby

і часткове властивість логарифмів 13,

logb(xy)=logbxlogby

У словах логарифм добутку дорівнює сумі логарифма множників. Аналогічно логарифм частки дорівнює різниці логарифма чисельника і логарифма знаменника.

Приклад7.4.4

Напишіть у вигляді сумиlog2(8x).

Рішення

Застосуйте властивість добутку логарифмів, а потім спростіть.

log2(8x)=log28+log2x=log223+log2x=3+log2x

Відповідь

3+log2x

Приклад7.4.5

Пишіть як різницюlog(x10).

Рішення

Застосуйте часткове властивість логарифмів, а потім спростіть.

log(x10)=logxlog10=logx1

Відповідь

logx1

Далі ми починаємо зlogbx=u і переписуємо його в експоненціальному вигляді. Піднявши обидві сторони доn го ступеня, перетворіть назад в логарифмічну форму, а потім назад підставляйте.

logbx=ubu=x(bu)n=(x)nlogbxn=nubnu=xnlogbxn=nlogbx

Це призводить нас до властивості потужності логарифмів 14,

logbxn=nlogbx

У словах логарифм величини, піднятої до степеня, дорівнює тій потужності, що помножується на логарифм кількості.

Приклад7.4.6

Напишіть як продукт:

  1. log2x4
  2. log5(x)

Рішення

  1. Застосувати властивість power логарифмів. log2x4=4log2x
  2. Нагадаємо, що квадратний корінь може бути виражений за допомогою раціональних показників,x=x1/2. Зробіть цю заміну, а потім застосуйте властивість power логарифмів. log5(x)=log5x1/2=12log5x

Підсумовуючи,

Таблиця7.4.3
Властивість добутку логарифмів logb(xy)=logbx+logby
Частна властивість логарифмів logb(xy)=logbxlogby
Власність потужності логарифмів logbxn=nlogbx

Ми можемо використовувати ці властивості для розширення логарифмів за участю добуток, коефіцієнтів та степеней, використовуючи суми, відмінності та коефіцієнти. Логарифмічний вираз повністю розширюється, коли властивості логарифма далі не можуть бути застосовані.

Обережно

Важливо відзначити наступне:

log(xy)logxlogy

і

log(xy)logxlogy

Приклад7.4.7

Розгорніть повністю:ln(2x3).

Рішення

Нагадаємо, що натуральний логарифм є основою логарифмаe,lnx=logex. Тому застосовуються всі властивості логарифма.

ln(2x3)=ln2+lnx3Productruleforlogarithms=ln2+3lnxPowerruleforlogarithms

Відповідь

ln2+3lnx

Приклад7.4.8:

Розгорніть повністю:log310xy2.

Рішення

Почніть з перезапису кореня куба за допомогою раціонального показника,13 а потім застосуйте властивості логарифма.

log310xy2=log(10xy2)1/3=13log(10xy2)=13(log10+logx+logy2)=13(1+logx+2logy)=13+13logx+23logy

Відповідь

13+13logx+23logy

Приклад7.4.9:

Розгорніть повністю:log2((x+1)25y).

Рішення

Застосовуючи властивість товару до знаменника, подбайте про розподіл негативу, отриманого від застосування властивості коефіцієнта.

log2((x+1)25y)=log2(x+1)2log2(5y)=log2(x+1)2(log25+log2y)Distribute.=log2(x+1)2log25log2y=2log2(x+1)log25log2y

Відповідь

2log2(x+1)log25log2y

Обережно

Не існує правила, що дозволяє розширити логарифм суми або різниці. Іншими словами,

log(x±y)logx±logy

Вправа7.4.2

Розгорніть повністю:ln(5y4x)

Відповідь

ln5+4lny12lnx

www.youtube.com/В/Х_ЗУ-скатл0

Приклад7.4.10:

Враховуючи теlog2x=a,log2y=b, і щоlog2z=c, пишуть наступне з точки зоруab, іc:

  1. log2(8x2y)
  2. log2(2x4z)

Рішення

  1. Почніть з розширення за допомогою сум і коефіцієнтів, а потім замінітьa іb з відповідним логарифмом. log2(8x2y)=log28+log2x2+log2y=log28+2log2x+log2y=3+2a+b
  2. Розгорнути, а потім замінитиa,b, іc там, де це доречно. log2(2x4z)=log2(2x4)log2z1/2=log22+log2x4log2z1/2=log22+4log2x12log2z=1+4a12b

Далі ми будемо конденсувати логарифмічні вирази. Як ми побачимо, важливо вміти об'єднати вираз, що включає логарифми, в єдиний логарифм з коефіцієнтом1. Це буде одним з перших кроків при вирішенні логарифмічних рівнянь.

Приклад7.4.11:

Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом1:3log3xlog3y+2log35.

Рішення

Почніть з перезапису всіх логарифмічних членів з коефіцієнтом 1. Для цього скористайтеся правилом харчування. Потім використовуйте продукт і правила частки для подальшого спрощення.

3log3xlog3y+2log35={log3x3log3y}+log352quotientproperty={log3(x3y)+log325}productproperty=log3(x3y25)=log3(25x3y)

Відповідь

log3(25x3y)

Приклад7.4.12:

Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом1:12lnx3lnylnz.

Рішення

Почніть з написання коефіцієнтів логарифмів як степеней їх аргументу, після чого застосуємо правило частки двічі працюючи зліва направо.

12lnx3lnylnz=lnx1/2lny3lnz=ln(x1/2y3)lnz=ln(x1/2y3÷z)=ln(x1/2y31z)=ln(x1/2y3z) or =ln(xy3z)

Відповідь

ln(xy3z)

Вправа7.4.3

Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом1:3log(x+y)6logz+2log5

Відповідь

log(25(x+y)3z6)

www.youtube.com/В/О1 БМС9АУ8

Ключові винос

  • З огляду на будь-яку базуb>0 іb1, можна сказатиlogb1=0, щоlogbb=1,log1/bb=1 і теlogb(1b)=1.
  • Обернені властивості логарифма єlogbbx=x іblogbx=x деx>0.
  • Властивість добутку логарифма дозволяє записати добуток у вигляді суми:logb(xy)=logbx+logby.
  • Коефіцієнтна властивість логарифма дозволяє записати частку як різницю:logb(xy)=logbxlogby.
  • Власність power логарифма дозволяє записати показники у вигляді коефіцієнтів:logbxn=nlogbx.
  • Так як натуральний логарифм є основою-e логарифмомlnx=logex, то до нього відносяться всі властивості логарифма.
  • Ми можемо використовувати властивості логарифма для розширення логарифмічних виразів, використовуючи суми, відмінності та коефіцієнти. Логарифмічний вираз повністю розширюється, коли властивості логарифма далі не можуть бути застосовані.
  • Ми можемо використовувати властивості логарифма для об'єднання виразів за участю логарифмів в один логарифм з коефіцієнтом1. Це найважливіший навик, який слід вивчити в цьому розділі.

Вправа7.4.4

Оцініть:

  1. log71
  2. log1/22
  3. log1014
  4. log1023
  5. log3310
  6. log66
  7. lne7
  8. ln(1e)
  9. log1/2(12)
  10. log1/55
  11. log3/4(43)
  12. log2/31
  13. 2log2100
  14. 3log31
  15. 10log18
  16. eln23
  17. elnx2
  18. elnex
Відповідь

1. 0

3. 14

5. 10

7. 7

9. 1

11. 1

13. 100

15. 18

17. x2

Вправа7.4.5

Знайтиa:

  1. lna=1
  2. loga=1
  3. log9a=1
  4. log12a=1
  5. log2a=5
  6. loga=13
  7. 2a=7
  8. ea=23
  9. loga45=5
  10. loga10=1
Відповідь

1. e

3. 19

5. 25=32

7. log27

9. 4

Вправа7.4.6

Розгорніть повністю.

  1. log4(xy)
  2. log(6x)
  3. log3(9x2)
  4. log2(32x7)
  5. ln(3y2)
  6. log(100x2)
  7. log2(xy2)
  8. log5(25x)
  9. log(10x2y3)
  10. log2(2x4y5)
  11. log3(x3yz2)
  12. log(xy3z2)
  13. log5(1x2yz)
  14. log4(116x2z3)
  15. log6[36(x+y)4]
  16. ln[e4(xy)3]
  17. log7(2xy)
  18. ln(2xy)
  19. log3(x23yz)
  20. log(2(x+y)3z2)
  21. log(100x3(y+10)3)
  22. log7(x5(y+z)3)
  23. log5(x33yz2)
  24. log(x25y3z2)
Відповідь

1. log4x+log4y

3. 2+2log3x

5. ln3+2lny

7. log2x2log2y

9. 1+2logx+3logy

11. 3log3xlog3y2log3z

13. 2log5xlog5ylog5z

15. 2+4log6(x+y)

17. log72+12log7x+12log7y

19. 2log3x+13log3ylog3z

21. 2+3logx3log(y+10)

23. 3log5x13log5y23log5z

Вправа7.4.7

Заданоlog3x=a,log3y=blog3z=c, і, запишіть наступні логарифми черезa,b, і іc.

  1. log3(27x2y3z)
  2. log3(xy3z)
  3. log3(9x2yz3)
  4. log3(3xyz2)
Відповідь

1. 3+2a+3b+c

3. 2+2a+b3c

Вправа7.4.8

Даноlogb2=0.43,logb3=0.68, іlogb7=1.21, обчислити наступне. (Підказка: Розгорніть, використовуючи суми, відмінності та частки факторів2,3, і7.)

  1. logb42
  2. logb(36)
  3. logb(289)
  4. logb21
Відповідь

1. 2.32

3. 0.71

Вправа7.4.9

Розгорніть за допомогою властивостей логарифма, а потім наблизийте за допомогою калькулятора до найближчої десятої.

  1. log(3.10×1025)
  2. log(1.40×1033)
  3. ln(6.2e15)
  4. ln(1.4e22)
Відповідь

1. log(3.1)+2525.5

3. ln(6.2)1513.2

Вправа7.4.10

Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом1.

  1. logx+logy
  2. log3xlog3y
  3. log25+2log2x+log2y
  4. log34+3log3x+12log3y
  5. 3log2x2log2y+12log2z
  6. 4logxlogylog2
  7. log5+3log(x+y)
  8. 4log5(x+5)+log5y
  9. lnx6lny+lnz
  10. log3x2log3y+5log3z
  11. 7logxlogy2logz
  12. 2lnx3lnylnz
  13. 23log3x12(log3y+log3z)
  14. 15(log7x+2log7y)2log7(z+1)
  15. 1+log2x12log2y
  16. 23log3x+13log3y
  17. 13log2x+23log2y
  18. 2log5x+35log5y
  19. ln2+2ln(x+y)lnz
  20. 3ln(xy)lnz+ln5
  21. 13(lnx+2lny)(3ln2+lnz)
  22. 4log2+23logx4log(y+z)
  23. log232log2x+12log2y4log2z
  24. 2log54log5x3log5y+23log5z
Відповідь

1. log(xy)

3. log2(5x2y)

5. log2(x3zy2)

7. log[5(x+y)3]

9. ln(xzy6)

11. log(x7yz2)

13. log3(3x2yz)

15. log2(2xy)

17. log2(3xy2)

19. ln((x+y)22z)

21. ln(3xy28z)

23. log2(3yx2z4)

Вправа7.4.11

Висловити як єдиний логарифм і спростити.

  1. log(x+1)+log(x1)
  2. log2(x+2)+log2(x+1)
  3. ln(x2+2x+1)ln(x+1)
  4. ln(x29)ln(x+3)
  5. log5(x38)log5(x2)
  6. log3(x3+1)log3(x+1)
  7. logx+log(x+5)log(x225)
  8. log(2x+1)+log(x3)log(2x25x3)
Відповідь

1. log(x21)

3. ln(x+1)

5. log5(x2+2x+4)

7. log(xx5)

Виноски

11 З огляду наb>0 те, що ми маємоlogbbx=x іblogbx=x колиx>0.

12logb(xy)=logbx+logby; логарифм добутку дорівнює сумі логарифма множників.

13logb(xy)=logbxlogby; логарифм частки дорівнює різниці логарифма чисельника і логарифма знаменника.

14logbxn=nlogbx; логарифм величини, піднятої до степеня, дорівнює цій потужності, що перевищує логарифм кількості.]