7.4: Властивості логарифма

Цілі навчання

• Застосовуємо обернені властивості логарифма.
• Розгорніть логарифми, використовуючи добуток, частку та правило потужності для логарифмів.
• Об'єднати логарифми в один логарифм з коефіцієнтом 1.

Логарифми та їх зворотні властивості

Згадаймо визначення base-\(b\) логарифма: дано\(b > 0\) де\(b ≠ 1\),

\(y=\log _{b} x\)якщо і тільки якщо\(x=b^{y}\)

Використовуйте це визначення для перетворення логарифмів у експоненціальну форму. Роблячи це, ми можемо вивести кілька властивостей:

\(\begin{aligned}\log _{b} 1=0 &\text { because } b^{0}=1 \\ \log _{b} b=1 & \text { because } b^{1}=b \\ \log _{b}\left(\frac{1}{b}\right)=-1 &\text { because } b^{-1}=\frac{1}{b}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Оцініть:

1. \(\log 1\)
2. \(\ln e\)
3. \(\log _{5}\left(\frac{1}{5}\right)\)

Рішення

1. Коли основа не написана, передбачається\(10\). Це загальний логарифм,\[\log 1=\log _{10} 1=0 \nonumber\]
2. Натуральний логарифм, за визначенням, має підставу\(e\),\[\ln e=\log _{e} e=1 \nonumber\]
3. Тому що у\(5^{-1}=\frac{1}{5}\) нас є,\[\log _{5}\left(\frac{1}{5}\right)=-1 \nonumber\]

Крім того, розглянемо дробові основи виду\(1/b\) де\(b > 1\).

\(\log _{1 / b} b=-1 \quad\)тому що\(\left(\frac{1}{b}\right)^{-1}=\frac{1^{-1}}{b^{-1}}=\frac{b}{1}=b\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Оцініть:

1. \(\log _{1 / 4} 4\)
2. \(\log _{2 / 3}\left(\frac{3}{2}\right)\)

Рішення

1. \(\log _{1 / 4} 4=-1 \quad\)тому що\(\quad\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}=4\)
2. \(\log _{2 / 3}\left(\frac{3}{2}\right)=-1\)тому що\(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{2}\)

Дано експоненціальну функцію\(f (x) = b^{x}\), визначену, де\(b > 0\) і\(b ≠ 1\), її оберненою є\(b\) base-логарифм,\(f^{ −1} (x) = log_{b} x\). \(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\)І тому\(f^{-1}(f(x))=x\), що і, ми маємо такі обернені властивості логарифма ¹¹:

\(f^{-1}(f(x))=\log _{b} b^{x}=x\)і
\(f\left(f^{-1}(x)\right)=b^{\log _{b} x}=x, x>0\)

Оскільки\(f^{-1}(x)=\log _{b} x\) має домен, що складається з позитивних значень\((0, \infty)\), властивість\(b^{\log _{b} x}=x\) обмежується значеннями де\(x>0\).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Оцінити

1. \(\log _{5} 625\)
2. \(5^{\log _{5} 3}\)
3. \(e^{\ln 5}\)

Рішення

Застосовуємо обернені властивості логарифма.

1. \(\log _{5} 625=\log _{5} 5^{4}=4\)
2. \(5^{\log _{5} 3}=3\)
3. \(e^{\ln 5}=5\)

Підсумовуючи\(b ≠ 1\), коли\(b > 0\) і, ми маємо такі властивості:

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

\(\log _{b} 1=0\)	\(\log _{b} b=1\)
\(\log _{1 / b} b=-1\)	\(\log _{b}\left(\frac{1}{b}\right)=-1\)
\(\log _{b} b^{x}=x\)	\(b^{\log _{b} x}=x, x>0\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Оцініть:\(\log 0.00001\)

Відповідь

\(-5\)

www.youtube.com/В/ЮФСЗК

Властивості добутку, коефіцієнта та потужності логарифмів

У цьому розділі розроблено три дуже важливих властивості логарифма. Ці властивості дозволять розширити нашу здатність вирішувати ще багато рівнянь. Ми починаємо з присвоєння\(u\) і\(v\) до наступних логарифмів, а потім запишемо їх в експоненціальному вигляді:

\(\begin{aligned}\log _{b} x=u\color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{b}^{u}=x \\ \log _{b} y=v\color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{b}^{v}=y\end{aligned}\)

\(y = b^{v}\)Підставляємо\(x = b^{u}\) і в логарифм добутку\(log_{b} (xy)\) і логарифм частки.\(\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)\) Потім спростити за допомогою правил показників і обернених властивостей логарифма.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)

Логарифм добутку	Логарифм частки
\(\begin{aligned} \log _{b}(x y) &=\log _{b}\left(b^{u} b^{v}\right) \\ &=\log _{b} b^{u+v} \\ &=u+v \\ &=\log _{b} x+\log _{b} y \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} \log _{b}\left(\frac{x}{y}\right) &=\log _{b}\left(\frac{b^{u}}{b^{v}}\right) \\ &=\log _{b} b^{u-v} \\ &=u-v \\ &=\log _{b} x-\log _{b} y \end{aligned}\)

Це дає нам дві основні властивості: властивість добутку логарифмів ¹²,

\(\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y\)

і часткове властивість логарифмів ¹³,

\(\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y\)

У словах логарифм добутку дорівнює сумі логарифма множників. Аналогічно логарифм частки дорівнює різниці логарифма чисельника і логарифма знаменника.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Напишіть у вигляді суми\(\log _{2}(8 x)\).

Рішення

Застосуйте властивість добутку логарифмів, а потім спростіть.

\(\begin{aligned} \log _{2}(8 x) &=\log _{2} 8+\log _{2} x \\[4pt] &=\log _{2} 2^{3}+\log _{2} x \\[4pt] &=3+\log _{2} x \end{aligned}\)

Відповідь

\[3+\log _{2} x \nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Пишіть як різницю\(\log \left(\frac{x}{10}\right)\).

Рішення

Застосуйте часткове властивість логарифмів, а потім спростіть.

\(\begin{aligned} \log \left(\frac{x}{10}\right) &=\log x-\log 10 \\ &=\log x-1 \end{aligned}\)

Відповідь

\[\log x-1 \nonumber\]

Далі ми починаємо з\(log_{b}x = u\) і переписуємо його в експоненціальному вигляді. Піднявши обидві сторони до\(n\) го ступеня, перетворіть назад в логарифмічну форму, а потім назад підставляйте.

\(\begin{aligned} \log _{b} x&=u \color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{ b}^{u}=x \\&\left(b^{u}\right)^{n} =(x)^{n} \\ \log_{b}x^{n}&=nu\color{Cerulean}{\Longleftarrow}\color{black}{b}^{nu}=x^{n}\\\log_{b}x^{n}&=n\log_{b}x\end{aligned}\)

Це призводить нас до властивості потужності логарифмів ¹⁴,

\(\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x\)

У словах логарифм величини, піднятої до степеня, дорівнює тій потужності, що помножується на логарифм кількості.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Напишіть як продукт:

1. \(\log _{2} x^{4}\)
2. \(\log _{5}(\sqrt{x})\)

Рішення

1. Застосувати властивість power логарифмів. \[\log _{2} x^{4}=4 \log _{2} x\]
2. Нагадаємо, що квадратний корінь може бути виражений за допомогою раціональних показників,\(\sqrt{x}=x^{1 / 2}\). Зробіть цю заміну, а потім застосуйте властивість power логарифмів. \(\begin{aligned} \log _{5}(\sqrt{x}) &=\log _{5} x^{1 / 2} \\ &=\frac{1}{2} \log _{5} x \end{aligned}\)

Підсумовуючи,

Таблиця\(\PageIndex{3}\)

Властивість добутку логарифмів	\(\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y\)
Частна властивість логарифмів	\(\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y\)
Власність потужності логарифмів	\(\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x\)

Ми можемо використовувати ці властивості для розширення логарифмів за участю добуток, коефіцієнтів та степеней, використовуючи суми, відмінності та коефіцієнти. Логарифмічний вираз повністю розширюється, коли властивості логарифма далі не можуть бути застосовані.

Обережно

Важливо відзначити наступне:

\[\log (x y) \neq \log x \cdot \log y\]

і

\[\log \left(\frac{x}{y}\right) \neq \frac{\log x}{\log y}\]

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Розгорніть повністю:\(\ln \left(2 x^{3}\right)\).

Рішення

Нагадаємо, що натуральний логарифм є основою логарифма\(e\),\(\ln x=\log _{e} x\). Тому застосовуються всі властивості логарифма.

\(\begin{aligned} \ln \left(2 x^{3}\right) &=\ln 2+\ln x^{3}\quad \color{Cerulean} { Product\: rule\: for\: logarithms } \\ &=\ln 2+3 \ln x \quad\color{Cerulean} { Power\: rule\: for\: logarithms } \end{aligned}\)

Відповідь

\[\ln 2+3 \ln x \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Розгорніть повністю:\(\log \sqrt[3]{10 x y^{2}}\).

Рішення

Почніть з перезапису кореня куба за допомогою раціонального показника,\(\frac{1}{3}\) а потім застосуйте властивості логарифма.

\(\begin{aligned} \log \sqrt[3]{10 x y^{2}} &=\log \left(10 x y^{2}\right)^{1 / 3} \\ &=\frac{1}{3} \log \left(10 x y^{2}\right) \\ &=\frac{1}{3}\left(\log 10+\log x+\log y^{2}\right) \\ &=\frac{1}{3}(1+\log x+2 \log y) \\ &=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \log x+\frac{2}{3} \log y \end{aligned}\)

Відповідь

\[\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \log x+\frac{2}{3} \log y \nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Розгорніть повністю:\(\log _{2}\left(\frac{(x+1)^{2}}{5 y}\right)\).

Рішення

Застосовуючи властивість товару до знаменника, подбайте про розподіл негативу, отриманого від застосування властивості коефіцієнта.

\(\begin{aligned} \log _{2}\left(\frac{(x+1)^{2}}{5 y}\right) &=\log _{2}(x+1)^{2}-\log _{2}(5 y) \\ &=\log _{2}(x+1)^{2}-\left(\log _{2} 5+\log _{2} y\right)\quad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ &=\log _{2}(x+1)^{2}-\log _{2} 5-\log _{2} y \\ &=2 \log _{2}(x+1)-\log _{2} 5-\log _{2} y \end{aligned}\)

Відповідь

\[2 \log _{2}(x+1)-\log _{2} 5-\log _{2} y \nonumber\]

Обережно

Не існує правила, що дозволяє розширити логарифм суми або різниці. Іншими словами,

\(\log (x \pm y) \neq \log x \pm \log y\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Розгорніть повністю:\(\ln \left(\frac{5 y^{4}}{\sqrt{x}}\right)\)

Відповідь

\(\ln 5+4 \ln y-\frac{1}{2} \ln x\)

www.youtube.com/В/Х_ЗУ-скатл0

Приклад\(\PageIndex{10}\):

Враховуючи те\(\log _{2} x=a, \log _{2} y=b\), і що\(\log _{2} z=c\), пишуть наступне з точки зору\(a\)\(b\), і\(c\):

1. \(\log _{2}\left(8 x^{2} y\right)\)
2. \(\log _{2}\left(\frac{2 x^{4}}{\sqrt{z}}\right)\)

Рішення

1. Почніть з розширення за допомогою сум і коефіцієнтів, а потім замініть\(a\) і\(b\) з відповідним логарифмом. \[\begin{aligned} \log _{2}\left(8 x^{2} y\right) &=\log _{2} 8+\log _{2} x^{2}+\log _{2} y \\ &=\log _{2} 8+2 \log _{2} x+\log _{2} y \\ &=3+2 a+b \end{aligned}\]
2. Розгорнути, а потім замінити\(a, b\), і\(c\) там, де це доречно. \[\begin{aligned} \log _{2}\left(\frac{2 x^{4}}{\sqrt{z}}\right) &=\log _{2}\left(2 x^{4}\right)-\log _{2} z^{1 / 2} \\ &=\log _{2} 2+\log _{2} x^{4}-\log _{2} z^{1 / 2} \\ &=\log _{2} 2+4 \log _{2} x-\frac{1}{2} \log _{2} z \\ &=1+4 a-\frac{1}{2} b \end{aligned}\]

Далі ми будемо конденсувати логарифмічні вирази. Як ми побачимо, важливо вміти об'єднати вираз, що включає логарифми, в єдиний логарифм з коефіцієнтом\(1\). Це буде одним з перших кроків при вирішенні логарифмічних рівнянь.

Приклад\(\PageIndex{11}\):

Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом\(1\):\(3 \log _{3} x-\log _{3} y+2 \log _{3} 5\).

Рішення

Почніть з перезапису всіх логарифмічних членів з коефіцієнтом 1. Для цього скористайтеся правилом харчування. Потім використовуйте продукт і правила частки для подальшого спрощення.

\(\begin{aligned} 3 \log _{3} x-\log _{3} y+2 \log _{3} 5 &=\left\{\log _{3} x^{3}-\log _{3} y\right\}+\log _{3} 5^{2}\quad\color{Cerulean}{quotient\:property} \\ &=\left\{\log _{3}\left(\frac{x^{3}}{y}\right)+\log _{3} 25\right\} \quad\quad\:\color{Cerulean}{product\:property}\\ &=\log _{3}\left(\frac{x^{3}}{y} \cdot 25\right) \\ &=\log _{3}\left(\frac{25 x^{3}}{y}\right) \end{aligned}\)

Відповідь

\[\log _{3}\left(\frac{25 x^{3}}{y}\right) \nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{12}\):

Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом\(1\):\(\frac{1}{2} \ln x-3 \ln y-\ln z\).

Рішення

Почніть з написання коефіцієнтів логарифмів як степеней їх аргументу, після чого застосуємо правило частки двічі працюючи зліва направо.

\(\begin{aligned} \frac{1}{2} \ln x-3 \ln y-\ln z &=\ln x^{1 / 2}-\ln y^{3}-\ln z \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3}}\right)-\ln z \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3}} \div z\right) \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3}} \cdot \frac{1}{z}\right) \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3} z}\right) \quad \text { or } \quad=\ln \left(\frac{\sqrt{x}}{y^{3} z}\right) \end{aligned}\)

Відповідь

\[\ln \left(\frac{\sqrt{x}}{y^{3}z}\right) \nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом\(1\):\(3 \log (x+y)-6 \log z+2 \log 5\)

Відповідь

\(\log \left(\frac{25(x+y)^{3}}{z^{6}}\right)\)

www.youtube.com/В/О1 БМС9АУ8

Ключові винос

• З огляду на будь-яку базу\(b > 0\) і\(b ≠ 1\), можна сказати\(log_{b} 1 = 0\), що\(log_{b} b = 1\),\(log_{1/b} b = −1\) і те\(log_{b} (\frac{1}{b}) = −1\).
• Обернені властивості логарифма є\(log_{b} b^{x} = x\) і\(b^{log_{b} x} = x\) де\(x > 0\).
• Властивість добутку логарифма дозволяє записати добуток у вигляді суми:\(\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y\).
• Коефіцієнтна властивість логарифма дозволяє записати частку як різницю:\(\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y\).
• Власність power логарифма дозволяє записати показники у вигляді коефіцієнтів:\(\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x\).
• Так як натуральний логарифм є основою-\(e\) логарифмом\(\ln x=\log _{e} x\), то до нього відносяться всі властивості логарифма.
• Ми можемо використовувати властивості логарифма для розширення логарифмічних виразів, використовуючи суми, відмінності та коефіцієнти. Логарифмічний вираз повністю розширюється, коли властивості логарифма далі не можуть бути застосовані.
• Ми можемо використовувати властивості логарифма для об'єднання виразів за участю логарифмів в один логарифм з коефіцієнтом\(1\). Це найважливіший навик, який слід вивчити в цьому розділі.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Оцініть:

1. \(\log _{7} 1\)
2. \(\log _{1 / 2} 2\)
3. \(\log 10^{14}\)
4. \(\log 10^{-23}\)
5. \(\log _{3} 3^{10}\)
6. \(\log _{6} 6\)
7. \(\ln e^{7}\)
8. \(\ln \left(\frac{1}{e}\right)\)
9. \(\log _{1 / 2}\left(\frac{1}{2}\right)\)
10. \(\log _{1 / 5} 5\)
11. \(\log _{3 / 4}\left(\frac{4}{3}\right)\)
12. \(\log _{2 / 3} 1\)
13. \(2^{\log _{2} 100}\)
14. \(3^{\log _{3} 1}\)
15. \(10^{\log 18}\)
16. \(e^{\ln 23}\)
17. \(e^{\ln x^{2}}\)
18. \(e^{\ln e^{x}}\)

Відповідь

1. \(0\)

3. \(14\)

5. \(10\)

7. \(7\)

9. \(1\)

11. \(−1\)

13. \(100\)

15. \(18\)

17. \(x^{2}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Знайти\(a\):

1. \(\ln a=1\)
2. \(\log a=-1\)
3. \(\log _{9} a=-1\)
4. \(\log _{12} a=1\)
5. \(\log _{2} a=5\)
6. \(\log a=13\)
7. \(2^{a}=7\)
8. \(e^{a}=23\)
9. \(\log _{a} 4^{5}=5\)
10. \(\log _{a} 10=1\)

Відповідь

1. \(e\)

3. \(\frac{1}{9}\)

5. \(2^{5}=32\)

7. \(\log _{2} 7\)

9. \(4\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Розгорніть повністю.

1. \(\log _{4}(x y)\)
2. \(\log (6 x)\)
3. \(\log _{3}\left(9 x^{2}\right)\)
4. \(\log _{2}\left(32 x^{7}\right)\)
5. \(\ln \left(3 y^{2}\right)\)
6. \(\log \left(100 x^{2}\right)\)
7. \(\log _{2}\left(\frac{x}{y^{2}}\right)\)
8. \(\log _{5}\left(\frac{25}{x}\right)\)
9. \(\log \left(10 x^{2} y^{3}\right)\)
10. \(\log _{2}\left(2 x^{4} y^{5}\right)\)
11. \(\log _{3}\left(\frac{x^{3}}{y z^{2}}\right)\)
12. \(\log \left(\frac{x}{y^{3} z^{2}}\right)\)
13. \(\log _{5}\left(\frac{1}{x^{2} y z}\right)\)
14. \(\log _{4}\left(\frac{1}{16 x^{2} z^{3}}\right)\)
15. \(\log _{6}\left[36(x+y)^{4}\right]\)
16. \(\ln \left[e^{4}(x-y)^{3}\right]\)
17. \(\log _{7}(2 \sqrt{x y})\)
18. \(\ln (2 x \sqrt{y})\)
19. \(\log _{3}\left(\frac{x^{2} \sqrt[3]{y}}{z}\right)\)
20. \(\log \left(\frac{2(x+y)^{3}}{z^{2}}\right)\)
21. \(\log \left(\frac{100 x^{3}}{(y+10)^{3}}\right)\)
22. \(\log _{7}\left(\frac{x}{\sqrt[5]{(y+z)^{3}}}\right)\)
23. \(\log _{5}\left(\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{y z^{2}}}\right)\)
24. \(\log \left(\frac{x^{2}}{\sqrt[5]{y^{3} z^{2}}}\right)\)

Відповідь

1. \(\log _{4} x+\log _{4} y\)

3. \(2+2 \log _{3} x\)

5. \(\ln 3+2 \ln y\)

7. \(\log _{2} x-2 \log _{2} y\)

9. \(1+2 \log x+3 \log y\)

11. \(3 \log _{3} x-\log _{3} y-2 \log _{3} z\)

13. \(-2 \log _{5} x-\log _{5} y-\log _{5} z\)

15. \(2+4 \log _{6}(x+y)\)

17. \(\log _{7} 2+\frac{1}{2} \log _{7} x+\frac{1}{2} \log _{7} y\)

19. \(2 \log _{3} x+\frac{1}{3} \log _{3} y-\log _{3} z\)

21. \(2+3 \log x-3 \log (y+10)\)

23. \(3 \log _{5} x-\frac{1}{3} \log _{5} y-\frac{2}{3} \log _{5} z\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Задано\(\log _{3} x=a, \log _{3} y=b\)\(\log _{3} z=c\), і, запишіть наступні логарифми через\(a, b\), і і\(c\).

1. \(\log _{3}\left(27 x^{2} y^{3} z\right)\)
2. \(\log _{3}\left(x y^{3} \sqrt{z}\right)\)
3. \(\log _{3}\left(\frac{9 x^{2} y}{z^{3}}\right)\)
4. \(\log _{3}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{y z^{2}}\right)\)

Відповідь

1. \(3+2 a+3 b+c\)

3. \(2+2 a+b-3 c\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Дано\(\log _{b} 2=0.43, \log _{b} 3=0.68\), і\(\log _{b} 7=1.21\), обчислити наступне. (Підказка: Розгорніть, використовуючи суми, відмінності та частки факторів\(2, 3\), і\(7\).)

1. \(\log _{b} 42\)
2. \(\log _{b}(36)\)
3. \(\log _{b}\left(\frac{28}{9}\right)\)
4. \(\log _{b} \sqrt{21}\)

Відповідь

1. \(2.32\)

3. \(0.71\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Розгорніть за допомогою властивостей логарифма, а потім наблизийте за допомогою калькулятора до найближчої десятої.

1. \(\log \left(3.10 \times 10^{25}\right)\)
2. \(\log \left(1.40 \times 10^{-33}\right)\)
3. \(\ln \left(6.2 e^{-15}\right)\)
4. \(\ln \left(1.4 e^{22}\right)\)

Відповідь

1. \(\log (3.1)+25 \approx 25.5\)

3. \(\ln (6.2)-15 \approx-13.2\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом\(1\).

1. \(\log x+\log y\)
2. \(\log _{3} x-\log _{3} y\)
3. \(\log _{2} 5+2 \log _{2} x+\log _{2} y\)
4. \(\log _{3} 4+3 \log _{3} x+\frac{1}{2} \log _{3} y\)
5. \(3 \log _{2} x-2 \log _{2} y+\frac{1}{2} \log _{2} z\)
6. \(4 \log x-\log y-\log 2\)
7. \(\log 5+3 \log (x+y)\)
8. \(4 \log _{5}(x+5)+\log _{5} y\)
9. \(\ln x-6 \ln y+\ln z\)
10. \(\log _{3} x-2 \log _{3} y+5 \log _{3} z\)
11. \(7 \log x-\log y-2 \log z\)
12. \(2 \ln x-3 \ln y-\ln z\)
13. \(\frac{2}{3} \log _{3} x-\frac{1}{2}\left(\log _{3} y+\log _{3} z\right)\)
14. \(\frac{1}{5}\left(\log _{7} x+2 \log _{7} y\right)-2 \log _{7}(z+1)\)
15. \(1+\log _{2} x-\frac{1}{2} \log _{2} y\)
16. \(2-3 \log _{3} x+\frac{1}{3} \log _{3} y\)
17. \(\frac{1}{3} \log _{2} x+\frac{2}{3} \log _{2} y\)
18. \(-2 \log _{5} x+\frac{3}{5} \log _{5} y\)
19. \(-\ln 2+2 \ln (x+y)-\ln z\)
20. \(-3 \ln (x-y)-\ln z+\ln 5\)
21. \(\frac{1}{3}(\ln x+2 \ln y)-(3 \ln 2+\ln z)\)
22. \(4 \log 2+\frac{2}{3} \log x-4 \log (y+z)\)
23. \(\log _{2} 3-2 \log _{2} x+\frac{1}{2} \log _{2} y-4 \log _{2} z\)
24. \(2 \log _{5} 4-\log _{5} x-3 \log _{5} y+\frac{2}{3} \log _{5} z\)

Відповідь

1. \(\log (x y)\)

3. \(\log _{2}\left(5 x^{2} y\right)\)

5. \(\log _{2}\left(\frac{x^{3} \sqrt{z}}{y^{2}}\right)\)

7. \(\log \left[5(x+y)^{3}\right]\)

9. \(\ln \left(\frac{x z}{y^{6}}\right)\)

11. \(\log \left(\frac{x^{7}}{y z^{2}}\right)\)

13. \(\log _{3}\left(\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{y z}}\right)\)

15. \(\log _{2}\left(\frac{2 x}{\sqrt{y}}\right)\)

17. \(\log _{2}\left(\sqrt[3]{x y^{2}}\right)\)

19. \(\ln \left(\frac{(x+y)^{2}}{2 z}\right)\)

21. \(\ln \left(\frac{\sqrt[3]{x y^{2}}}{8 z}\right)\)

23. \(\log _{2}\left(\frac{3 \sqrt{y}}{x^{2} z^{4}}\right)\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Висловити як єдиний логарифм і спростити.

1. \(\log (x+1)+\log (x-1)\)
2. \(\log _{2}(x+2)+\log _{2}(x+1)\)
3. \(\ln \left(x^{2}+2 x+1\right)-\ln (x+1)\)
4. \(\ln \left(x^{2}-9\right)-\ln (x+3)\)
5. \(\log _{5}\left(x^{3}-8\right)-\log _{5}(x-2)\)
6. \(\log _{3}\left(x^{3}+1\right)-\log _{3}(x+1)\)
7. \(\log x+\log (x+5)-\log \left(x^{2}-25\right)\)
8. \(\log (2 x+1)+\log (x-3)-\log \left(2 x^{2}-5 x-3\right)\)

Відповідь

1. \(\log \left(x^{2}-1\right)\)

3. \(\ln (x+1)\)

5. \(\log _{5}\left(x^{2}+2 x+4\right)\)

7. \(\log \left(\frac{x}{x-5}\right)\)

Виноски

¹¹ З огляду на\(b > 0\) те, що ми маємо\(\log _{b} b^{x}=x\) і\(b^{\log _{b} x}=x\) коли\(x > 0\).

¹²\(\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y\); логарифм добутку дорівнює сумі логарифма множників.

¹³\(\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y\); логарифм частки дорівнює різниці логарифма чисельника і логарифма знаменника.

¹⁴\(\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x\); логарифм величини, піднятої до степеня, дорівнює цій потужності, що перевищує логарифм кількості.]