7.4: Властивості логарифма
Цілі навчання
- Застосовуємо обернені властивості логарифма.
- Розгорніть логарифми, використовуючи добуток, частку та правило потужності для логарифмів.
- Об'єднати логарифми в один логарифм з коефіцієнтом 1.
Логарифми та їх зворотні властивості
Згадаймо визначення base-b логарифма: даноb>0 деb≠1,
y=logbxякщо і тільки якщоx=by
Використовуйте це визначення для перетворення логарифмів у експоненціальну форму. Роблячи це, ми можемо вивести кілька властивостей:
logb1=0 because b0=1logbb=1 because b1=blogb(1b)=−1 because b−1=1b
Приклад7.4.1
Оцініть:
- log1
- lne
- log5(15)
Рішення
- Коли основа не написана, передбачається10. Це загальний логарифм,log1=log101=0
- Натуральний логарифм, за визначенням, має підставуe,lne=logee=1
- Тому що у5−1=15 нас є,log5(15)=−1
Крім того, розглянемо дробові основи виду1/b деb>1.
log1/bb=−1тому що(1b)−1=1−1b−1=b1=b
Приклад7.4.2
Оцініть:
- log1/44
- log2/3(32)
Рішення
- log1/44=−1тому що(14)−1=4
- log2/3(32)=−1тому що(23)−1=32
Дано експоненціальну функціюf(x)=bx, визначену, деb>0 іb≠1, її оберненою єb base-логарифм,f−1(x)=logbx. f(f−1(x))=xІ томуf−1(f(x))=x, що і, ми маємо такі обернені властивості логарифма 11:
f−1(f(x))=logbbx=xі
f(f−1(x))=blogbx=x,x>0
Оскількиf−1(x)=logbx має домен, що складається з позитивних значень(0,∞), властивістьblogbx=x обмежується значеннями деx>0.
Приклад7.4.3
Оцінити
- log5625
- 5log53
- eln5
Рішення
Застосовуємо обернені властивості логарифма.
- log5625=log554=4
- 5log53=3
- eln5=5
Підсумовуючиb≠1, колиb>0 і, ми маємо такі властивості:
logb1=0 | logbb=1 |
log1/bb=−1 | logb(1b)=−1 |
logbbx=x | blogbx=x,x>0 |
Вправа7.4.1
Оцініть:log0.00001
- Відповідь
-
−5
www.youtube.com/В/ЮФСЗК
Властивості добутку, коефіцієнта та потужності логарифмів
У цьому розділі розроблено три дуже важливих властивості логарифма. Ці властивості дозволять розширити нашу здатність вирішувати ще багато рівнянь. Ми починаємо з присвоєнняu іv до наступних логарифмів, а потім запишемо їх в експоненціальному вигляді:
logbx=u⟹bu=xlogby=v⟹bv=y
y=bvПідставляємоx=bu і в логарифм добуткуlogb(xy) і логарифм частки.logb(xy) Потім спростити за допомогою правил показників і обернених властивостей логарифма.
Логарифм добутку | Логарифм частки |
---|---|
logb(xy)=logb(bubv)=logbbu+v=u+v=logbx+logby | logb(xy)=logb(bubv)=logbbu−v=u−v=logbx−logby |
Це дає нам дві основні властивості: властивість добутку логарифмів 12,
logb(xy)=logbx+logby
і часткове властивість логарифмів 13,
logb(xy)=logbx−logby
У словах логарифм добутку дорівнює сумі логарифма множників. Аналогічно логарифм частки дорівнює різниці логарифма чисельника і логарифма знаменника.
Приклад7.4.4
Напишіть у вигляді сумиlog2(8x).
Рішення
Застосуйте властивість добутку логарифмів, а потім спростіть.
log2(8x)=log28+log2x=log223+log2x=3+log2x
Відповідь
3+log2x
Приклад7.4.5
Пишіть як різницюlog(x10).
Рішення
Застосуйте часткове властивість логарифмів, а потім спростіть.
log(x10)=logx−log10=logx−1
Відповідь
logx−1
Далі ми починаємо зlogbx=u і переписуємо його в експоненціальному вигляді. Піднявши обидві сторони доn го ступеня, перетворіть назад в логарифмічну форму, а потім назад підставляйте.
logbx=u⟹bu=x(bu)n=(x)nlogbxn=nu⟸bnu=xnlogbxn=nlogbx
Це призводить нас до властивості потужності логарифмів 14,
logbxn=nlogbx
У словах логарифм величини, піднятої до степеня, дорівнює тій потужності, що помножується на логарифм кількості.
Приклад7.4.6
Напишіть як продукт:
- log2x4
- log5(√x)
Рішення
- Застосувати властивість power логарифмів. log2x4=4log2x
- Нагадаємо, що квадратний корінь може бути виражений за допомогою раціональних показників,√x=x1/2. Зробіть цю заміну, а потім застосуйте властивість power логарифмів. log5(√x)=log5x1/2=12log5x
Підсумовуючи,
Властивість добутку логарифмів | logb(xy)=logbx+logby |
---|---|
Частна властивість логарифмів | logb(xy)=logbx−logby |
Власність потужності логарифмів | logbxn=nlogbx |
Ми можемо використовувати ці властивості для розширення логарифмів за участю добуток, коефіцієнтів та степеней, використовуючи суми, відмінності та коефіцієнти. Логарифмічний вираз повністю розширюється, коли властивості логарифма далі не можуть бути застосовані.
Обережно
Важливо відзначити наступне:
log(xy)≠logx⋅logy
і
log(xy)≠logxlogy
Приклад7.4.7
Розгорніть повністю:ln(2x3).
Рішення
Нагадаємо, що натуральний логарифм є основою логарифмаe,lnx=logex. Тому застосовуються всі властивості логарифма.
ln(2x3)=ln2+lnx3Productruleforlogarithms=ln2+3lnxPowerruleforlogarithms
Відповідь
ln2+3lnx
Приклад7.4.8:
Розгорніть повністю:log3√10xy2.
Рішення
Почніть з перезапису кореня куба за допомогою раціонального показника,13 а потім застосуйте властивості логарифма.
log3√10xy2=log(10xy2)1/3=13log(10xy2)=13(log10+logx+logy2)=13(1+logx+2logy)=13+13logx+23logy
Відповідь
13+13logx+23logy
Приклад7.4.9:
Розгорніть повністю:log2((x+1)25y).
Рішення
Застосовуючи властивість товару до знаменника, подбайте про розподіл негативу, отриманого від застосування властивості коефіцієнта.
log2((x+1)25y)=log2(x+1)2−log2(5y)=log2(x+1)2−(log25+log2y)Distribute.=log2(x+1)2−log25−log2y=2log2(x+1)−log25−log2y
Відповідь
2log2(x+1)−log25−log2y
Обережно
Не існує правила, що дозволяє розширити логарифм суми або різниці. Іншими словами,
log(x±y)≠logx±logy
Вправа7.4.2
Розгорніть повністю:ln(5y4√x)
- Відповідь
-
ln5+4lny−12lnx
www.youtube.com/В/Х_ЗУ-скатл0
Приклад7.4.10:
Враховуючи теlog2x=a,log2y=b, і щоlog2z=c, пишуть наступне з точки зоруab, іc:
- log2(8x2y)
- log2(2x4√z)
Рішення
- Почніть з розширення за допомогою сум і коефіцієнтів, а потім замінітьa іb з відповідним логарифмом. log2(8x2y)=log28+log2x2+log2y=log28+2log2x+log2y=3+2a+b
- Розгорнути, а потім замінитиa,b, іc там, де це доречно. log2(2x4√z)=log2(2x4)−log2z1/2=log22+log2x4−log2z1/2=log22+4log2x−12log2z=1+4a−12b
Далі ми будемо конденсувати логарифмічні вирази. Як ми побачимо, важливо вміти об'єднати вираз, що включає логарифми, в єдиний логарифм з коефіцієнтом1. Це буде одним з перших кроків при вирішенні логарифмічних рівнянь.
Приклад7.4.11:
Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом1:3log3x−log3y+2log35.
Рішення
Почніть з перезапису всіх логарифмічних членів з коефіцієнтом 1. Для цього скористайтеся правилом харчування. Потім використовуйте продукт і правила частки для подальшого спрощення.
3log3x−log3y+2log35={log3x3−log3y}+log352quotientproperty={log3(x3y)+log325}productproperty=log3(x3y⋅25)=log3(25x3y)
Відповідь
log3(25x3y)
Приклад7.4.12:
Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом1:12lnx−3lny−lnz.
Рішення
Почніть з написання коефіцієнтів логарифмів як степеней їх аргументу, після чого застосуємо правило частки двічі працюючи зліва направо.
12lnx−3lny−lnz=lnx1/2−lny3−lnz=ln(x1/2y3)−lnz=ln(x1/2y3÷z)=ln(x1/2y3⋅1z)=ln(x1/2y3z) or =ln(√xy3z)
Відповідь
ln(√xy3z)
Вправа7.4.3
Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом1:3log(x+y)−6logz+2log5
- Відповідь
-
log(25(x+y)3z6)
www.youtube.com/В/О1 БМС9АУ8
Ключові винос
- З огляду на будь-яку базуb>0 іb≠1, можна сказатиlogb1=0, щоlogbb=1,log1/bb=−1 і теlogb(1b)=−1.
- Обернені властивості логарифма єlogbbx=x іblogbx=x деx>0.
- Властивість добутку логарифма дозволяє записати добуток у вигляді суми:logb(xy)=logbx+logby.
- Коефіцієнтна властивість логарифма дозволяє записати частку як різницю:logb(xy)=logbx−logby.
- Власність power логарифма дозволяє записати показники у вигляді коефіцієнтів:logbxn=nlogbx.
- Так як натуральний логарифм є основою-e логарифмомlnx=logex, то до нього відносяться всі властивості логарифма.
- Ми можемо використовувати властивості логарифма для розширення логарифмічних виразів, використовуючи суми, відмінності та коефіцієнти. Логарифмічний вираз повністю розширюється, коли властивості логарифма далі не можуть бути застосовані.
- Ми можемо використовувати властивості логарифма для об'єднання виразів за участю логарифмів в один логарифм з коефіцієнтом1. Це найважливіший навик, який слід вивчити в цьому розділі.
Вправа7.4.4
Оцініть:
- log71
- log1/22
- log1014
- log10−23
- log3310
- log66
- lne7
- ln(1e)
- log1/2(12)
- log1/55
- log3/4(43)
- log2/31
- 2log2100
- 3log31
- 10log18
- eln23
- elnx2
- elnex
- Відповідь
-
1. 0
3. 14
5. 10
7. 7
9. 1
11. −1
13. 100
15. 18
17. x2
Вправа7.4.5
Знайтиa:
- lna=1
- loga=−1
- log9a=−1
- log12a=1
- log2a=5
- loga=13
- 2a=7
- ea=23
- loga45=5
- loga10=1
- Відповідь
-
1. e
3. 19
5. 25=32
7. log27
9. 4
Вправа7.4.6
Розгорніть повністю.
- log4(xy)
- log(6x)
- log3(9x2)
- log2(32x7)
- ln(3y2)
- log(100x2)
- log2(xy2)
- log5(25x)
- log(10x2y3)
- log2(2x4y5)
- log3(x3yz2)
- log(xy3z2)
- log5(1x2yz)
- log4(116x2z3)
- log6[36(x+y)4]
- ln[e4(x−y)3]
- log7(2√xy)
- ln(2x√y)
- log3(x23√yz)
- log(2(x+y)3z2)
- log(100x3(y+10)3)
- log7(x5√(y+z)3)
- log5(x33√yz2)
- log(x25√y3z2)
- Відповідь
-
1. log4x+log4y
3. 2+2log3x
5. ln3+2lny
7. log2x−2log2y
9. 1+2logx+3logy
11. 3log3x−log3y−2log3z
13. −2log5x−log5y−log5z
15. 2+4log6(x+y)
17. log72+12log7x+12log7y
19. 2log3x+13log3y−log3z
21. 2+3logx−3log(y+10)
23. 3log5x−13log5y−23log5z
Вправа7.4.7
Заданоlog3x=a,log3y=blog3z=c, і, запишіть наступні логарифми черезa,b, і іc.
- log3(27x2y3z)
- log3(xy3√z)
- log3(9x2yz3)
- log3(3√xyz2)
- Відповідь
-
1. 3+2a+3b+c
3. 2+2a+b−3c
Вправа7.4.8
Даноlogb2=0.43,logb3=0.68, іlogb7=1.21, обчислити наступне. (Підказка: Розгорніть, використовуючи суми, відмінності та частки факторів2,3, і7.)
- logb42
- logb(36)
- logb(289)
- logb√21
- Відповідь
-
1. 2.32
3. 0.71
Вправа7.4.9
Розгорніть за допомогою властивостей логарифма, а потім наблизийте за допомогою калькулятора до найближчої десятої.
- log(3.10×1025)
- log(1.40×10−33)
- ln(6.2e−15)
- ln(1.4e22)
- Відповідь
-
1. log(3.1)+25≈25.5
3. ln(6.2)−15≈−13.2
Вправа7.4.10
Запишіть як єдиний логарифм з коефіцієнтом1.
- logx+logy
- log3x−log3y
- log25+2log2x+log2y
- log34+3log3x+12log3y
- 3log2x−2log2y+12log2z
- 4logx−logy−log2
- log5+3log(x+y)
- 4log5(x+5)+log5y
- lnx−6lny+lnz
- log3x−2log3y+5log3z
- 7logx−logy−2logz
- 2lnx−3lny−lnz
- 23log3x−12(log3y+log3z)
- 15(log7x+2log7y)−2log7(z+1)
- 1+log2x−12log2y
- 2−3log3x+13log3y
- 13log2x+23log2y
- −2log5x+35log5y
- −ln2+2ln(x+y)−lnz
- −3ln(x−y)−lnz+ln5
- 13(lnx+2lny)−(3ln2+lnz)
- 4log2+23logx−4log(y+z)
- log23−2log2x+12log2y−4log2z
- 2log54−log5x−3log5y+23log5z
- Відповідь
-
1. log(xy)
3. log2(5x2y)
5. log2(x3√zy2)
7. log[5(x+y)3]
9. ln(xzy6)
11. log(x7yz2)
13. log3(3√x2√yz)
15. log2(2x√y)
17. log2(3√xy2)
19. ln((x+y)22z)
21. ln(3√xy28z)
23. log2(3√yx2z4)
Вправа7.4.11
Висловити як єдиний логарифм і спростити.
- log(x+1)+log(x−1)
- log2(x+2)+log2(x+1)
- ln(x2+2x+1)−ln(x+1)
- ln(x2−9)−ln(x+3)
- log5(x3−8)−log5(x−2)
- log3(x3+1)−log3(x+1)
- logx+log(x+5)−log(x2−25)
- log(2x+1)+log(x−3)−log(2x2−5x−3)
- Відповідь
-
1. log(x2−1)
3. ln(x+1)
5. log5(x2+2x+4)
7. log(xx−5)
Виноски
11 З огляду наb>0 те, що ми маємоlogbbx=x іblogbx=x колиx>0.
12logb(xy)=logbx+logby; логарифм добутку дорівнює сумі логарифма множників.
13logb(xy)=logbx−logby; логарифм частки дорівнює різниці логарифма чисельника і логарифма знаменника.
14logbxn=nlogbx; логарифм величини, піднятої до степеня, дорівнює цій потужності, що перевищує логарифм кількості.]