7.3: Логарифмічні функції та їх графіки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58329

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Визначте і оцінюйте логарифми.
Визначте загальний і натуральний логарифм.
Намалюйте графік логарифмічних функцій.

Визначення логарифма

Почнемо з експоненціальної функції, визначеної\(f (x) = 2^{x}\) і зауважимо, що вона проходить тест горизонтальної лінії.

Тому він один до одного і має зворотне. Розмірковуючи\(y = 2^{x}\) про лінію,\(y = x\) ми можемо накидати графік її зворотного. Нагадаємо,\((x, y)\) що якщо на графіку функції є точка, то\((y, x)\) буде точка на графіку її зворотного.

Щоб знайти обернене алгебраїчно, почніть з\(x\) перемикання,\(y\) а потім спробуйте вирішити для\(y\).

\(\begin{aligned} f(x) &=2^{x} \\ y &=2^{x} \quad \color{Cerulean}{\Rightarrow} \quad \color{black}{x}=2^{y} \end{aligned}\)

Ми швидко розуміємо, що немає методу вирішення для\(y\). Ця функція, здається, «перевершує» алгебру. Тому визначимо обернене base-\(2\) логарифм, що позначається\(\log _{2} x\). Наступні еквівалентні:

\(y=\log _{2} x \color{Cerulean}{\Leftrightarrow}\color{black}{ x}=2^{y}\)

Це дає нам іншу трансцендентну функцію\(f^{-1}(x)=\log _{2} x\), визначену, яка є оберненою експоненціальною функцією, визначеною\(f (x) = 2^{x}\).

Домен складається з усіх позитивних дійсних чисел,\((0, ∞)\) а діапазон складається з усіх дійсних чисел\((−∞, ∞)\). Джон Нейпір широко приписують за винахід терміна логарифм.

Ілюстрація\(\PageIndex{4}\): Джон Нейпір (1550-1617)

Загалом, дана база\(b > 0\) де\(b ≠ 1\), логарифм підстави b ⁸ визначається наступним чином:

\(y=\log _{b} x\quad\color{Cerulean}{if\:and\:only\:if}\quad \color{black}{x}=b^{y}\)

Використовуйте це визначення для перетворення логарифмів у експоненціальну форму та назад.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
Логарифмічна форма	Експоненціальна форма
\(\log _{2} 16=4\)	\(2^{4}=16\)
\(\log _{5} 25=2\)	\(5^{2}=25\)
\(\log _{6} 1=0\)	\(6^{0}=1\)
\(\log _{3} \sqrt{3}=\frac{1}{2}\)	\(3^{1 / 2}=\sqrt{3}\)
\(\log _{7}\left(\frac{1}{49}\right)=-2\)	\(7^{-2}=\frac{1}{49}\)

Корисно відзначити, що логарифм насправді є показником,\(y\) до якого\(b\) піднімається основа для отримання аргументу\(x\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Оцініть:

\(\log _{5} 125\)
\(\log _{2}\left(\frac{1}{8}\right)\)
\(\log _{4} 2\)
\(\log _{11} 1\)

Рішення

\(\log _{5} 125=3\)тому що\(5^{3}=125\).
\(\log _{2}\left(\frac{1}{8}\right)=-3\)тому що\(2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\).
\(\log _{4} 2=\frac{1}{2}\)тому що\(4^{1 / 2}=\sqrt{4}=2\).
\(\log _{11} 1=0\)тому що\(11^{0}=1\)

Зверніть увагу, що результат логарифма може бути від'ємним або навіть нулем. Однак аргумент логарифма не визначається для від'ємних чисел або нуля:

\[\begin{aligned} \log _{2}(-4) &=\color{Cerulean}{?}\color{black}{ \Longrightarrow} 2^{\color{Cerulean}{?}} \color{black}{=} -4 \\ \log _{2}(0) &=\color{Cerulean}{?}\color{black}{\Longrightarrow}2^{\color{Cerulean}{?}}\color{black}{=}0 \end{aligned}\]

Немає сили двох, що призводить до\(−4\) або\(0\). Від'ємні числа і нуль не знаходяться в області логарифма. На цьому етапі може бути корисно повернутися назад і переглянути всі правила експонентів.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайти\(x\):

\(\log _{7} x=2\)
\(\log _{16} x=\frac{1}{2}\)
\(\log _{1 / 2} x=-5\)

Рішення

Перетворіть кожну в експоненціальну форму, а потім спростіть, використовуючи правила експонентів.

\(\log _{7} x=2\)еквівалентно\(7^{2}=x\) і, таким чином\(x=49\).
\(\begin{array}{l}{\log _{16} x=\frac{1}{2} \text { is equivalent to } 16^{1 / 2}=x \text { or } \sqrt{16}=x \text { and thus }} {x=4 .}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\log _{1 / 2} x=-5 \text { is equivalent to }\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}=x \text { or } 2^{5}=x \text { and thus }} {x=32}\end{array}\),

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Оцініть:\(\log _{5}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\right)\).

Відповідь

\(-\frac{1}{3}\)

www.youtube.com/В/1БХВ8ПГ 91BW

Загальний і натуральний логарифм

Логарифм може мати будь-яке додатне дійсне число, крім\(1\), як його основа. Якщо основа є\(10\), логарифм називається загальним логарифмом ⁹.

\(f(x)=\log _{10} x=\log x\quad\color{Cerulean}{Common\:logarithm}\)

Коли логарифм записується без основи, він вважається загальним логарифмом.

Ця конвенція змінюється щодо предмета, в якому вона фігурує. Наприклад, інформатики часто дозволяють\(\log\:x\) представляти основу логарифма\(2\).

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Оцініть:

\(\log 10^{5}\)
\(\log \sqrt{10}\)
\(\log 0.01\)

Рішення

\(\log 10^{5}=5\)тому що\(10^{5}=10^{5}\).
\(\log \sqrt{10}=\frac{1}{2}\)тому що\(10^{1 / 2}=\sqrt{10}\).
\(\begin{array}{l}{\log 0.01=\log \left(\frac{1}{100}\right)=-2 \text { because }} {10^{-2}=\frac{1}{10^{2}}=\frac{1}{100}=0.01}\end{array}\)

Результат логарифма не завжди очевидний. Наприклад, розглянемо\(log\:75\).

\(\begin{aligned} \log 10&=1 \\ \log 75&= \color{Cerulean}{?} \\ \log 100&=2 \end{aligned}\)

Ми бачимо, що результат\(log\:75\) знаходиться десь між\(1\) і\(2\). На більшості наукових калькуляторів є загальна кнопка логарифма LOG .Використовуйте її\(log\:75\), щоб знайти наступне:

\(LOG\:75=1.87506\)

Тому округляємо до найближчої тисячної,\(log\:75 ≈ 1.875\). Як чек, ми можемо використовувати калькулятор, щоб перевірити це\(10^{\wedge} 1.875 \approx 75\).

Якщо основа логарифма дорівнює\(e\), логарифм називається натуральним логарифмом ¹⁰.

\(f(x)=\log _{e} x=\ln x\quad\color{Cerulean}{Natural\:logarithm}\)

Натуральний логарифм широко використовується і часто скорочується\(ln\:x\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Оцініть:

\(\ln e\)
\(\ln \sqrt[3]{e^{2}}\)
\(\ln \left(\frac{1}{e^{4}}\right)\)

Рішення

\(\ln e=1 \text { because } \ln e=\log _{e} e=1 \text { and } e^{1}=e\).
\(\ln \left(\sqrt[3]{e^{2}}\right)=\frac{2}{3}\)тому що\(e^{2 / 3}=\sqrt[3]{e^{2}}\).
\(\ln \left(\frac{1}{e^{4}}\right)=-4\)тому що\(e^{-4}=\frac{1}{e^{4}}\).

На калькуляторі ви знайдете кнопку для натурального логарифма LN.

\(LN\:75\:=\:4.317488\)

Тому округляємо до найближчої тисячної,\(ln\:(75) ≈ 4.317\). Як чек, ми можемо використовувати калькулятор, щоб перевірити це\(e^{\wedge} 4.317 \approx 75\).

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Знайти\(x\). Круглі відповіді до найближчої тисячної.

\(\log x=3.2\)
\(\ln x=-4\)
\(\log x=-\frac{2}{3}\)

Рішення

Перетворіть кожну в експоненціальну форму, а потім скористайтеся калькулятором, щоб наблизити відповідь.

\(\log x=3.2\)еквівалентно\(10^{3.2}=x\) і, таким чином\(x \approx 1584.893\).
\(\ln x=-4\)еквівалентно\(e^{-4}=x\) і, таким чином\(x \approx 0.018\).
\(\log x=-\frac{2}{3}\)еквівалентно\(10^{-2 / 3}=x\) і, таким чином\(x \approx 0.215\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Оцініть:\(\ln \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)\)

Відповідь

\(-frac{1}{2}\)

www.youtube.com/В/ФЛВ7

Графічні логарифмічні функції

Ми можемо використовувати переклади для графа логарифмічних функцій. Коли основа\(b > 1\), графік\(f (x) = log_{b}x\) має наступну загальну форму:

Домен складається з позитивних дійсних чисел,\((0, ∞)\) а діапазон складається з усіх дійсних чисел,\((−∞, ∞)\). \(y\)-вісь, або\(x = 0\), є вертикальною асимптотою і\(x\) -перехоплення є\((1, 0)\). Крім того,\(f (b) = log_{b}b = 1\) і так\((b, 1)\) це точка на графіку незалежно від того, яка основа.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Намалюйте графік і визначте область і діапазон:\(f(x)=\log _{3}(x+4)-1\).

Рішення

Почніть з визначення основного графіка і перетворень.

\(\begin{array}{l}{y=\log _{3} x}\quad\quad\quad\quad\:\:\:\:\color{Cerulean}{Basic\:graph.} \\ {y=\log _{3}(x+4)}\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Shift\:left\:4\:units.} \\ {y=\log _{3}(x+4)-1}\:\:\:\color{Cerulean}{Shift\:down\:1\:unit.}\end{array}\)

Зверніть увагу, що асимптота була зрушена\(4\) одиниць вліво, а також. Це визначає нижню межу домену. Підсумковий графік представлений без проміжних кроків.

Відповідь:

Домен:\((-4, \infty)\); Діапазон:\((-\infty, \infty)\)

Пошук перехоплень графіка в попередньому прикладі залишається для більш пізнього розділу в цьому розділі. Наразі ми більше переймаємося загальною формою логарифмічних функцій.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Намалюйте графік і визначте область і діапазон:\(f(x)=-\log (x-2)\).

Рішення

Почніть з визначення основного графіка і перетворень.

\(\begin{array}{l}{y=\log x}\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Basic\:graph.} \\ {y=-\log x}\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Reflection\:about\:the\:x-axis.} \\ {y=-\log (x-2)}\:\:\:\color{Cerulean}{Shift\:right\:2\:units.}\end{array}\)

Тут вертикальна асимптота була зрушена на дві одиниці вправо. Це визначає нижню межу домену.

Відповідь

Домен:\((2, \infty)\); Діапазон:\((-\infty, \infty)\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Намалюйте графік і визначте область і діапазон:\(g(x)=\ln (-x)+2\).

Відповідь

Домен:\((-\infty, 0)\); Діапазон:\((-\infty, \infty)\)

www.youtube.com/В/6 БХБД ФЦД 4

Далі розглянемо експоненціальні функції з дробовими основами, такі як функція, визначена\(f (x) = (\frac{1}{2})^{x}\). Домен складається з усіх дійсних чисел. Виберіть деякі значення для,\(x\) а потім знайдіть відповідні\(y\) -значення.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
\(x\)	\(y\)		\(\color{Cerulean}{Solutions} \)
\ (x\) ">\(-2\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{4} \)	\(f(-2)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=2^{2}=4\)	\ (\ color {Лазурний} {Рішення}\) ">\((-2,4)\)
\ (x\) ">\(-1\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{2}\)	\(f(-1)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2^{1}=2\)	\ (\ color {Лазурний} {Рішення}\) ">\((-1,2)\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{1}\)	\(f(0)=\left(\frac{1}{2}\right)^{0}=1\)	\ (\ color {Лазурний} {Рішення}\) ">\((0,1)\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{\frac{1}{2}}\)	\(f(1)=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=\frac{1}{2}\)	\ (\ color {Лазурний} {Рішення}\) ">\(\left(1, \frac{1}{2}\right)\)
\ (x\) ">\(2\)	\ (y\) ">\(\color{Cerulean}{\frac{1}{4}}\)	\(f(2)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\)	\ (\ color {Лазурний} {Рішення}\) ">\(\left(2, \frac{1}{4}\right)\)

Використовуйте ці точки, щоб намалювати графік і зауважте, що він проходить тест горизонтальної лінії.

Тому ця функція один-на-один і має зворотну. Відображення графіка про лінію\(y = x\) ми маємо:

який дає нам картину графіка\(f^{-1}(x)=\log _{1 / 2} x\). Загалом, коли основа\(b > 1\), графік визначеної функцією\(g(x)=\log _{1 / b} x\) має наступну форму.

Домен складається з позитивних дійсних чисел,\((0, ∞)\) а діапазон складається з усіх дійсних чисел,\((−∞, ∞)\). \(y\)-вісь, або\(x = 0\), є вертикальною асимптотою і\(x\) -перехоплення є\((1, 0)\). Крім того,\(f(b)=\log _{1 / b} b=-1\) і так\((b, −1)\) знаходиться точка на графіку.

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Намалюйте графік і визначте область і діапазон:\(f(x)=\log _{1 / 3}(x+3)+2\).

Рішення

Почніть з визначення основного графіка і перетворень.

\[\begin{array}{l}{y=\log _{1 / 3} x}\quad\quad\quad\quad\:\:\:\:\color{Cerulean}{Basic\:graph.} \\ {y=\log _{1 / 3}(x+3)}\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Shift\:left\:3\:units.} \\ {y=\log _{1 / 3}(x+3)+2}\:\:\:\color{Cerulean}{Shift\:up\:2\:units.}\end{array}\]

У цьому випадку зсув лівих\(3\) одиниць перемістив вертикальну асимптоту\(x = −3\), до якої визначається нижня межа області.

Відповідь:

Домен:\((-3, \infty)\); Діапазон:\((-\infty, \infty)\)

Підсумовуючи, якщо\(b>1\)

І для обох випадків

\[\begin{aligned} \color{Cerulean} { Domain: }&\color{black}{(}0, \infty) \\ \color{Cerulean} { Range: }&\color{black}{(}-\infty, \infty) \\ \color{Cerulean} { x-intercept: }&\color{black}{(}1,0) \\ \color{Cerulean} { Asymptote: }& \color{black}{x}=0 \end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Намалюйте графік і визначте область і діапазон:\(f(x)=\log _{1 / 3}(x-1)\).

Відповідь: Малюнок\(\PageIndex{18}\)

www.youtube.com/В/0ОЕВ Фінкакс

Ключові виноси

\(b\)Базово-логарифмічна функція визначається як обернена\(b\) базово-експоненціальна функція. Іншими словами,\(y = \log_{b}x\) якщо і тільки тоді\(b^{y} = x\) де\(b > 0\) і\(b ≠ 1\).
Логарифм насправді є показником, до якого піднімається основа для отримання його аргументу.
Основа логарифма\(10\) називається загальним логарифмом і позначається\(\log\:x\).
Основа логарифма\(e\) називається натуральним логарифмом і позначається\(\ln\:x\).
Логарифмічні функції з визначеннями виду\(f (x) = \log_{b}x\) мають область, що складається з позитивних дійсних чисел\((0, ∞)\) і діапазону, що складається з усіх дійсних чисел\((−∞, ∞)\).
\(y\)-вісь, або\(x = 0\), є вертикальною асимптотою і\(x\) -перехоплення є\((1, 0)\).
Для графування логарифмічних функцій ми можемо побудувати точки або визначити основну функцію і використовувати перетворення. Обов'язково вкажіть, що існує вертикальна асимптота, використовуючи пунктирну лінію. Ця асимптота визначає межу області.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Оцініть.

\(\log _{3} 9\)
\(\log _{7} 49\)
\(\log _{4} 4\)
\(\log _{5} 1\)
\(\log _{5} 625\)
\(\log _{3} 243\)
\(\log _{2}\left(\frac{1}{16}\right)\)
\(\log _{3}\left(\frac{1}{9}\right)\)
\(\log _{5}\left(\frac{1}{125}\right)\)
\(\log _{2}\left(\frac{1}{64}\right)\)
\(\log _{4} 4^{10}\)
\(\log _{9} 9^{5}\)
\(\log _{5} \sqrt[3]{5}\)
\(\log _{2} \sqrt{2}\)
\(\log _{7}\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)\)
\(\log _{9}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\right)\)
\(\log _{1 / 2} 4\)
\(\log _{1 / 3} 27\)
\(\log _{2 / 3}\left(\frac{2}{3}\right)\)
\(\log _{3 / 4}\left(\frac{9}{16}\right)\)
\(\log _{25} 5\)
\(\log _{8} 2\)
\(\log _{4}\left(\frac{1}{2}\right)\)
\(\log _{27}\left(\frac{1}{3}\right)\)
\(\log _{1 / 9} 1\)
\(\log _{3 / 5}\left(\frac{5}{3}\right)\)

Відповідь

1. \(2\)

3. \(1\)

5. \(4\)

7. \(−4\)

9. \(−3\)

11. \(10\)

13. \(\frac{1}{3}\)

15. \(−\frac{1}{2}\)

17. \(−2\)

19. \(1\)

21. \(\frac{1}{2}\)

23. \(−\frac{1}{2}\)

25. \(0\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Знайти\(x\).

\(\log _{3} x=4\)
\(\log _{2} x=5\)
\(\log _{5} x=-3\)
\(\log _{6} x=-2\)
\(\log _{12} x=0\)
\(\log _{7} x=-1\)
\(\log _{1 / 4} x=-2\)
\(\log _{2 / 5} x=2\)
\(\log _{1 / 9} x=\frac{1}{2}\)
\(\log _{1 / 4} x=\frac{3}{2}\)
\(\log _{1 / 3} x=-1\)
\(\log _{1 / 5} x=0\)

Відповідь

1. \(81\)

3. \(\frac{1}{125}\)

5. \(1\)

7. \(16\)

9. \(\frac{1}{3}\)

11. \(3\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Оцініть. Округляйте до найближчої сотої, де це доречно.

\(\log 1000\)
\(\log 100\)
\(\log 0.1\)
\(\log 0.0001\)
\(\log 162\)
\(\log 23\)
\(\log 0.025\)
\(\log 0.235\)
\(\ln e^{4}\)
\(\ln 1\)
\(\ln \left(\frac{1}{e}\right)\)
\(\ln \left(\frac{1}{e^{5}}\right)\)
\(\ln (25)\)
\(\ln (100)\)
\(\ln (0.125)\)
\(\ln (0.001)\)

Відповідь

1. \(3\)

3. \(−1\)

5. \(2.21\)

7. \(−1.60\)

9. \(4\)

11. \(−1\)

13. \(3.22\)

15. \(−2.08\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Знайти\(x\). Округлити до найближчої сотої.

\(\log x=2.5\)
\(\log x=1.8\)
\(\log x=-1.22\)
\(\log x=-0.8\)
\(\ln x=3.1\)
\(\ln x=1.01\)
\(\ln x=-0.69\)
\(\ln x=-1\)

Відповідь

1. \(316.23\)

3. \(0.06\)

5. \(22.20\)

7. \(0.50\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Знайти\(a\) без використання калькулятора.

\(\log _{3}\left(\frac{1}{27}\right)=a\)
\(\ln e=a\)
\(\log _{2} a=8\)
\(\log _{2} \sqrt[5]{2}=a\)
\(\log 10^{12}=a\)
\(\ln a=9\)
\(\log _{1 / 8}\left(\frac{1}{64}\right)=a\)
\(\log _{6} a=-3\)
\(\ln a=\frac{1}{5}\)
\(\log _{4/9}\left(\frac{2}{3}\right)=a\)

Відповідь

1. \(−3\)

3. \(256\)

5. \(12\)

7. \(2\)

9. \(\sqrt[5]{e}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

У 1935 році Чарльз Ріхтер розробив шкалу, яка використовується для вимірювання землетрусів на сейсмографі. Величина\(M\) землетрусу задається за формулою,

\(M=\log \left(\frac{I}{I_{0}}\right)\)

Тут\(I\) представлена інтенсивність землетрусу, виміряна на сейсмографі\(100\) км від епіцентру і\(I_{0}\) є мінімальною інтенсивністю, яка використовується для порівняння. Наприклад, якщо інтенсивність землетрусу вимірюється в\(100\) рази більше, ніж мінімальна, то\(I = 100I_{0}\) і

\(M=\log \left(\frac{100 I_{0}}{I_{0}}\right)=\log (100)=2\)

Землетрус, як кажуть, має магнітуду\(2\) за шкалою Ріхтера. Визначте величини наступних інтенсивностей за шкалою Ріхтера. Округлити до найближчої десятої.

\(I\)в\(3\) мільйони разів перевищує мінімальну інтенсивність.
\(I\)в\(6\) мільйони разів перевищує мінімальну інтенсивність.
\(I\)така ж, як і мінімальна інтенсивність.
\(I\)в\(30\) мільйони разів перевищує мінімальну інтенсивність.

Відповідь

1. \(6.5\)

3. \(0\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

У хімії рН є мірою кислотності і задається формулою,

\(\mathrm{pH}=-\log \left(H^{+}\right)\)

Тут\(H^{+}\) представлена концентрація іонів водню (вимірюється в молі водню на літр розчину.) Визначають рН, враховуючи наступні концентрації іонів водню.

Чиста вода:\(H^{+}=0.0000001\)
Чорниця:\(H^{+}=0.0003162\)
Лимонний сік:\(H^{+}=0.01\)
Акумуляторна кислота:\(H^{+}=0.1\)

Відповідь

1. \(7\)

3. \(2\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Намалюйте функцію і визначте область і діапазон. Намалюйте вертикальну асимптоту пунктирною лінією.

\(f(x)=\log _{2}(x+1)\)
\(f(x)=\log _{3}(x-2)\)
\(f(x)=\log _{2} x-2\)
\(f(x)=\log _{3} x+3\)
\(f(x)=\log _{2}(x-2)+4\)
\(f(x)=\log _{3}(x+1)-2\)
\(f(x)=-\log _{2} x+1\)
\(f(x)=-\log _{3}(x+3)\)
\(f(x)=\log _{2}(-x)+1\)
\(f(x)=2-\log _{3}(-x)\)
\(f(x)=\log x+5\)
\(f(x)=\log x-1\)
\(f(x)=\log (x+4)-8\)
\(f(x)=\log (x-5)+10\)
\(f(x)=-\log (x+2)\)
\(f(x)=-\log (x-1)+2\)
\(f(x)=\ln (x-3)\)
\(f(x)=\ln x+3\)
\(f(x)=\ln (x-2)+4\)
\(f(x)=\ln (x+5)\)
\(f(x)=2-\ln x\)
\(f(x)=-\ln (x-1)\)
\(f(x)=\log _{1 / 2} x\)
\(f(x)=\log _{1 / 3} x+2\)
\(f(x)=\log _{1 / 2}(x-2)\)
\(f(x)=\log _{1 / 3}(x+1)-1\)
\(f(x)=2-\log _{1 / 4} x\)
\(f(x)=1+\log _{1 / 4}(-x)\)
\(f(x)=1-\log _{1 / 3}(x-2)\)
\(f(x)=1+\log _{1 / 2}(-x)\)

Відповідь

1. Домен:\((−1, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

3. Домен:\((0, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

5. Домен:\((2, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

7. Домен:\((0, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

9. Домен:\((−∞, 0)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

11. Домен:\((0, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

13. Домен:\((-4, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

15. Домен:\((-2, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

17. Домен:\((3, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

19. Домен:\((2, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

21. Домен:\((0, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

23. Домен:\((0, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

25. Домен:\((2, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

27. Домен:\((0, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

29. Домен:\((2, ∞)\); Діапазон:\((−∞, ∞)\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Досліджуйте та обговоріть походження та історію логарифма. Як студенти працювали з ними до загальної доступності калькуляторів?
Досліджуйте та обговоріть історію та використання шкали Ріхтера. Що являє собою кожна одиниця за шкалою Ріхтера?
Досліджуйте та обговоріть життя та внески Джона Нейпіра.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

⁸ Показник, до якого\(b\) піднімається база, щоб отримати конкретну величину. Іншими словами,\(y = log_{b}x\) це еквівалентно\(b^{y} = x\).

⁹ Основа логарифма\(10\), позначається\(log\:x\).

¹⁰ Основа логарифма\(e\), позначається\(ln\:x\).