3.5: Матриці та гаусова елімінація

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58296

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Використовуйте зворотну заміну для вирішення лінійних систем у верхній трикутній формі.
Перетворення лінійних систем в еквівалентні доповнені матриці.
Використовуйте матриці та гаусову елімінацію для розв'язання лінійних систем.

Заміна спини

Нагадаємо, що лінійна система рівнянь складається з безлічі двох і більше лінійних рівнянь з однаковими змінними. Лінійна система, що складається з трьох рівнянь у стандартній формі, розташованої так, що\(x\) змінна не з'являється ні в одному рівнянні після першого, а\(y\) змінна не з'являється ні в одному рівнянні після того, як другий, як кажуть, знаходиться у верхній трикутній формі. ²². Наприклад,

Зверніть увагу, що система утворює трикутник, де кожне наступне рівняння містить одну меншу змінну. Загалом,

\(\color{Cerulean}{Linear\: Systems\: in\: Upper\: Triangular\: Form}\)

\(\left\{ \begin{array} { r l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y = c _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } y = c _ { 2 } }\end{array} \right. \quad\quad\left\{ \begin{array} { r l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c_{1}z= d _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } y + c_{2}z = d _ { 2 }\\ \\\quad\quad\:\:\: c_{3}z = d_{3} }\end{array} \right.\)

Якщо лінійна система знаходиться в такому вигляді, ми можемо легко вирішити для однієї зі змінних, а потім назад замінити для вирішення інших змінних.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Вирішити:\(\left\{ \begin{aligned} 3 x - y & = 7 \\ 2 y & = - 2 \end{aligned} \right.\)

Рішення

Нагадаємо, що розв'язки лінійних систем з двома змінними, якщо вони існують, є впорядкованими парами\((x, y)\). Ми можемо визначити\(y\) -значення легко за допомогою другого рівняння.

\(\begin{aligned} 2 y & = - 2 \\ y & = - 1 \end{aligned}\)

Далі використовуємо перше рівняння\(3x − y = 7\) і те, що\(y = −1\) знайти\(x\).

\(\begin{aligned} 3 x - y & = 7 \\ 3 x - ( \color{Cerulean}{- 1}\color{black}{ )} & = 7 \\ 3 x + 1 & = 7 \\ 3 x & = 6 \\ x & = 2 \end{aligned}\)

Відповідь:

\((2, -1)\)

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Вирішити:\(\left\{ \begin{aligned} x - 6 y + 2 z & = 16 \\ 3 y - 9 z & = 5 \\ z & = - 1 \end{aligned} \right.\).

Рішення

Нагадаємо, що розв'язки лінійних систем з трьома змінними, якщо вони існують, є впорядкованими трійками\((x, y, z)\). Використовуйте друге рівняння\(3y − 9z = 5\) і те, що\(z = −1\) знайти\(y\).

\(\begin{aligned} 3 y - 9 z & = 5 \\ 3 y - 9 (\color{Cerulean}{ - 1}\color{black}{ )} & = 5 \\ 3 y + 9 & = 5 \\ 3 y & = - 4 \\ y & = - \frac { 4 } { 3 } \end{aligned}\)

Далі\(z\) підставляємо\(y\) і в перше рівняння.

\(\begin{aligned} x - 6 y + 2 z & = 16 \\ x - 6 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 4 } { 3} } \right) + 2 ( \color{Cerulean}{- 1}\color{black}{ )} & = 16 \\ x + 8 - 2 & = 16 \\ x + 6 & = 16 \\ x & = 10 \end{aligned}\)

Відповідь:

\((10, -\frac{4}{3}, -1)\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:\(\left\{ \begin{aligned} 4 x - y + 3 z & = 1 \\ 2 y - 9 z & = - 2 \\ 3 z & = 2 \end{aligned} \right.\)

Відповідь

\(\left( \frac { 1 } { 4 } , 2 , \frac { 2 } { 3 } \right)\)

www.youtube.com/В/RBUXJSQ-БВУ

Матриці та гаусова елімінація

У цьому розділі метою є розробка методики, яка впорядковує процес розв'язання лінійних систем. Почнемо з визначення матриці ²³, яка представляє собою прямокутний масив чисел, що складається з рядків і стовпців. З огляду на лінійну систему в стандартному вигляді, ми створюємо матрицю коефіцієнтів ²⁴, записуючи коефіцієнти, як вони виглядають збудованими без змінних або операцій наступним чином.

\(\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Linear\:System} \quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Coefficient\:Matrix} \\\left\{ \begin{array} { l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } z = d _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y + c _ { 2 } z = d _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } x + b _ { 3 } y + c _ { 3 } z = d _ { 3 } } \end{array} \right. \quad \quad\Rightarrow\quad \quad \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } b _ { 1 } c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } b _ { 2 } c _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } b _ { 3 } c _ { 3 } } \end{array} \right]\)

Рядки представляють коефіцієнти в рівняннях, а стовпці - коефіцієнти кожної змінної. Крім того, якщо ми включимо стовпець, який представляє константи, ми отримаємо те, що називається розширеною матрицею ²⁵. Для лінійної системи з двома змінними

\(\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Linear\:System}\quad\color{Cerulean}\quad\quad{Augmented\:Matrix} \\\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y = c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y = c _ { 2 } } \end{array} \right.\quad\quad \Leftrightarrow \quad\quad \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } b _ { 1 } \left| c _ { 1 } \right. } \\ { a _ { 2 } b _ { 2 } \left| c _ { 2 } \right. } \end{array} \right]\)

І для лінійної системи з трьома змінними у нас є

\(\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Linear\:System}\quad\color{Cerulean}\quad\quad{Augmented\:Matrix} \\\left\{ \begin{array} { l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } z = d _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y + c _ { 2 } z = d _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } x + b _ { 3 } y + c _ { 3 } z = d _ { 3 } } \end{array} \right.\quad\quad \Leftrightarrow \quad\left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } b _ { 1 } c _ { 1 } \left| d _ { 1 } \right. } \\ { a _ { 2 } b _ { 2 } c _ { 2 } \left| d _ { 2 } \right. } \\ { a _ { 3 } b _ { 3 } c _ { 3 } \left| d _ { 3 } \right. } \end{array} \right]\)

Примітка

Пропунктирна вертикальна лінія забезпечує візуальний поділ між матрицею коефіцієнтів і стовпцем констант. В інших ресурсах алгебри, з якими ви можете зіткнутися, це іноді опускається.

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Побудувати доповнену матрицю, яка відповідає:\(\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 6 y = 0 } \\ { - x + 2 y = 1 } \end{array} \right.\).

Рішення

Ця система складається з двох лінійних рівнянь у стандартній формі; отже, коефіцієнти в матриці виглядають так само, як і в системі.

\(\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 6 y = 0 } \\ { - x + 2 y = 1 } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array} { c c | c } { 9 } & { - 6}&{0 } \\ { - 1 } &{ 2} &{ 1} \end{array} \right]\)

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Побудувати доповнену матрицю, яка відповідає:\(\left\{ \begin{aligned} x + 2 y - 4 z & = 5 \\ 2 x + y - 6 z & = 8 \\ 4 x - y - 12 z & = 13 \end{aligned} \right.\)

Рішення

Оскільки рівняння наведені в стандартному вигляді, коефіцієнти з'являються в матриці так само, як і в системі.

\(\left\{ \begin{array} { c c } { x + 2 y - 4 z = 5 } \\ { 2 x + y - 6 z = 8 } \\ { 4 x - y - 12 z = 13 } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array} { c c c | c } { 1 } & { 2 } & { - 4 } & { 5 } \\ { 2 } & { 1 } & { - 6 } & { 8 } \\ { 4 } & { - 1 } & { - 12 } & { 13 } \end{array} \right]\)

Матриця має верхню трикутну форму, якщо всі елементи нижче початкового ненульового елемента в кожному наступному рядку дорівнюють нулю. Наприклад,

Зверніть увагу, що елементи нижче основної діагоналі дорівнюють нулю, а наведені вище коефіцієнти утворюють трикутну форму. Загалом,

\(\color{Cerulean}{Upper\:Triangular\:Form}\\\left[ \begin{array} { c c } { a _ { 1 }} & { b _ { 1 } } \\ { 0} &{ b _ { 2 } } \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array} { c c c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 }} & { c _ { 1 } } \\ { 0} &{ b _ { 2 }}&{ c _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0} &{ c _ { 3 } } \end{array} \right]\)

Це важливо, оскільки в цьому розділі ми окреслимо процес, за допомогою якого можуть бути зроблені певні операції для створення еквівалентної лінійної системи у верхній трикутній формі, щоб її можна було вирішити за допомогою зворотної заміни. Огляд процесу викладено нижче:

Після того, як система знаходиться у верхній трикутній формі, ми можемо використовувати зворотну заміну, щоб легко її вирішити. Важливо відзначити, що представлені тут доповнені матриці представляють лінійні системи рівнянь в стандартному вигляді.

Наступні елементарні операції рядків ²⁶ призводять до розширеної матриці, що представляють еквівалентні лінійні системи:

Будь-які два ряди можуть бути змінені місцями.
Кожен елемент в рядку можна помножити на ненульову константу.
Будь-який рядок може бути замінений сумою цього рядка і кратною іншому рядку.

Примітка

Ці операції узгоджуються з властивостями, використовуваними в методі усунення.

Для ефективного розв'язання системи лінійних рівнянь спочатку будують доповнену матрицю. Потім застосуйте відповідні елементарні операції рядка для отримання розширеної матриці у верхній трикутній формі. У такому вигляді еквівалентна лінійна система може бути легко вирішена за допомогою зворотної заміни. Цей процес називається гауссівською ліквідацією ²⁷, названий на честь Карла Фрідріха Гаусса (1777—1855).

Ілюстрація\(\PageIndex{4}\): Карл Фрідріх Гаусс

Етапи розв'язання лінійного рівняння з двома змінними за допомогою гаусової елімінації наведені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Вирішити за допомогою матриць і гаусової елімінації:\(\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 6 y = 0 } \\ { - x + 2 y = 1 } \end{array} \right.\).

Рішення

Переконайтеся, що рівняння в системі знаходяться в стандартній формі перед початком цього процесу.

Крок 1: Побудуйте відповідну розширену матрицю.

\(\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 6 y = 0 } \\ { - x + 2 y = 1 } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array} { c c | c} { 9} &{ - 6} & {0 } \\ { - 1} &{2}&{1 } \end{array} \right]\)

Крок 2: Застосуйте операції елементарного ряду, щоб отримати верхню трикутну форму. В цьому випадку нам потрібно лише усунути перший елемент другого ряду,\(−1\). Для цього другий ряд множимо на\(9\) і додаємо його в перший ряд.

Тепер скористайтеся цим, щоб замінити другий ряд.

\(\left[ \begin{array} { c c | c } { 9 } & { - 6}&{0 } \\ {\color{Cerulean}{ 0} } & { \color{black}{12} } & { 19 } \end{array} \right]\)

Це призводить до збільшення матриці у верхній трикутній формі.

Крок 3: Перетворіть назад в лінійну систему та вирішуйте за допомогою зворотної заміни. У цьому прикладі ми маємо

\(\left[ \begin{array} { c c |c} { 9} &{ - 6} &{0 } \\ { \color{Cerulean}{0} } & { \color{black}{12}} &{ 9 } \end{array} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array} { r } { 9 x - 6 y = 0 } \\ { 12 y = 9 } \end{array} \right.\)

Розв'яжіть друге рівняння для\(y\),

\(\begin{array} { l } { 12 y = 9 } \\ { y = \frac { 9 } { 12 } } \\ { y = \frac { 3 } { 4 } } \end{array}\)

Заставте це значення\(y\) в перше рівняння, яке потрібно знайти\(x\),

\(\begin{aligned} 9 x - 6 y & = 0 \\ 9 x - 6 \left( \color{OliveGreen}{\frac { 3 } { 4 }} \right) & = 0 \\ 9 x - \frac { 9 } { 2 } & = 0 \\ 9 x & = \frac { 9 } { 2 } \\ x & = \frac { 1 } { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 4 } \right)\)

Етапи використання гаусової елімінації для розв'язання лінійного рівняння з трьома змінними наведені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Вирішіть за допомогою матриць і гаусової елімінації:\(\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 y - 4 z = 5 } \\ { 2 x + y - 6 z = 8 } \\ { 4 x - y - 12 z = 13 } \end{array} \right.\)

Рішення

Переконайтеся, що рівняння в системі знаходяться в стандартній формі перед початком цього процесу.

Крок 1: Побудуйте відповідну розширену матрицю.

\(\left\{ \begin{array} { c c c } { x + 2 y - 4 z } & { = 5 } \\ { 2 x + y - 6 z } & { = 8 } \\ { 4 x - y - 12 z } & { = 13 } \end{array} \right.\quad \color{Cerulean}{\Rightarrow} \color{black}{\quad \left[ \begin{array} { c c c | c } { 1 } & { 2 } & { - 4 } & { 5 } \\ { 2 } & { 1 } & { - 6 } & { 8 } \\ { 4 } & { - 1 } & { - 12 } & { 13 } \end{array} \right]}\)

Крок 2: Застосуйте операції елементарного ряду, щоб отримати верхню трикутну форму. Починаємо з усунення першого елемента другого ряду,\(2\) в даному випадку. Для цього помножте перший ряд на,\(−2\) а потім додайте його до другого ряду.

\( \left[ \begin{array} { r r r | r } { 1 } & { 2 } & { - 4 } & { 5 } \\ { \color{red}{2} } & { 1 } & { - 6 } & { 8 } \\ { 4 } & { - 1 } & { - 12 } & { 13 } \end{array} \right] \stackrel{\stackrel {\times( - 2 )}{\Longrightarrow}}{}\begin{array} { c c c c }\:\;\:\:\:\: { - 2} &{ - 4} &\:\:{ 8} &{ - 10 } \\ + \:\:\:\:\:\:{ \color{red}{2}} & {\color{black}{1}} & {- 6} &{8 } \\ \hline \:\:\:\:\:\:\:\: {\color{Cerulean}{0}} &{ - 3} & {2} & { - 2 } \end{array}\)

Використовуйте це для заміни другого ряду.

\(\left[ \begin{array} { r r r | r } { 1 } & { 2 } & { - 4 } & { 5 } \\ { \color{Cerulean}{0} } & { \color{black}{- 3} } & { 2 } & { - 2 } \\ { 4 } & { - 1 } & { - 12 } & { 13 } \end{array} \right]\)

Далі виключіть перший елемент третього ряду,\(4\) в цьому випадку множивши перший ряд на\(−4\) і додаючи його до третього ряду.

\( \left[ \begin{array} { r r r | r } { 1 } & { 2 } & { - 4 } & { 5 } \\ { 0 } & { -3 } & { 2 } & { -2 } \\ { \color{red}{4} } & { \color{black}{- 1} } & { - 12 } & { 13 } \end{array} \right] \stackrel{\stackrel {\times( - 4 )}{\Longrightarrow}}{}\begin{array} { c c c c }\:\;\:\:\:\: { - 4} &{ - 8} &{ 16} &{ - 20 } \\ + \:\:\:\:\:\:{ \color{red}{4}} & {\color{black}{-1}} & {- 12} &{13 } \\ \hline \:\:\:\:\:\:\:\: {\color{Cerulean}{0}} &{ - 9} & {4} & { - 7 } \end{array}\)

Використовуйте це для заміни третього ряду.

\(\left[ \begin{array} { r r r | r } { 1 } & { 2 } & { - 4 } & { 5 } \\ {\color{Cerulean}{ 0} } & { \color{black}{- 3} } & { 2 } & { - 2 } \\ { \color{Cerulean}{0} } & { \color{black}{- 9} } & { 4 } & { - 7 } \end{array} \right]\)

Це призводить до розширеної матриці, де елементи під першим елементом першого рядка дорівнюють нулю. Далі усуваємо другий елемент в третьому ряду, в даному випадку\(−9\). Другий ряд множимо на\(−3\) і додаємо до третього ряду.

Використовуйте це, щоб замінити третій рядок, і ми бачимо, що ми отримали матрицю у верхній трикутній формі.

\(\left[ \begin{array} { r r r | r } { 1 } & { 2 } & { - 4 } & { 5 } \\ { \color{Cerulean}{0} } & { \color{black}{- 3} } & { 2 } & { - 2 } \\ { \color{Cerulean}{0} } & { \color{Cerulean}{0} } & {\color{black}{ - 2} } & { - 1 } \end{array} \right]\)

\(\left[ \begin{array} { c c c |c } { 1 } & { 2 } & { - 4 } & { 5 } \\ { 0 } & { - 3 } & { 2 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { - 1 } \end{array} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array} { r } { x + 2 y - 4 z = 5 } \\ { - 3 y + 2 z = - 2 } \\ { - 2 z = - 1 } \end{array} \right.\)

Відповідь:

Це залишається читачеві, щоб переконатися, що рішення є\((5, 1, \frac{1}{2})\).

Примітка

Як правило, робота, пов'язана із заміною рядка множенням і додаванням, виконується збоку за допомогою скретч-паперу.

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Вирішіть за допомогою матриць і гаусової елімінації:\(\left\{ \begin{aligned} 2 x - 9 y + 3 z &= - 18 \\ x - 2 y - 3 z &= - 8 \\ - 4 x + 23 y + 12 z &= 47 \end{aligned} \right.\)

Рішення

Починаємо з перетворення системи в доповнену матрицю коефіцієнтів.

\(\left\{ \begin{aligned} 2 x - 9 y + 3 z &= - 18 \\ x - 2 y - 3 z& = - 8 \\ - 4 x + 23 y + 12 z &= 47 \end{aligned} \right. \color{OliveGreen}{\Rightarrow} \color{black}{\left[ \begin{array} { c c c | c } { 2 }&{- 9 } & { 3} &{ - 18 } \\ { 1} &{ - 2 } & { - 3 } & { - 8 } \\ { - 4 } & { 23 } & { 12 } & { 47 } \end{array} \right]}\)

Елементарні операції рядків спрощуються, якщо провідним ненульовим елементом у рядку є\(1\). З цієї причини починайте з перемикання ряду один і два.

Замініть рядок два сумою\(−2\) разів на рядок один і другий рядок.

Замініть рядок три сумою\(4\) разів на рядок перший і рядок три.

Далі ділимо ряд\(3\) на\(15\).

Пересадочний ряд три з рядом два.

Далі\(3\) замініть рядок сумою\(5\) разів рядка два та три рядки.

Це призводить до матриці у верхній трикутній формі. Матриця знаходиться в рядковій формі ешелону ²⁸, якщо вона знаходиться у верхній трикутній формі, де провідний ненульовий елемент кожного рядка\(1\). Ми можемо отримати цю форму, замінивши рядок три з результатами ділення його на\(9\).

Перетворити в систему лінійних рівнянь і вирішити шляхом зворотної підстановки.

\(\left[ \begin{array} { c c c | c} { 1} &{ - 2} &{ - 3} &{ - 8 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} x - 2 y - 3 z & = - 8 \\ y & = 1 \\ z & = \frac { 1 } { 3 } \end{aligned} \right.\)

Ось\(y = 1\) і\(z = \frac{1}{3}\). Підставте в перше рівняння, яке потрібно знайти\(x\).

\(\begin{aligned} x - 2 y - 3 y & = - 8 \\ x - 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{black}{ )} - 3 \left(\color{Cerulean}{ \frac { 1 } { 3} } \right) & = - 8 \\ x - 2 - 1 & = - 8 \\ x - 3 & = - 8 \\ x & = - 5 \end{aligned}\)

Відповідь:

Тому рішення є\(\left( - 5,1 , \frac { 1 } { 3 } \right)\).

Примітка

Багато сучасних калькуляторів і систем комп'ютерної алгебри можуть виконувати гаусову елімінацію. Для початку потрібно буде дізнатися, як ввести матрицю. Потім скористайтеся функціями калькулятора, щоб знайти форму ешелону рядків. Вам рекомендується провести деякі веб-дослідження на цю тему для вашої конкретної моделі калькулятора.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішіть за допомогою гаусової елімінації:\(\left\{ \begin{array} { c } { x - 3 y + 2 z = 16 } \\ { 4 x - 11 y - z = 69 } \\ { 2 x - 5 y - 4 z = 36 } \end{array} \right.\).

Відповідь

\(( 6 , - 4 , - 1 )\)

www.youtube.com/В/8 МаввигоЄДМ

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Вирішити за допомогою матриць і гаусової елімінації:\(\left\{ \begin{array} { c } { x - 2 y + z = 4 } \\ { 2 x - 3 y + 4 z = 7 } \\ { 4 x - 7 y + 6 z = 15 } \end{array} \right.\).

Рішення

Починаємо з перетворення системи в доповнену матрицю коефіцієнтів.

\(\left\{ \begin{array} { c c } { x - 2 y + z = 4 } \\ { 2 x - 3 y + 4 z = 7 } \\ { 4 x - 7 y + 6 z = 15 } \end{array} \right. \color{OliveGreen}{\Rightarrow} \color{black}{ \left[ \begin{array} { c c | c } { 1} &{ - 21} &{ 4 } \\ { 2} &{ - 34}&{ 7 } \\ { 4} &{ - 76}&{ 15 } \end{array} \right]}\)

Замініть рядок два на\(−2\) (рядок\(1\)) + (рядок\(2\)) і замініть рядок третій на\(−4\) (рядок\(1\)) + (рядок\(3\)).

\(\left[ \begin{array} { c c |c } { 1 } & { - 21 } & { 4 } \\ { 0 } & { 12 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 12 } & { - 1 } \end{array} \right]\)

Замініть рядок три на\(−1\) (рядок\(2\)) + (рядок\(3\)).

\(\left[ \begin{array} { c c | c} { 1 } & { - 21 } & { 4 } \\ { 0 } & { 12 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 00 } & { 0 } \end{array} \right]\)

Останній рядок вказує на те, що це залежна система, оскільки перетворення доповненої матриці назад до рівнянь, які ми маємо,

\(\left\{ \begin{aligned} x - 2 y + z & = 4 \\ y + 2 z & = - 1 \\ 0 x + 0 y + 0 z & = 0 \end{aligned} \right.\)

Зверніть увагу, що рядок нулів відповідає наступному ідентичності,

\(\begin{array} { r } { 0 x + 0 y + 0 z = 0 } \\ { 0 = 0 } \end{array} \color{Cerulean}{✓}\)

У цьому випадку ми можемо висловити нескінченно багато рішень з точки зору\(z\). З другого ряду у нас виходить наступне:

\(\begin{aligned} y + 2 z & = - 1 \\ y & = - 2 z - 1 \end{aligned}\)

І з першого рівняння,

\(\begin{aligned} x - 2 y + z & = 4 \\ x - 2 ( \color{Cerulean}{- 2 z - 1}\color{black}{ )} + z & = 4 \\ x + 5 z + 2 & = 4 \\ x & = - 5 z + 2 \end{aligned}\)

Рішення набувають вигляду,\((x, y, z) = (−5z + 2, −2z − 1, z)\) де\(z\) знаходиться будь-яке дійсне число.

Відповідь:

\(( - 5 z + 2 , - 2 z - 1 , z )\)

Залежні і непослідовні системи можуть бути ідентифіковані в доповненій матриці коефіцієнтів, коли коефіцієнти в одному рядку дорівнюють нулю.

Якщо рядок нулів має відповідну константу нуля, то матриця являє собою залежну систему. Якщо константа ненульова, то матриця являє собою неузгоджену систему.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити за допомогою матриць і гаусової елімінації:\(\left\{ \begin{aligned} 5 x - 2 y + z & = - 3 \\ 10 x - y + 3 z & = 0 \\ - 15 x + 9 y - 2 z & = 17 \end{aligned} \right.\).

Відповідь

\(\varnothing\)

www.youtube.com/В/38W0EB5E0py

Ключові виноси

Лінійна система у верхній трикутній формі може бути легко вирішена за допомогою зворотного заміщення.
Доповнена матриця коефіцієнтів і гаусова елімінація можуть бути використані для впорядкування процесу розв'язання лінійних систем.
Для розв'язання системи з використанням матриць і гауссова елімінації спочатку використовують коефіцієнти для створення доповненої матриці. Застосовуйте елементарні операції рядка як засіб для отримання матриці у верхній трикутній формі. Перетворіть матрицю назад в еквівалентну лінійну систему і вирішіть її за допомогою зворотної заміни.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вирішити за допомогою зворотної заміни.

\(\left\{ \begin{aligned} 5 x - 3 y & = 2 \\ y & = - 1 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { r } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { y = 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x - 4 y & = 1 \\ 2 y & = - 3 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x - 5 y & = 3 \\ 10 y & = - 6 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 4 x - 3 y & = - 16 \\ 7 y & = 0 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 3 x - 5 y & = - 10 \\ 4 y & = 8 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 2 x + 3 y & = - 1 \\ 3 y & = 2 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 6 x - y & = - 3 \\ 4 y & = 3 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x - y & = 0 \\ 2 y & = 0 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 2 x + y & = 2 \\ 3 y & = 0 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x + 3 y - 4 z & = 1 \\ y - 3 z & = - 2 \\ z & = 3 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x - 5 y + 4 z & = - 1 \\ y - 7 z & = 10 \\ z & = - 2 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x - 6 y + 8 z & = 2 \\ 3 y - 4 z & = - 4 \\ 2 z & = - 1 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 2 x - y + 3 z & = - 9 \\ 2 y + 6 z & = - 2 \\ 3 z & = 2 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 10 x - 3 y + z & = 13 \\ 11 y - 3 z & = 9 \\ 2 z & = - 6 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 3 x - 2 y + 5 z & = - 24 \\ 4 y + 5 z & = 3 \\ 4 z & = - 12 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x - y + 2 z & = 1 \\ 2 y + z & = 1 \\ 3 z & = - 1 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x + 2 y - z & = 2 \\ y - 3 z & = 1 \\ 6 z & = 1 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x - 9 y + 5 z & = - 3 \\ 2 y & = 10 \\ 3 z & = 27 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 4 x - z & = 3 \\ 3 y - 2 z & = - 1 \\ 2 z & = - 8 \end{aligned} \right.\)

Відповідь

1. \(\left( - \frac { 1 } { 5 } , - 1 \right)\)

3. \(\left( - 5 , - \frac { 3 } { 2 } \right)\)

5. \((-4, 0)\)

7. \(\left( - \frac { 3 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } \right)\)

9. \((0,0)\)

11. \((-8, 7, 3)\)

13. \(\left( - 6 , - 2 , - \frac { 1 } { 2 } \right)\)

15. \(\left( \frac { 8 } { 5 } , 0 , - 3 \right)\)

17. \(\left( \frac { 7 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } , - \frac { 1 } { 3 } \right)\)

19. \((-3, 5, 9)\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Побудувати відповідну доповнену матрицю (не вирішувати).

\(\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 y = 3 } \\ { 4 x + 5 y = 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = 1 } \\ { 2 x - y = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x - y = 2 } \\ { - x + y = - 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} - x + 8 y & = 3 \\ 2 y & = 2 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { r } { 3 x - 2 y = 4 } \\ { - y = 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 7 z = 8 } \\ { 4 x - 5 y - 10 z = 6 } \\ { - x - 3 y + 2 z = - 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x - y - z = 0 } \\ { 2 x - y + 3 z = - 1 } \\ { - x + 4 y - 3 z = - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x - 9 y + 5 z & = - 3 \\ 2 y & = 10 \\ 3 z & = 27 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - z = 3 } \\ { 3 y - 2 z = - 1 } \\ { 2 z = - 8 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 8 x + 2 y = - 13 } \\ { - 2 y + z = 1 } \\ { 12 x - 5 z = - 18 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 z = 2 } \\ { y + 6 z = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.\)

Відповідь

1. \(\left[ \begin{array} { c c | c } { 1} & {2} &{ 3 } \\ { 4}&{5} &{ 6 } \end{array} \right]\)

3. \(\left[ \begin{array} { c c | c} { 1} &{ - 2} &{ 1 } \\ { 2} &{ - 1} &{ 1 } \end{array} \right]\)

5. \(\left[ \begin{array} { c c | c } { - 1} &{8} &{ 3 } \\ { 0} & {2} &{ 2 } \end{array} \right]\)

7. \(\left[ \begin{array} { c c c | c} { 3 } & { - 2 } & { 7 } & { 8 } \\ { 4} &{ - 5 } & { - 10 } & { 6 } \\ { - 1 } & { - 3 } & { 2 } & { - 1 } \end{array} \right]\)

9. \(\left[ \begin{array} { c c c | c } { 1 } & { - 9} &{5} &{ - 3 } \\ { 0 } & { 2} &{0 } & { 10 } \\ { 0 } & { 0} &{3 } & { 27 } \end{array} \right]\)

11. \(\left[ \begin{array} { c c c | c } { 8 } & { 2 } & { 0 } &{ - 13 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 1 } & { 1 } \\ { 12 } & { 0 } & { - 5 } & { - 18 } \end{array} \right]\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вирішити за допомогою матриць і гауссова елімінації.

\(\left\{ \begin{array} { l } { x - 5 y = 2 } \\ { 2 x - y = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x - 2 y = - 1 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 10 x - 7 y = 15 } \\ { - 2 x + 3 y = - 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 9 x - 10 y = 2 } \\ { 3 x + 5 y = - 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 8 } \\ { 2 x - 3 y = 18 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = - 14 } \\ { 7 x + 2 y = - 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 9 x + 15 y = 5 } \\ { 3 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 6 x - 8 y = 1 } \\ { - 3 x + 4 y = - 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 0 } \\ { x - y = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 3 y = 0 } \\ { 3 x - 7 y = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { - 10 x + 15 y = - 20 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 10 y = 20 } \\ { - 3 x + 5 y = - 10 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + y - 2 z = - 1 } \\ { - x + 2 y - z = 1 } \\ { x - y + z = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x - y + z = - 2 } \\ { x + 2 y - z = 6 } \\ { - x + y - 2 z = 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 2 x - y + z & = 2 \\ x - y + z & = 2 \\ - 2 x + 2 y - z & = - 1 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 z = 7 } \\ { - x + 2 y + z = 6 } \\ { x + 3 y - 2 z = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x - 3 y + z & = 6 \\ - x - y + 2 z & = 4 \\ 2 x + y + z & = 3 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 4 x - y + 2 z & = 12 \\ x - 3 y + 2 z & = 7 \\ - 2 x + 3 y + 4 z & = - 16 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - 4 y + 6 z = - 4 } \\ { 3 x - 2 y + 5 z = - 2 } \\ { 5 x - y + 2 z = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 3 x + 6 y + 9 z & = 6 \\ 2 x - 2 y + 3 z & = 0 \\ - 3 x + 18 y - 12 z & = 5 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - x + y - z = - 2 } \\ { 3 x - 2 y + 5 z = 1 } \\ { 3 x - 5 y - z = 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 y + 3 z = 4 } \\ { 3 x + 8 y + 13 z = 21 } \\ { 2 x + 5 y + 8 z = 16 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - 4 y - 5 z = 3 } \\ { - x + y + z = 1 } \\ { 3 x - 4 y - 5 z = - 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 2 z = 4 } \\ { 3 x - 6 y + 4 z = - 6 } \\ { - x + 2 y - z = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { - 2 x - 3 y + 12 z = 4 } \\ { 4 x - 5 y - 10 z = - 1 } \\ { - x - 3 y + 2 z = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - 2 y + 5 z = 10 } \\ { 4 x + 3 y - 3 z = - 6 } \\ { x + y + z = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 y + z = - 3 } \\ { x + 6 y + 3 z = 7 } \\ { x + 4 y + 2 z = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y + z = 1 } \\ { 4 x - y + 3 z = 5 } \\ { 2 x + y + 3 z = 7 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y - 4 z = 0 } \\ { 3 x - 5 y + 3 z = - 10 } \\ { 5 x - 2 y + 5 z = - 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 9 z = 2 } \\ { - 2 x - 5 y - 4 z = 3 } \\ { 5 x - 3 y + 3 z = 15 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = - 13 } \\ { - 2 y + z = 1 } \\ { 12 x - 5 z = - 18 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 z = 2 } \\ { y + 6 z = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 9 x + 3 y - 11 z & = 6 \\ 2 x + y - 3 z & = 1 \\ 7 x + 2 y - 8 z & = 3 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - y - z = 4 } \\ { - 5 x + y + 2 z = - 3 } \\ { 6 x - 2 y - 2 z = 8 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 4 y + 3 z = 15 } \\ { 3 x - 5 y + 2 z = 18 } \\ { 5 x + 2 y - 6 z = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y - 3 z = - 14 } \\ { 4 x + 2 y + 5 z = 12 } \\ { - 5 x + 8 y - 4 z = - 3 } \end{array} \right.\)

Відповідь

1. \(\left( \frac { 1 } { 3 } , - \frac { 1 } { 3 } \right)\)

3. \(\left( \frac { 3 } { 2 } , 0 \right)\)

5. \(( 6 , - 2 )\)

7. \(\varnothing\)

9. \((0,0)\)

11. \(\left( x , \frac { 2 } { 3 } x - \frac { 4 } { 3 } \right)\)

13. \((2, 3, 3)\)

15. \((0, 1, 3)\)

17. \((1, -1, 2)\)

19. \((\left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } \right)\)

21. \(\varnothing\)

23. \((-7, -13, 7)\)

25. \((1, 0, \frac{1}{2})\)

27. \(\left( - 8 , - \frac { 1 } { 2 } z + \frac { 5 } { 2 } , z \right)\)

29. \((-1, 2, 1)\)

31. \(\left( - \frac { 3 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)\)

33. \(\varnothing\)

35. \((2, -2, 1)\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Досліджуйте та обговоріть історію гаусової ліквідації. Кому зараховують перший розвиток цього процесу? Опублікуйте щось, що вам здалося цікавим, пов'язане з цією історією.
Дослідити та обговорити історію сучасних матричних позначень. Кому зараховується розробка? У яких сферах вони використовуються сьогодні? Опублікуйте свої висновки на дошці обговорень.

Відповідь: 1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

²² Лінійна система, що складається з рівнянь з трьома змінними в стандартній формі, розташованої так, що\(x\) змінна не з'являється після першого рівняння, а\(y\) змінна не з'являється після другого рівняння.

²³ Прямокутний масив чисел, що складається з рядків і стовпців.

²⁴ Матриця коефіцієнтів лінійної системи в стандартному вигляді записується, як вони виглядають вишикувалися без змінних або операцій.

²⁵ Матриця коефіцієнта з включеним стовпцем констант.

²⁶ Операції, які можуть бути виконані для отримання еквівалентних лінійних систем.

²⁷ Кроки, що використовуються для отримання еквівалентної лінійної системи у верхній трикутній формі, щоб її можна було вирішити за допомогою зворотної заміни.

²⁸ Матриця в трикутній формі, де провідний ненульовий елемент кожного рядка дорівнює 1