9.7: Вищі коріння

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Спростіть вирази з вищими коренями
• Використовуйте Product Property, щоб спростити вирази з вищими коренями
• Скористайтеся властивістю Quotient, щоб спростити вирази з вищими коренями
• Додайте і відніміть вищі коріння

Примітка

1. Спростити:$y^{5}y^{4}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.2.7.
2. Спростити:$(n^2)^6$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.2.19.
3. Спростити:$\frac{x^8}{x^3}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.5.1.

Спрощення виразів за допомогою вищих коренів

До теперішнього часу в цьому розділі ми працювали з квадратами та квадратними корінням. Зараз ми будемо розширювати нашу роботу, включивши вищі сили та вищі коріння.

Давайте спочатку розглянемо деякі словникові запаси.

$$\begin{array}{cc} {}&{}\\ {\textbf{We write:}}&{\textbf{We say:}}\\ {n^2}&{\text{n squared}}\\ {n^3}&{\text{n cubed}}\\ {n^4}&{\text{n to the fourth}}\\ {n^5}&{\text{n to the fifth}}\\ \nonumber \end{array}$$

Терміни «квадрат» та «куб» походять від формул для площі квадрата та об'єму куба.

Буде корисно мати таблицю ступенів цілих чисел від −5 до 5. Див$\PageIdnex{1}$. Малюнок.

Рисунок$\PageIndex{1}$: Від першого до п'ятого степенів цілих чисел від −5 до 5.

Зверніть увагу на знаки на малюнку$\PageIndex{1}$. Всі сили позитивних чисел, звичайно, позитивні. Але коли ми маємо негативне число, парні сили позитивні, а непарні - негативні. Ми скопіюємо рядок з повноваженнями −2 нижче, щоб допомогти вам побачити це.

Раніше в цьому розділі ми визначили квадратний корінь числа.

Якщо$n^2=m$, то n - квадратний корінь m.

І ми використовували позначення для$\sqrt{m}$ позначення основного квадратного кореня. Так$\sqrt{m} \ge 0$ завжди.

Тепер ми поширимо визначення на вищі коріння.

Визначення: N КОРІНЬ ЧИСЛА

Якщо$b^n=a$, то b - це і в корені числа a.

Запис принципала в корені a$\sqrt[n]{a}=b$

n називається індексом радикала.

Індекс для квадратного кореня ми не пишемо. Так само, як ми використовуємо слово «куб» для$b^3$, ми використовуємо термін «куб корінь» для$\sqrt[3]{a}$.

Ми посилаємося на Малюнок$\PageIndex{1}$, щоб допомогти нам знайти вищі коріння.

$$\begin{array}{cc} {4^3=64}&{\sqrt[3]{64}=4}\\ {3^4=81}&{\sqrt[4]{81}=3}\\ {(−2)^5=−32}&{\sqrt[5]{−32}=−2}\\ \nonumber \end{array}$$

Чи можемо ми мати парний корінь негативного числа? Ні. Ми знаємо, що квадратний корінь від'ємного числа не є дійсним числом. Те ж саме справедливо і для будь-якого рівного кореня. Парні корені від'ємних чисел не є дійсними числами. Непарні корені від'ємних чисел є дійсними числами.

Визначення: ВЛАСТИВОСТІ$\sqrt[n]{a}$

Коли n - парне число і

• $a\ge 0$, то$\sqrt[n]{a}$ є дійсним числом
• $a < 0$, то не$\sqrt[n]{a}$ є дійсним числом

Коли n - непарне число,$\sqrt[n]{a}$ є дійсним числом для всіх значень a.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{8}$
2. $\sqrt[4]{81}$
3. $\sqrt[5]{32}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{8}$
З тих пір$(2)^3=8$.	2
2.	$\sqrt[4]{81}$
З тих пір$(3)^4=81$.	3
3.	$\sqrt[5]{32}$
З тих пір$(2)^5=32$.	2

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{27}$
2. $\sqrt[4]{256}$
3. $\sqrt[5]{243}$.

Відповідь

1. 3
2. 4
3. 3

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{1000}$
2. $\sqrt[4]{16}$
3. $\sqrt[5]{32}$.

Відповідь

1. 10
2. 2
3. 2

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{−64}$
2. $\sqrt[4]{−16}$
3. $\sqrt[5]{−243}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{−64}$
З тих пір$(−4)^3=−64$.	−4
2.	$\sqrt[4]{−16}$
Подумайте,$(?)^4=−16$ .Ніяке реальне число, підняте до четвертої влади, не є позитивним.	Чи не дійсне число.
3.	$\sqrt[5]{−243}$
З тих пір$(−3)^5=−243$.	−3

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{−125}$
2. $\sqrt[4]{−16}$
3. $\sqrt[5]{−32}$.

Відповідь

1. −5
2. не реальний
3. −2

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{−216}$
2. $\sqrt[4]{−81}$
3. $\sqrt[5]{−1024}$.

Відповідь

1. −6
2. не реальний
3. −4

Коли ми працювали з квадратними коренями, які мали змінні в радиканді, ми обмежили змінні до невід'ємних значень. Зараз ми знімемо це обмеження.

Непарний корінь числа може бути як позитивним, так і негативним. Ми це бачили$\sqrt[3]{−64}=−4$.

Але парний корінь невід'ємного числа завжди невід'ємний, тому що ми беремо принципал n -й корінь.

Припустимо, ми починаємо з a=−5.

$$\begin{array}{cc} {(−5)^4=625}&{\sqrt[4]{625}=5}\\ \nonumber \end{array}$$

Як ми можемо переконатися, що четвертий корінь −5, піднятий до четвертої степені,$(−5)^4$ дорівнює 5? Ми побачимо в наступному властивості.

Визначення: СПРОЩЕННЯ НЕПАРНИХ І ПАРНИХ КОРЕНІВ

Для будь-якого цілого числа$n \ge 2$,

$$\begin{array}{cc} {\text{when n is odd}}&{\sqrt[n]{a^n}=a}\\ {\text{when n is even}}&{\sqrt[n]{a^n}=|a|}\\ \nonumber \end{array}$$

Ми повинні використовувати знаки абсолютного значення, коли беремо парний корінь виразу зі змінною в радикалі.

Приклад$\PageIndex{7}$

Спростити:

1. $\sqrt{x^2}$
2. $\sqrt[3]{n^3}$
3. $\sqrt[4]{p^4}$
4. $\sqrt[5]{y^5}$.

Відповідь

Ми використовуємо абсолютне значення, щоб обов'язково отримати позитивний корінь.

1.	$\sqrt{x^2}$
Так як$(x)^2=x^2$ і ми хочемо позитивного кореня.	|x|
2.	$\sqrt[3]{n^3}$
З тих пір$(n)^3=n^3$. Це непарний корінь, тому немає необхідності в знаку абсолютного значення.	п
3.	$\sqrt[4]{p^4}$
Так як$(p)^4=p^4$ і ми хочемо позитивного кореня.	|п|
4.	$\sqrt[5]{y^5}$
З тих пір$(y)^5=y^5$. Це непарний корінь, тому немає необхідності в знаку абсолютного значення.	у

Приклад$\PageIndex{8}$

Спростити:

1. $\sqrt{b^2}$
2. $\sqrt[3]{w^3}$
3. $\sqrt[4]{m^4}$
4. $\sqrt[5]{q^5}$.

Відповідь

1. |б|
2. ш
3. |м|
4. q

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростити:

1. $\sqrt{y^2}$
2. $\sqrt[3]{p^3}$
3. $\sqrt[4]{z^4}$
4. $\sqrt[5]{q^5}$

Відповідь

1. |y|
2. р
3. |з|
4. q

Приклад$\PageIndex{10}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{y^{18}}$
2. $\sqrt[4]{z^8}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{y^{18}}$
З тих пір$(y^6)^3=y^18$.	$\sqrt[3]{(y^6)^3}$
	$y^6$
2.	$\sqrt[4]{z^8}$
З тих пір$(z^2)^4=z^8$.	$\sqrt[4]{(z^2)^4}$
Оскільки$z^2$ позитивний, нам не потрібен знак абсолютного значення.	$z^2$

Приклад$\PageIndex{11}$

Спростити:

1. $\sqrt[4]{u^{12}}$
2. $\sqrt[3]{v^{15}}$.

Відповідь

1. $u^3$
2. $v^5$

Приклад$\PageIndex{12}$

Спростити:

1. $\sqrt[5]{c^{20}}$
2. $\sqrt[6]{d^{24}}$.

Відповідь

1. $c^4$
2. $d^4$

Приклад$\PageIndex{13}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{64p^6}$
2. $\sqrt[4]{16q^{12}}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{64p^6}$
Перепишіть$64p^6$ як$(4p^2)^3$.	$\sqrt[3]{(4p^2)^3}$
Візьміть кубик кореня.	$4p^2$
2.	$\sqrt[4]{16q^{12}}$
Перепишіть радиканд як четверту потужність.	$\sqrt[4]{(2q^3)^4}$
Візьміть четвертий корінь.	$2|q^3|$

Приклад$\PageIndex{14}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{27x^{27}}$
2. $\sqrt[4]{81q^{28}}$.

Відповідь

1. $3x^9$
2. $3∣q^7∣$

Приклад$\PageIndex{15}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{125p^9}$
2. $\sqrt[5]{243q^{25}}$

Відповідь

1. $5p^3$
2. $3q^5$

Використовуйте властивість Product для спрощення виразів з вищими коренями

Ми спростимо вирази з вищими коренями майже так само, як ми спростили вирази з квадратними коренями. А в корені вважається спрощеним, якщо він не має факторів$m^n$.

Визначення: СПРОЩЕНО В КОРЕНІ

$\sqrt[n]{a}$вважається спрощеним, якщо не має факторів$m^n$.

Ми узагальнимо властивість продукту квадратних коренів, щоб включити будь-який цілочисельний корінь.$n \ge 2$.

Визначення: ВЛАСТИВІСТЬ ПРОДУКТУ N TH КОРЕНІВ

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}$і$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

коли$\sqrt[n]{a}$ і$\sqrt[n]{b}$ є дійсними числами і для будь-якого цілого числа$n \ge 2$

Приклад$\PageIndex{16}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{x^4}$
2. $\sqrt[4]{x^7}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{x^4}$
Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший коефіцієнт ідеального куба.	$\sqrt[3]{x^3·x}$
Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.	$\sqrt[3]{x^3}·\sqrt[3]{x}$
Спростити.	$x\sqrt[3]{x}$
2.	$\sqrt[4]{x^7}$
Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший ідеальний четвертий коефіцієнт потужності.	$\sqrt[4]{x^4·x^3}$
Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.	$\sqrt[4]{x^4}·\sqrt[4]{x^3}$
Спростити.	$|x|\sqrt[4]{x^3}$

Приклад$\PageIndex{17}$

Спростити:

1. $\sqrt[4]{y^6}$
2. $\sqrt[3]{z^5}$.

Відповідь

1. $|y∣\sqrt[4]{y^2}$
2. $z\sqrt[3]{z^2}$

Приклад$\PageIndex{18}$

Спростити:

1. $\sqrt[5]{p^8}$
2. $\sqrt[6]{q^{13}}$.

Відповідь

1. $p\sqrt[5]{p^3}$
2. $q^2\sqrt[6]{q}$

Приклад$\PageIndex{19}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{16}$
2. $\sqrt[4]{243}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{16}$
	$\sqrt[3]{2^4}$
Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший коефіцієнт ідеального куба.	$\sqrt[3]{2^3·2}$
Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.	$\sqrt[3]{2^3}·\sqrt[3]{2}$
Спростити.	$2\sqrt[3]{2}$
2.	$\sqrt[4]{243}$
	$\sqrt[4]{3^5}$
Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший ідеальний четвертий коефіцієнт потужності.	$\sqrt[4]{3^4·3}$
Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.	$\sqrt[4]{3^4}·\sqrt[4]{3}$
Спростити.	$3\sqrt[4]{3}$

Приклад$\PageIndex{20}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{81}$
2. $\sqrt[4]{64}$.

Відповідь

1. $3\sqrt[3]{3}$
2. $2\sqrt[4]{4}$

Приклад$\PageIndex{21}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{625}$
2. $\sqrt[4]{729}$.

Відповідь

1. $5\sqrt[3]{5}$
2. $3\sqrt[4]{9}$

Не забувайте використовувати знаки абсолютного значення, коли берете парний корінь виразу зі змінною в радикалі.

Приклад$\PageIndex{22}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{24x^7}$
2. $\sqrt[4]{80y^{14}}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{24x^7}$
Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальні кубові фактори.	$\sqrt[3]{2^{3}x^{6}·3x}$
Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.	$\sqrt[3]{2^{3}x^{6}}·\sqrt[3]{3x}$
Перепишіть перший радиканд як$(2x^2)^3$	$\sqrt[3]{(2x^{2})^3}·\sqrt[3]{3x}$
Спростити.	$2x^2\sqrt[3]{3x}$
2.	$\sqrt[4]{80y^{14}}$
Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальні четверті коефіцієнти потужності.	$\sqrt[4]{2^{4}y^{12}·5y^2}$
Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.	$\sqrt[4]{2^{4}y^{12}}·\sqrt[4]{5y^2}$
Перепишіть перший радиканд як$(2y^3)^4$	$\sqrt[4]{(2y^3)^4}·\sqrt[4]{5y^2}$
Спростити.	$2|y^3|\sqrt[4]{5y^2}$

Приклад$\PageIndex{23}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{54p^[10}]$
2. $\sqrt[4]{64q^{10}}$.

Відповідь

1. $3p^3\sqrt[3]{2p}$
2. $2q^2\sqrt[4]{4q^2}$

Приклад$\PageIndex{24}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{128m^{11}}$
2. $\sqrt[4]{162n^7}$.

Відповідь

1. $4m^3\sqrt[3]{2m^2}$
2. $3|n|\sqrt[4]{2n^3}$

Приклад$\PageIndex{25}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{−27}$
2. $\sqrt[4]{−16}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{−27}$
Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальні кубові фактори.	$\sqrt[3]{(−3)^3}$
Візьміть кубик кореня.	−3
2.	$\sqrt[4]{−16}$
Там немає дійсного числа n де$n^4=−16$.	Чи не дійсне число.

Приклад$\PageIndex{26}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{−108}$
2. $\sqrt[4]{−48}$.

Відповідь

1. $−3\sqrt[3]{4}$
2. не реальний

Приклад$\PageIndex{27}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{−625}$
2. $\sqrt[4]{−324}$.

Відповідь

1. $−5\sqrt[3]{5}$
2. не реальний

Використовуйте властивість коефіцієнта для спрощення виразів з вищими коренями

Ми можемо спростити вищі коріння за допомогою коефіцієнтів так само, як ми спростили квадратні коріння. Спочатку спрощуємо будь-які дроби всередині радикала.

Приклад$\PageIndex{28}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{\frac{a^8}{a^5}}$
2. $\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^2}}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{\frac{a^8}{a^5}}$
Спростити дріб під радикалом першим.	$\sqrt[3]{a^3}$
Спростити.	a
2.	$\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^2}}$
Спростити дріб під радикалом першим.	$\sqrt[4]{a^8}$
Перепишіть радиканд, використовуючи ідеальні четверті коефіцієнти потужності.	$\sqrt[4]{(a^2)^4}$
Спростити.	$a^2$

Приклад$\PageIndex{29}$

Спростити:

1. $\sqrt[4]{\frac{x^7}{x^3}}$
2. $\sqrt[4]{\frac{y^{17}}{y^5}}$.

Відповідь

1. |x|
2. $y^3$

Приклад$\PageIndex{30}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{\frac{m^{13}}{m^7}}$
2. $\sqrt[5]{\frac{n^{12}}{n^2}}$.

Відповідь

1. $m^2$
2. $n^2$

Раніше ми використовували властивість «в зворотному напрямку» для спрощення квадратних коренів. Тепер узагальнимо формулу, щоб включити вищі коріння.

Визначення: ЧАСТКОВА ВЛАСТИВІСТЬ N КОРЕНІВ

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$і$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

коли$\sqrt[n]{a}$ and $\sqrt[n]{b}$ are real numbers, $b \ne 0$, and for any integer $n \ge 2$

Вправа$\PageIndex{31}$

Спростити:

1. $\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}$
2. $\frac{\sqrt[4]{96x^7}}{\sqrt[4]{3x^2}}$

Відповідь

1.	$\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}$
Жоден радиканд не є ідеальним кубом, тому використовуйте властивість Quotient, щоб написати як один радикал.	$\sqrt[3]{\frac{−108}{2}}$
Спростити дріб під радикалом.	$\sqrt[3]{−54}$
Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальні кубові фактори.	$\sqrt[3]{(−3)^3·2}$
Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.	$\sqrt[3]{(−3)^3}·\sqrt[3]{2}$
Спростити.	$−3\sqrt[3]{2}$
2.	$\frac{\sqrt[4]{96x^7}}{\sqrt[4]{3x^2}}$
Жоден радиканд не є ідеальною четвертою силою, тому використовуйте властивість частки писати як один радикал	$\sqrt[4]{\frac{96x^7}{3x^2}}$
Спростити дріб під радикалом.	$\sqrt[4]{32x^5}$
Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальні четверті коефіцієнти потужності.	$\sqrt[4]{2^{4}x^4·2x}$
Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.	$\sqrt[4]{(2x)^4}·\sqrt[4]{2x}$
Спростити.	$2|x|\sqrt[4]{2x}$

Приклад$\PageIndex{32}$

Спростити:

1. $\frac{\sqrt[3]{−532}}{\sqrt[3]{2}}$
2. $\frac{\sqrt[4]{486m^{11}}}{\sqrt[4]{3m^5}}$

Відповідь

1. не реальний
2. $3|m|\sqrt[4]{2m^2}$

Приклад$\PageIndex{33}$

Спростити:

1. $\frac{\sqrt[3]{−192}}{\sqrt[3]{3}}$
2. $\frac{\sqrt[4]{324n^7}}{\sqrt[4]{2n^3}}$.

Відповідь

1. −4
2. $3|n|\sqrt[4]{2}$

Якщо дріб всередині радикала не може бути спрощений, ми використовуємо першу форму властивості частки, щоб переписати вираз як частку двох радикалів.

Приклад$\PageIndex{34}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{\frac{24x^7}{y^3}}$
2. $\sqrt[4]{\frac{48x^{10}}{y^8}}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{\frac{24x^7}{y^3}}$
Дріб в радиканді спростити неможливо. Використовуйте властивість частки, щоб написати як два радикали.	$\frac{\sqrt[3]{24x^7}}{\sqrt[3]{y^3}}$
Перепишіть кожен радиканд як продукт, використовуючи ідеальні кубові фактори.	$\frac{\sqrt[3]{8x^6·3x}}{\sqrt[3]{y^3}}$
Перепишіть чисельник як добуток двох радикалів.	$\frac{\sqrt[3]{(2x^2)^3}·\sqrt[3]{3x}}{\sqrt[3]{y^3}}$
Спростити.	$\frac{2x^2\sqrt[3]{3x}}{y}$
2.	$\sqrt[4]{\frac{48x^{10}}{y^8}}$
Дріб в радиканді спростити неможливо. Використовуйте властивість частки, щоб написати як два радикали.	$\frac{\sqrt[4]{48x^{10}}}{\sqrt[4]{y^8}}$
Перепишіть кожен радиканд як продукт, використовуючи ідеальні кубові фактори.	$\frac{\sqrt[4]{16x^8·3x^2}}{\sqrt[4]{y^8}}$
Перепишіть чисельник як добуток двох радикалів.	$\frac{\sqrt[4]{(2x^2)^4}·\sqrt[4]{3x^2}}{\sqrt[4]{(y^2)^4}}$
Спростити.	$\frac{2x^2\sqrt[4]{3x^2}}{y^2}$

Приклад$\PageIndex{35}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{\frac{108c^{10}}{d^6}}$
2. $\sqrt[4]{\frac{80x^{10}}{y^5}}$.

Відповідь

1. $\frac{3c^3\sqrt[3]{4c}}{d^2}$
2. $\frac{x^2}{∣y∣}\sqrt[4]{\frac{80x^2}{y}}$

Приклад$\PageIndex{36}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{\frac{40r^3}{s}}$
2. $\sqrt[4]{\frac{162m^{14}}{n^{12}}}$

Відповідь

1. $r\sqrt[3]{\frac{40}{s}}$
2. $\frac{3m^3\sqrt[4]{2m^2}}{∣n^3∣}$

Додавання та віднімання вищих коренів

Ми можемо додавати та віднімати вищі коріння, як ми додали та віднімали квадратні коріння. Спочатку ми надаємо формальне визначення подібних радикалів.

Визначення: ЯК РАДИКАЛИ

Радикали з однаковим показником і однаковим радикалом називаються подібними радикалами.

Подібні радикали мають однаковий індекс і той же радиканд.

• $9\sqrt[4]{42x}$і$−2\sqrt[4]{42x}$ схожі на радикалів.
• $5\sqrt[3]{125x}$і не$6\sqrt[3]{125y}$ схожі на радикалів. Радиканди бувають різними.
• $2\sqrt[5]{1000q}$і не$−4\sqrt[4]{1000q}$ схожі на радикалів. Індекси різні.

Ми додаємо і віднімаємо як радикали так само, як ми додаємо і віднімаємо як терміни. Ми можемо додати$9\sqrt[4]{42x}+(−2\sqrt[4]{42x})$ і результат є$7\sqrt[4]{42x}$.

Приклад$\PageIndex{37}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{4x}+\sqrt[3]{4x}$
2. $4\sqrt[4]{8}−2\sqrt[4]{8}$

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{4x}+\sqrt[3]{4x}$
Радикали схожі, тому ми додаємо коефіцієнти	$2\sqrt[3]{4x}$
2.	$4\sqrt[4]{8}−2\sqrt[4]{8}$
Радикали схожі, тому ми віднімаємо коефіцієнти.	$2\sqrt[4]{8}$

Приклад$\PageIndex{38}$

Спростити:

1. $\sqrt[5]{3x}+\sqrt[5]{3x}$
2. $3\sqrt[3]{9}−\sqrt[3]{9}$

Відповідь

1. $2\sqrt[5]{3x}$
2. $2\sqrt[3]{9}$

Приклад$\PageIndex{39}$

Спростити:

1. $\sqrt[4]{10y}+\sqrt[4]{10y}$
2. $5\sqrt[6]{32}−3\sqrt[6]{32}$.

Відповідь

1. $2\sqrt[4]{10y}$
2. $2\sqrt[6]{32}$

Коли вираз, здається, не має подібних радикалів, ми спочатку спростимо кожен радикал. Іноді це призводить до виразу з подібними радикалами.

Приклад$\PageIndex{40}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{54}−\sqrt[3]{16}$
2. $\sqrt[4]{48}+\sqrt[4]{243}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{54}−\sqrt[3]{16}$
Перепишіть кожен радиканд, використовуючи ідеальні кубові фактори.	$\sqrt[3]{27}·\sqrt[3]{2}−\sqrt[3]{8}·\sqrt[3]{2}$
Перепишіть ідеальні кубики.	$\sqrt[3]{(3)^3}·\sqrt[3]{2}−\sqrt[3]{(2)^3}·\sqrt[3]{2}$
Спрощуйте радикали там, де це можливо.	$3\sqrt[3]{2}−2\sqrt[3]{2}$
Поєднуються як радикали.	$\sqrt[3]{2}$
2.	$\sqrt[4]{48}+\sqrt[4]{243}$
Перепишіть, використовуючи ідеальні четверті коефіцієнти потужності.	$\sqrt[4]{16}·\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{81}·\sqrt[4]{3}$
Перепишіть кожен радиканд як продукт, використовуючи ідеальні кубові фактори.	$\sqrt[4]{(2)^4}·\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{(3)^4}·\sqrt[4]{3}$
Перепишіть чисельник як добуток двох радикалів.	$2\sqrt[4]{3}+3\sqrt[4]{3}$
Спростити.	$5\sqrt[4]{3}$

Приклад$\PageIndex{41}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{192}−\sqrt[3]{81}$
2. $\sqrt[4]{32}+\sqrt[4]{512}$.

Відповідь

1. $\sqrt[3]{3}$
2. $6\sqrt[4]{2}$

Приклад$\PageIndex{42}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{108}−\sqrt[3]{250}$
2. $\sqrt[5]{64}+\sqrt[5]{486}$.

Відповідь

1. $−\sqrt[3]{2}$
2. $5\sqrt[5]{2}$

Приклад$\PageIndex{43}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{24x^4}−\sqrt[3]{−81x^7}$
2. $\sqrt[4]{162y^9}+\sqrt[4]{512y^5}$.

Відповідь

1.	$\sqrt[3]{24x^4}−\sqrt[3]{−81x^7}$
Перепишіть кожен радиканд, використовуючи ідеальні кубові фактори.	$\sqrt[3]{8x^3}·\sqrt[3]{3x}−\sqrt[3]{−27x^6}·\sqrt[3]{3x}$
Перепишіть ідеальні кубики.	$\sqrt[3]{(2x)^3}·\sqrt[3]{3x}−\sqrt[3]{(−3x^2)^3}·\sqrt[3]{3x}$
Спрощуйте радикали там, де це можливо.	$2x\sqrt[3]{3x}−(−3x^2\sqrt[3]{3x})$
2.	$\sqrt[4]{162y^9}+\sqrt[4]{516y^5}$
Перепишіть, використовуючи ідеальні четверті коефіцієнти потужності.	$\sqrt[4]{81y^8}·\sqrt[4]{2y}+\sqrt[4]{256y^4}·\sqrt[4]{2y}$
Перепишіть кожен радиканд як продукт, використовуючи ідеальні кубові фактори.	$\sqrt[4]{(3y^2)^4}·\sqrt[4]{2y}+\sqrt[4]{(4y)^4}·\sqrt[4]{2y}$
Перепишіть чисельник як добуток двох радикалів.	$3y^2\sqrt[4]{2y}+4|y|\sqrt[4]{2y}$

Приклад$\PageIndex{44}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{32y^5}−\sqrt[3]{−108y^8}$
2. $\sqrt[4]{243r^{11}}+\sqrt[4]{768r^{10}}$.

Відповідь

1. $2y\sqrt[3]{4y^2}+3y^2\sqrt[3]{4y^2}$
2. $3r^2\sqrt[4]{3r^3}+4r^2\sqrt[4]{3r^2}$

Приклад$\PageIndex{45}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{40z^7}−\sqrt[3]{−135z^4}$
2. $\sqrt[4]{80s^{13}}+\sqrt[4]{1280s^6}$.

Відповідь

1. $2z^2\sqrt[3]{5z}+3z^5\sqrt[3]{5z}$
2. $2∣s^3∣\sqrt[4]{5s}+4|s|\sqrt[4]{5s}$

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики зі спрощенням вищих коренів.

• Спрощення вищих коренів
• Додавання/віднімання коренів з вищими індексами

Ключові концепції

• властивості
• $\sqrt[n]{a}$коли n - парне число і
  • $a \ge 0$, то$\sqrt[n]{a}$ є дійсним числом
  • $a < 0$, то не$\sqrt[n]{a}$ є дійсним числом
  • Коли n - непарне число,$\sqrt[n]{a}$ є дійсним числом для всіх значень a.
  • Для будь-якого цілого числа$n \ge 2$, коли n непарне$\sqrt[n]{a^n}=a$
  • Для будь-якого цілого числа$n \ge 2$, коли n парне$\sqrt[n]{a^n}=|a|$
• $\sqrt[n]{a}$вважається спрощеним, якщо не має факторів$m^n$.
• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}$і$\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
• $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$і$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
• Щоб об'єднати як радикали, просто додайте або відніміть коефіцієнти, зберігаючи радикал однаковим.

Глосарій

У корені числа

Якщо$b^n=a$, то b - і в корені a.

принципова в корені

Написано принципал в корені a$\sqrt[n]{a}$.

індекс

$\sqrt[n]{a}$n називається індексом радикала.

як радикали

Радикали з однаковим показником і однаковим радикалом називаються подібними радикалами.