9.2: Спрощення квадратних коренів

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Використовуйте властивість Product для спрощення квадратних коренів
• Використовуйте властивість Quotient для спрощення квадратних коренів

БУДЬТЕ ГОТОВІ

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину готовності.

1. Спростити:$\frac{80}{176}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
2. Спростити:$\frac{n^9}{n^3}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
3. Спростити:$\frac{q^4}{q^{12}}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].

В останньому розділі ми оцінили квадратний корінь числа між двома послідовними цілими числами. Можна сказати, що$\sqrt{50}$ це між 7 і 8. Це досить легко зробити, коли цифри досить малі, щоб ми могли використовувати [посилання].

Але що робити, якщо ми хочемо оцінити$\sqrt{500}$? Якщо ми спочатку спростимо квадратний корінь, ми зможемо легко його оцінити. Є й інші причини, щоб спростити квадратні корені, як ви побачите пізніше в цьому розділі.

Квадратний корінь вважається спрощеним, якщо його радикаі не містить досконалих квадратних факторів.

Визначення: СПРОЩЕНИЙ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ

$\sqrt{a}$вважається спрощеним, якщо a не має ідеальних квадратних факторів.

Так$\sqrt{31}$ спрощено. Але$\sqrt{32}$ не спрощується, тому що 16 - ідеальний квадратний коефіцієнт 32.

Використовуйте властивість продукту для спрощення квадратних коренів

Властивості, які ми будемо використовувати для спрощення виразів з квадратними коренями, аналогічні властивостям експонент. Ми це знаємо$(ab)^m=a^{m}b^{m}$. Відповідна властивість квадратних коренів говорить про це$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$.

Визначення: ВЛАСТИВІСТЬ ПРОДУКТУ КВАДРАТНИХ КОРЕНІВ

Якщо a, b - невід'ємні дійсні числа, то$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$.

Ми використовуємо Product Property of Square Roots, щоб видалити всі ідеальні квадратні фактори з радикала. Ми покажемо, як це зробити в прикладі.

Як використовувати властивість продукту для спрощення квадратного кореня

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити:$\sqrt{50}$.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:$\sqrt{48}$.

Відповідь

$4\sqrt{3}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:$\sqrt{45}$.

Відповідь

$3\sqrt{5}$

Зверніть увагу в попередньому прикладі, що спрощена форма$\sqrt{50}$ is $5\sqrt{2}$, which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.

Визначення: СПРОСТІТЬ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ ВЛАСТИВОСТІ ПРОДУКТУ.

1. Знайдіть найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт радиканда. Перепишіть радиканд як добуток, використовуючи коефіцієнт perfect-square.
2. Використовуйте правило продукту, щоб переписати радикал як добуток двох радикалів.
3. Спростіть квадратний корінь ідеального квадрата.

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити:$\sqrt{500}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{500}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{100·5}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{100}·\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify}}&{10\sqrt{5}}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростити:$\sqrt{288}$.

Відповідь

$12\sqrt{2}$

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:$\sqrt{432}$.

Відповідь

$12\sqrt{3}$

Ми могли б використовувати спрощену форму$10\sqrt{5}$ для оцінки$\sqrt{500}$. Ми знаємо$\sqrt{5}$, що це між 2 і 3, і$\sqrt{500}$ є$10\sqrt{5}$. Так$\sqrt{500}$ знаходиться між 20 і 30.

Наступний приклад багато в чому схожий на попередні приклади, але зі змінними.

Приклад$\PageIndex{7}$

Спростити:$\sqrt{x^3}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{x^3}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{x^2·x}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{x^2}·\sqrt{x}}\\ {\text{Simplify}}&{x\sqrt{x}}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{8}$

Спростити:$\sqrt{b^5}$.

Відповідь

$b^2\sqrt{b}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростити:$\sqrt{p^9}$.

Відповідь

$p^4\sqrt{p}$

Виконуємо ту ж процедуру, коли в радикалі теж є коефіцієнт.

Приклад$\PageIndex{10}$

Спростити:$\sqrt{25y^5}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{25y^5}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{25y^4·y}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{25y^4}·\sqrt{y}}\\ {\text{Simplify.}}&{5y^2\sqrt{y}}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{11}$

Спростити:$\sqrt{16x^7}$.

Відповідь

$4x^3\sqrt{x}$

Приклад$\PageIndex{12}$

Спростити:$\sqrt{49v^9}$.

Відповідь

$7v^4\sqrt{v}$

У наступному прикладі як константа, так і змінна мають ідеальні квадратні множники.

Приклад$\PageIndex{13}$

Спростити:$\sqrt{72n^7}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{72n^7}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{36n^{6}·2n}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{36n^{6}}·\sqrt{2n}}\\ {\text{Simplify.}}&{6n^3\sqrt{2n}}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{14}$

Спростити:$\sqrt{32y^5}$.

Відповідь

$4y^2\sqrt{2y}$

Приклад$\PageIndex{15}$

Спростити:$\sqrt{75a^9}$.

Відповідь

$5a^4\sqrt{3a}$

Приклад$\PageIndex{16}$

Спростити:$\sqrt{63u^{3}v^{5}}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{63u^{3}v^{5}}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}·7uv}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}}·\sqrt{7uv}}\\ {\text{Simplify.}}&{3uv^{2}\sqrt{7uv}}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{17}$

Спростити:$\sqrt{98a^{7}b^{5}}$.

Відповідь

$7a^{3}b^{2}\sqrt{2ab}$

Приклад$\PageIndex{18}$

Спростити:$\sqrt{180m^{9}n^{11}}$.

Відповідь

$6m^{4}n^{5}\sqrt{5mn}$

Ми бачили, як використовувати Порядок операцій для спрощення деяких виразів з радикалами. Щоб спростити$\sqrt{25}+\sqrt{144}$ we must simplify each square root separately first, then add to get the sum of 17.

Вираз$\sqrt{17}+\sqrt{7}$ не можна спростити - для початку нам потрібно спростити кожен квадратний корінь, але ні 17, ні 7 не містять ідеального квадратного коефіцієнта.

У наступному прикладі ми маємо суму цілого і квадратного кореня. Ми спрощуємо квадратний корінь, але не можемо додати отриманий вираз до цілого числа.

Приклад$\PageIndex{19}$

Спростити:$3+\sqrt{32}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{3+\sqrt{32}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{3+\sqrt{16·2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{3+\sqrt{16}·\sqrt{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{3+4\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

Терміни не схожі, і тому ми не можемо їх додати. Спроба додати ціле число і радикал - це як намагатися додати ціле число і змінну - вони не схожі на терміни!

Приклад$\PageIndex{20}$

Спростити:$5+\sqrt{75}$.

Відповідь

$5+5\sqrt{3}$

Приклад$\PageIndex{21}$

Спростити:$2+\sqrt{98}$.

Відповідь

$2+7\sqrt{2}$

Наступний приклад включає дріб з радикалом в чисельнику. Пам'ятайте, що для спрощення дробу потрібен загальний коефіцієнт в чисельнику і знаменнику.

Приклад$\PageIndex{22}$

Спростити:$\frac{4−\sqrt{48}}{2}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\frac{4−\sqrt{48}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using thelargest perfect square factor.}}&{\frac{4−\sqrt{16·3}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\frac{4−\sqrt{16}·\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{4−4\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Factor the common factor from thenumerator.}}&{\frac{4(1−\sqrt{3})}{2}}\\ {\text{Remove the common factor, 2, from thenumerator and denominator.}}&{2(1−\sqrt{3})}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{23}$

Спростити:$\frac{10−\sqrt{75}}{5}$.

Відповідь

$2−\sqrt{3}$

Приклад$\PageIndex{24}$

Спростити:$\frac{6−\sqrt{45}}{3}$.

Відповідь

$2−\sqrt{5}$

Використовуйте властивість коефіцієнта для спрощення квадратних коренів

Щоразу, коли вам доведеться спростити квадратний корінь, перший крок, який ви повинні зробити, - це визначити, чи є радиканд ідеальним квадратом. Ідеальний квадратний дріб - це дріб, в якому і чисельник, і знаменник є ідеальними квадратами.

Приклад$\PageIndex{25}$

Спростити:$\sqrt{\frac{9}{64}}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{9}{64}}}\\ {\text{Since} (\frac{3}{8})^2}&{\frac{3}{8}}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{26}$

Спростити:$\sqrt{\frac{25}{16}}$.

Відповідь

$\frac{5}{4}$

Приклад$\PageIndex{27}$

Спростити:$\sqrt{\frac{49}{81}}$.

Відповідь

$\frac{7}{9}$

Якщо чисельник і знаменник мають якісь спільні множники, видаліть їх. Ви можете знайти ідеальну квадратну фракцію!

Приклад$\PageIndex{28}$

Спростити:$\sqrt{\frac{45}{80}}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45}{80}}}\\ {\text{Simplify inside the radical first. Rewrite showing the common factors of the numerator and denominator.}}&{\sqrt{\frac{5·9}{5·16}}}\\ {\text{Simplify the fraction by removing common factors.}}&{\sqrt{\frac{9}{16}}}\\ {\text{Simplify.} (\frac{3}{4})^2 =\frac{9}{16}}&{\frac{3}{4}}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{29}$

Спростити:$\sqrt{\frac{75}{48}}$.

Відповідь

$\frac{5}{4}$

Приклад$\PageIndex{30}$

Спростити:$\sqrt{\frac{98}{162}}$.

Відповідь

$\frac{7}{9}$

В останньому прикладі нашим першим кроком було спрощення фракції під радикалом шляхом усунення загальних факторів. У наступному прикладі ми будемо використовувати властивість Quotient для спрощення під радикалом. Ми ділимо подібні бази, віднімаючи їх показники,$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$,$a \ne 0$.

Приклад$\PageIndex{31}$

Спростити:$\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first}}&{}\\ {}&{\sqrt{m^2}}\\ {\text{Divide the like bases by subtracting the exponents.}}&{}\\ {\text{Simplify.}}&{m}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{32}$

Спростити:$\sqrt{\frac{a^8}{a^6}}$.

Відповідь

a

Приклад$\PageIndex{33}$

Спростити:$\sqrt{\frac{x^{14}}{x^{10}}}$.

Відповідь

$x^2$

Приклад$\PageIndex{34}$

Спростити:$\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first.}}&{\sqrt{16p^4}}\\ {\text{Simplify.}}&{4p^2}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{35}$

Спростити:$\sqrt{\frac{75x^5}{3x}}$.

Відповідь

$5x^2$

Приклад$\PageIndex{36}$

Спростити:$\sqrt{\frac{72z^{12}}{2z^{10}}}$.

Відповідь

6z

Пам'ятайте частку до власності влади? Він сказав, що ми можемо підняти дріб до степені, піднявши чисельник і знаменник до степені окремо.

$(\frac{a}{b})^m=\frac{a^{m}}{b^{m}}$,$b \ne 0$

Ми можемо використовувати подібну властивість, щоб спростити квадратний корінь дробу. Після видалення всіх загальних множників з чисельника і знаменника, якщо дріб не є досконалим квадратом, ми спрощуємо чисельник і знаменник окремо.

Визначення: ЧАСТКОВА ВЛАСТИВІСТЬ КВАДРАТНИХ КОРЕНІВ

Якщо a, b є невід'ємними дійсними числами і$b \ne 0$, то

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Приклад$\PageIndex{37}$

Спростити:$\sqrt{\frac{21}{64}}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{21}{64}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{64}}}\\ {\text{Simplify the square root of 64. The numerator cannot be simplified.}}&{\frac{\sqrt{21}}{8}}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{38}$

Спростити:$\sqrt{\frac{19}{49}}$.

Відповідь

$\frac{\sqrt{19}}{7}$

Приклад$\PageIndex{39}$

Спростити:$\sqrt{\frac{28}{81}}$

Відповідь

$\frac{2\sqrt{7}}{9}$

Як використовувати властивість частки для спрощення квадратного кореня

Приклад$\PageIndex{40}$

Спростити:$\sqrt{\frac{27m^3}{196}}$.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{41}$

Спростити:$\sqrt{\frac{24p^3}{49}}$

Відповідь

$\frac{2p\sqrt{6p}}{7}$

Приклад$\PageIndex{42}$

Спростити:$\sqrt{\frac{48x^5}{100}}$

Відповідь

$\frac{2x^2\sqrt{3x}}{5}$

Визначення: СПРОСТІТЬ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ ВЛАСТИВОСТІ ЧАСТКИ.

1. Спростіть дріб в радиканді, якщо це можливо.
2. Використовуйте властивість частки, щоб переписати радикал як частку двох радикалів.
3. Спростити радикали в чисельнику і знаменнику.

Приклад$\PageIndex{43}$

Спростити:$\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{45x^5}}{\sqrt{y^4}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9x^4}\sqrt{5x}}{y^2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3x^2\sqrt{5x}}{y^2}}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{44}$

Спростити:$\sqrt{\frac{80m^3}{n^6}}$

Відповідь

$\frac{4m\sqrt{5m}}{n^3}$

Приклад$\PageIndex{45}$

Спростити:$\sqrt{\frac{54u^7}{v^8}}$.

Відповідь

$\frac{3u^3\sqrt{6u}}{v^4}$

Обов'язково спростіть дріб в радикуі спочатку, якщо це можливо.

Приклад$\PageIndex{46}$

Спростити:$\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{81d^5}{25}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{81d^5}}{\sqrt{25}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{81d^4}\sqrt{d}}{5}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{9d^2\sqrt{d}}{5}}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{47}$

Спростити:$\sqrt{\frac{64x^7}{9x^3}}$.

Відповідь

$\frac{8x^2}{3}$

Приклад$\PageIndex{48}$

Спростити:$\sqrt{\frac{16a^9}{100a^5}}$.

Відповідь

$\frac{2a^2}{5}$

Приклад$\PageIndex{49}$

Спростити:$\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}$.

Відповідь

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{9p^4q^5}{16}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^5}}{\sqrt{16}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^4}\sqrt{q}}{4}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3p^2q^2\sqrt{q}}{4}}\\ \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{50}$

Спростити:$\sqrt{\frac{50x^5y^3}{72x^4y}}$.

Відповідь

$\frac{5y\sqrt{x}}{6}$

Приклад$\PageIndex{51}$

Спростити:$\sqrt{\frac{48m^7n^2}{125m^5n^9}}$.

Відповідь

$\frac{4m\sqrt{3}}{5n^3\sqrt{5n}}$

Ключові поняття

• Спрощений квадратний корінь$\sqrt{a}$ вважається спрощеним, якщо a не має досконалих квадратних факторів.
• Властивість добутку квадратних коренів Якщо a, b є невід'ємними дійсними числами, то

  $\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$

• Спрощення квадратного кореня за допомогою властивості продукту Щоб спростити квадратний корінь за допомогою Product Product Property:
  1. Знайдіть найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт радиканда. Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальний квадратний коефіцієнт.
  2. Використовуйте правило продукту, щоб переписати радикал як добуток двох радикалів.
  3. Спростіть квадратний корінь ідеального квадрата.
• Частна властивість квадратних коренів Якщо a, b є невід'ємними дійсними числами$b \ne 0$, а потім

  $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

• Спростити квадратний корінь за допомогою властивості частки Щоб спростити квадратний корінь за допомогою властивості коефіцієнта:
  1. Спростіть дріб в радиканді, якщо це можливо.
  2. Використовуйте правило частки, щоб переписати радикал як частку двох радикалів.
  3. Спростити радикали в чисельнику і знаменнику.