9.2: Спрощення квадратних коренів
- Page ID
- 58694
До кінця цього розділу ви зможете:
- Використовуйте властивість Product для спрощення квадратних коренів
- Використовуйте властивість Quotient для спрощення квадратних коренів
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину готовності.
- Спростити:\(\frac{80}{176}\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання]. - Спростити:\(\frac{n^9}{n^3}\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання]. - Спростити:\(\frac{q^4}{q^{12}}\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
В останньому розділі ми оцінили квадратний корінь числа між двома послідовними цілими числами. Можна сказати, що\(\sqrt{50}\) це між 7 і 8. Це досить легко зробити, коли цифри досить малі, щоб ми могли використовувати [посилання].
Але що робити, якщо ми хочемо оцінити\(\sqrt{500}\)? Якщо ми спочатку спростимо квадратний корінь, ми зможемо легко його оцінити. Є й інші причини, щоб спростити квадратні корені, як ви побачите пізніше в цьому розділі.
Квадратний корінь вважається спрощеним, якщо його радикаі не містить досконалих квадратних факторів.
\(\sqrt{a}\)вважається спрощеним, якщо a не має ідеальних квадратних факторів.
Так\(\sqrt{31}\) спрощено. Але\(\sqrt{32}\) не спрощується, тому що 16 - ідеальний квадратний коефіцієнт 32.
Використовуйте властивість продукту для спрощення квадратних коренів
Властивості, які ми будемо використовувати для спрощення виразів з квадратними коренями, аналогічні властивостям експонент. Ми це знаємо\((ab)^m=a^{m}b^{m}\). Відповідна властивість квадратних коренів говорить про це\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\).
Якщо a, b - невід'ємні дійсні числа, то\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\).
Ми використовуємо Product Property of Square Roots, щоб видалити всі ідеальні квадратні фактори з радикала. Ми покажемо, як це зробити в прикладі.
Як використовувати властивість продукту для спрощення квадратного кореня
Спростити:\(\sqrt{50}\).
- Відповідь
-
Спростити:\(\sqrt{48}\).
- Відповідь
-
\(4\sqrt{3}\)
Спростити:\(\sqrt{45}\).
- Відповідь
-
\(3\sqrt{5}\)
Зверніть увагу в попередньому прикладі, що спрощена форма\(\sqrt{50}\) is \(5\sqrt{2}\), which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.
- Знайдіть найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт радиканда. Перепишіть радиканд як добуток, використовуючи коефіцієнт perfect-square.
- Використовуйте правило продукту, щоб переписати радикал як добуток двох радикалів.
- Спростіть квадратний корінь ідеального квадрата.
Спростити:\(\sqrt{500}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{500}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{100·5}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{100}·\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify}}&{10\sqrt{5}}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{288}\).
- Відповідь
-
\(12\sqrt{2}\)
Спростити:\(\sqrt{432}\).
- Відповідь
-
\(12\sqrt{3}\)
Ми могли б використовувати спрощену форму\(10\sqrt{5}\) для оцінки\(\sqrt{500}\). Ми знаємо\(\sqrt{5}\), що це між 2 і 3, і\(\sqrt{500}\) є\(10\sqrt{5}\). Так\(\sqrt{500}\) знаходиться між 20 і 30.
Наступний приклад багато в чому схожий на попередні приклади, але зі змінними.
Спростити:\(\sqrt{x^3}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{x^3}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{x^2·x}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{x^2}·\sqrt{x}}\\ {\text{Simplify}}&{x\sqrt{x}}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{b^5}\).
- Відповідь
-
\(b^2\sqrt{b}\)
Спростити:\(\sqrt{p^9}\).
- Відповідь
-
\(p^4\sqrt{p}\)
Виконуємо ту ж процедуру, коли в радикалі теж є коефіцієнт.
Спростити:\(\sqrt{25y^5}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{25y^5}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{25y^4·y}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{25y^4}·\sqrt{y}}\\ {\text{Simplify.}}&{5y^2\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{16x^7}\).
- Відповідь
-
\(4x^3\sqrt{x}\)
Спростити:\(\sqrt{49v^9}\).
- Відповідь
-
\(7v^4\sqrt{v}\)
У наступному прикладі як константа, так і змінна мають ідеальні квадратні множники.
Спростити:\(\sqrt{72n^7}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{72n^7}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{36n^{6}·2n}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{36n^{6}}·\sqrt{2n}}\\ {\text{Simplify.}}&{6n^3\sqrt{2n}}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{32y^5}\).
- Відповідь
-
\(4y^2\sqrt{2y}\)
Спростити:\(\sqrt{75a^9}\).
- Відповідь
-
\(5a^4\sqrt{3a}\)
Спростити:\(\sqrt{63u^{3}v^{5}}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{63u^{3}v^{5}}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}·7uv}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}}·\sqrt{7uv}}\\ {\text{Simplify.}}&{3uv^{2}\sqrt{7uv}}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{98a^{7}b^{5}}\).
- Відповідь
-
\(7a^{3}b^{2}\sqrt{2ab}\)
Спростити:\(\sqrt{180m^{9}n^{11}}\).
- Відповідь
-
\(6m^{4}n^{5}\sqrt{5mn}\)
Ми бачили, як використовувати Порядок операцій для спрощення деяких виразів з радикалами. Щоб спростити\(\sqrt{25}+\sqrt{144}\) we must simplify each square root separately first, then add to get the sum of 17.
Вираз\(\sqrt{17}+\sqrt{7}\) не можна спростити - для початку нам потрібно спростити кожен квадратний корінь, але ні 17, ні 7 не містять ідеального квадратного коефіцієнта.
У наступному прикладі ми маємо суму цілого і квадратного кореня. Ми спрощуємо квадратний корінь, але не можемо додати отриманий вираз до цілого числа.
Спростити:\(3+\sqrt{32}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{3+\sqrt{32}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{3+\sqrt{16·2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{3+\sqrt{16}·\sqrt{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{3+4\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Терміни не схожі, і тому ми не можемо їх додати. Спроба додати ціле число і радикал - це як намагатися додати ціле число і змінну - вони не схожі на терміни!
Спростити:\(5+\sqrt{75}\).
- Відповідь
-
\(5+5\sqrt{3}\)
Спростити:\(2+\sqrt{98}\).
- Відповідь
-
\(2+7\sqrt{2}\)
Наступний приклад включає дріб з радикалом в чисельнику. Пам'ятайте, що для спрощення дробу потрібен загальний коефіцієнт в чисельнику і знаменнику.
Спростити:\(\frac{4−\sqrt{48}}{2}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{4−\sqrt{48}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using thelargest perfect square factor.}}&{\frac{4−\sqrt{16·3}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\frac{4−\sqrt{16}·\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{4−4\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Factor the common factor from thenumerator.}}&{\frac{4(1−\sqrt{3})}{2}}\\ {\text{Remove the common factor, 2, from thenumerator and denominator.}}&{2(1−\sqrt{3})}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\frac{10−\sqrt{75}}{5}\).
- Відповідь
-
\(2−\sqrt{3}\)
Спростити:\(\frac{6−\sqrt{45}}{3}\).
- Відповідь
-
\(2−\sqrt{5}\)
Використовуйте властивість коефіцієнта для спрощення квадратних коренів
Щоразу, коли вам доведеться спростити квадратний корінь, перший крок, який ви повинні зробити, - це визначити, чи є радиканд ідеальним квадратом. Ідеальний квадратний дріб - це дріб, в якому і чисельник, і знаменник є ідеальними квадратами.
Спростити:\(\sqrt{\frac{9}{64}}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{9}{64}}}\\ {\text{Since} (\frac{3}{8})^2}&{\frac{3}{8}}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{\frac{25}{16}}\).
- Відповідь
-
\(\frac{5}{4}\)
Спростити:\(\sqrt{\frac{49}{81}}\).
- Відповідь
-
\(\frac{7}{9}\)
Якщо чисельник і знаменник мають якісь спільні множники, видаліть їх. Ви можете знайти ідеальну квадратну фракцію!
Спростити:\(\sqrt{\frac{45}{80}}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45}{80}}}\\ {\text{Simplify inside the radical first. Rewrite showing the common factors of the numerator and denominator.}}&{\sqrt{\frac{5·9}{5·16}}}\\ {\text{Simplify the fraction by removing common factors.}}&{\sqrt{\frac{9}{16}}}\\ {\text{Simplify.} (\frac{3}{4})^2 =\frac{9}{16}}&{\frac{3}{4}}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{\frac{75}{48}}\).
- Відповідь
-
\(\frac{5}{4}\)
Спростити:\(\sqrt{\frac{98}{162}}\).
- Відповідь
-
\(\frac{7}{9}\)
В останньому прикладі нашим першим кроком було спрощення фракції під радикалом шляхом усунення загальних факторів. У наступному прикладі ми будемо використовувати властивість Quotient для спрощення під радикалом. Ми ділимо подібні бази, віднімаючи їх показники,\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\),\(a \ne 0\).
Спростити:\(\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first}}&{}\\ {}&{\sqrt{m^2}}\\ {\text{Divide the like bases by subtracting the exponents.}}&{}\\ {\text{Simplify.}}&{m}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{\frac{a^8}{a^6}}\).
- Відповідь
-
a
Спростити:\(\sqrt{\frac{x^{14}}{x^{10}}}\).
- Відповідь
-
\(x^2\)
Спростити:\(\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first.}}&{\sqrt{16p^4}}\\ {\text{Simplify.}}&{4p^2}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{\frac{75x^5}{3x}}\).
- Відповідь
-
\(5x^2\)
Спростити:\(\sqrt{\frac{72z^{12}}{2z^{10}}}\).
- Відповідь
-
6z
Пам'ятайте частку до власності влади? Він сказав, що ми можемо підняти дріб до степені, піднявши чисельник і знаменник до степені окремо.
\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^{m}}{b^{m}}\),\( b \ne 0\)
Ми можемо використовувати подібну властивість, щоб спростити квадратний корінь дробу. Після видалення всіх загальних множників з чисельника і знаменника, якщо дріб не є досконалим квадратом, ми спрощуємо чисельник і знаменник окремо.
Якщо a, b є невід'ємними дійсними числами і\(b \ne 0\), то
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
Спростити:\(\sqrt{\frac{21}{64}}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{21}{64}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{64}}}\\ {\text{Simplify the square root of 64. The numerator cannot be simplified.}}&{\frac{\sqrt{21}}{8}}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{\frac{19}{49}}\).
- Відповідь
-
\(\frac{\sqrt{19}}{7}\)
Спростити:\(\sqrt{\frac{28}{81}}\)
- Відповідь
-
\(\frac{2\sqrt{7}}{9}\)
Як використовувати властивість частки для спрощення квадратного кореня
Спростити:\(\sqrt{\frac{27m^3}{196}}\).
- Відповідь
-
Спростити:\(\sqrt{\frac{24p^3}{49}}\)
- Відповідь
-
\(\frac{2p\sqrt{6p}}{7}\)
Спростити:\(\sqrt{\frac{48x^5}{100}}\)
- Відповідь
-
\(\frac{2x^2\sqrt{3x}}{5}\)
- Спростіть дріб в радиканді, якщо це можливо.
- Використовуйте властивість частки, щоб переписати радикал як частку двох радикалів.
- Спростити радикали в чисельнику і знаменнику.
Спростити:\(\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{45x^5}}{\sqrt{y^4}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9x^4}\sqrt{5x}}{y^2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3x^2\sqrt{5x}}{y^2}}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{\frac{80m^3}{n^6}}\)
- Відповідь
-
\(\frac{4m\sqrt{5m}}{n^3}\)
Спростити:\(\sqrt{\frac{54u^7}{v^8}}\).
- Відповідь
-
\(\frac{3u^3\sqrt{6u}}{v^4}\)
Обов'язково спростіть дріб в радикуі спочатку, якщо це можливо.
Спростити:\(\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{81d^5}{25}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{81d^5}}{\sqrt{25}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{81d^4}\sqrt{d}}{5}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{9d^2\sqrt{d}}{5}}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{\frac{64x^7}{9x^3}}\).
- Відповідь
-
\(\frac{8x^2}{3}\)
Спростити:\(\sqrt{\frac{16a^9}{100a^5}}\).
- Відповідь
-
\(\frac{2a^2}{5}\)
Спростити:\(\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}\).
- Відповідь
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{9p^4q^5}{16}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^5}}{\sqrt{16}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^4}\sqrt{q}}{4}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3p^2q^2\sqrt{q}}{4}}\\ \end{array}\]
Спростити:\(\sqrt{\frac{50x^5y^3}{72x^4y}}\).
- Відповідь
-
\(\frac{5y\sqrt{x}}{6}\)
Спростити:\(\sqrt{\frac{48m^7n^2}{125m^5n^9}}\).
- Відповідь
-
\(\frac{4m\sqrt{3}}{5n^3\sqrt{5n}}\)
Ключові поняття
- Спрощений квадратний корінь\(\sqrt{a}\) вважається спрощеним, якщо a не має досконалих квадратних факторів.
- Властивість добутку квадратних коренів Якщо a, b є невід'ємними дійсними числами, то
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\)
- Спрощення квадратного кореня за допомогою властивості продукту Щоб спростити квадратний корінь за допомогою Product Product Property:
- Знайдіть найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт радиканда. Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальний квадратний коефіцієнт.
- Використовуйте правило продукту, щоб переписати радикал як добуток двох радикалів.
- Спростіть квадратний корінь ідеального квадрата.
- Частна властивість квадратних коренів Якщо a, b є невід'ємними дійсними числами\(b \ne 0\), а потім
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
- Спростити квадратний корінь за допомогою властивості частки Щоб спростити квадратний корінь за допомогою властивості коефіцієнта:
- Спростіть дріб в радиканді, якщо це можливо.
- Використовуйте правило частки, щоб переписати радикал як частку двох радикалів.
- Спростити радикали в чисельнику і знаменнику.