9.5: Розділіть квадратні корені

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Розділіть квадратні коріння
• Раціоналізувати одночленний знаменник
• Раціоналізувати двочленний знаменник

Примітка

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Знайдіть дріб,$\frac{5}{8}$ еквівалентний знаменнику 48.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.6.1.
2. Спростити:$(\sqrt{5})^2$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 9.4.13.
3. Помножте: (7+3x) (7−3x).
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 6.4.22.

Розділіть квадратні коріння

Ми знаємо, що ми спрощуємо дроби, видаляючи множники, спільні для чисельника та знаменника. Коли у нас в чисельнику є дріб з квадратним коренем, ми спочатку спрощуємо квадратний корінь. Тоді ми можемо шукати загальні фактори.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити:$\frac{\sqrt{54}}{6}$

Відповідь

	$\frac{\sqrt{54}}{6}$
Спростити радикал.	$\frac{\sqrt{9}·\sqrt{6}}{6}$
Спростити.	$\frac{3\sqrt{6}}{6}$
Прибрати загальні фактори.	$\frac{3\sqrt{6}}{3·2}$
Спростити.	$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:$\frac{\sqrt{32}}{8}$.

Відповідь

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:$\frac{\sqrt{75}}{15}$.

Відповідь

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити:$\frac{6−\sqrt{24}}{12}$.

Відповідь

	$\frac{6−\sqrt{24}}{12}$
Спростити радикал.	$\frac{6−\sqrt{4}·\sqrt{6}}{12}$
Спростити.	$\frac{6−2\sqrt{6}}{12}$
Фактор загального множника з чисельника.	$\frac{2(3−\sqrt{6})}{12}$
Прибрати загальні фактори.	$\frac{2(3−\sqrt{6})}{2·6}$
Спростити.	$\frac{3−\sqrt{6}}{6}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростити:$\frac{8−\sqrt{40}}{10}$.

Відповідь

$\frac{4−\sqrt{10}}{5}$

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:$\frac{10−\sqrt{75}}{20}$.

Відповідь

$\frac{5−\sqrt{3}}{4}$

Ми використали частку властивості квадратних коренів для спрощення квадратних коренів дробів. Коефіцієнтна властивість квадратних коренів говорить

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$,$b \ne 0$.

Іноді нам потрібно буде використовувати частку властивість квадратних коренів «навпаки», щоб спростити дріб з квадратними коренями.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$,$b \ne 0$.

Ми перепишемо часткове властивість квадратних коренів, щоб ми побачили обидва способи разом. Пам'ятайте: ми припускаємо, що всі змінні більше або рівні нулю, так що їх квадратні корені є дійсними числами.

Визначення: ЧАСТКОВА ВЛАСТИВІСТЬ КВАДРАТНИХ КОРЕНІВ

Якщо a, b є невід'ємними дійсними числами і$b \ne 0$, то

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$і$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

Ми будемо використовувати частку властивість квадратних коренів «навпаки», коли дріб, з якого ми починаємо, є часткою двох квадратних коренів, і жоден радиканд не є ідеальним квадратом. Коли ми записуємо дріб в одному квадратному корені, ми можемо знайти спільні множники в чисельнику та знаменнику.

Приклад$\PageIndex{7}$

Спростити:$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}$

Відповідь

	$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}$
Жоден радиканд не є ідеальним квадратом, тому перепишіть, використовуючи часткову властивість квадратного кореня.	$\sqrt{\frac{27}{75}}$
Видаліть загальні множники в чисельнику і знаменнику.	$\sqrt{\frac{9}{25}}$
Спростити.	$\frac{3}{5}$

Приклад$\PageIndex{8}$

Спростити:$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{108}}$

Відповідь

$\frac{2}{3}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростити:$\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{54}}$

Відповідь

$\frac{4}{3}$

Ми будемо використовувати Quotient властивість для експонентів$\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$, коли у нас є змінні з показниками в радикандах.

Приклад$\PageIndex{10}$

Спростити:$\frac{\sqrt{6y^5}}{\sqrt{2y}}$

Відповідь

	$\frac{\sqrt{6y^5}}{\sqrt{2y}}$
Жоден радиканд не є ідеальним квадратом, тому перепишіть, використовуючи часткову властивість квадратного кореня.	$\sqrt{\frac{6y^5}{2y}}$
Видаліть загальні множники в чисельнику і знаменнику.	$\sqrt{3y^4}$
Спростити.	$y^2\sqrt{3}$

Приклад$\PageIndex{11}$

Спростити:$\frac{\sqrt{12r^3}}{\sqrt{6r}}$.

Відповідь

$r\sqrt{2}$

Приклад$\PageIndex{12}$

Спростити:$\frac{\sqrt{14p^9}}{\sqrt{2p^5}}$

Відповідь

$p^2\sqrt{7}$

Приклад$\PageIndex{13}$

Спростити:$\frac{\sqrt{72x^3}}{\sqrt{162x}}$

Відповідь

	$\frac{\sqrt{72x^3}}{\sqrt{162x}}$
Перепишіть, використовуючи коефіцієнтну властивість квадратних коренів.	$\sqrt{\frac{72x^3}{162x}}$
Видаліть загальні фактори.	$\sqrt{\frac{18·4·x^2·x}{18·9·x}}$
Спростити.	$\sqrt{\frac{4x^2}{9}}$
Спростити радикал.	$\frac{2x}{3}$

Приклад$\PageIndex{14}$

Спростити:$\frac{\sqrt{50s^3}}{\sqrt{128s}}$.

Відповідь

$\frac{5s}{8}$

Приклад$\PageIndex{15}$

Спростити:$\frac{\sqrt{75q^5}}{\sqrt{108q}}$.

Відповідь

$\frac{5q^2}{6}$

Приклад$\PageIndex{16}$

Спростити:$\frac{\sqrt{147ab^8}}{\sqrt{3a^3b^4}}$.

Відповідь

	$\frac{\sqrt{147ab^8}}{\sqrt{3a^{3}b^{4}}}$
Перепишіть, використовуючи коефіцієнтну властивість квадратних коренів.	$\sqrt{\frac{147ab^8}{3a^{3}b^{4}}}$
Видаліть загальні фактори.	\ (\ sqrt {\ frac {49b^4} {a^2}}\
Спростити радикал.	$\frac{7b^2}{a}$

Приклад$\PageIndex{17}$

Спростити:$\frac{\sqrt{162x^{10}y^{2}}}{\sqrt{2x^6y^6}}$.

Відповідь

$\frac{9x^2}{y^2}$

Приклад$\PageIndex{18}$

Спростити:$\frac{\sqrt{300m^{3}n^{7}}}{\sqrt{3m^{5}n}}$.

Відповідь

$\frac{10n^3}{m}$

Раціоналізувати знаменник з одним терміном

До того, як калькулятор став інструментом повсякденного життя, для пошуку приблизних значень квадратних коренів використовувалися таблиці квадратних коренів. На малюнку зображена частина таблиці з квадратів і квадратних коренів. Квадратні корені наближені до п'яти знаків після коми в цій таблиці.

Таблиця квадратних коренів використовувалася для пошуку приблизних значень квадратних коренів до того, як з'явилися калькулятори.

Якщо комусь потрібно було наблизити дріб з квадратним коренем у знаменнику, це означало робити довге ділення з п'ятьма десятковими місцями. Це був дуже громіздкий процес.

З цієї причини був розроблений процес, який отримав назву раціоналізація знаменника. Дріб з радикалом в знаменнику перетворюється в еквівалентний дріб, знаменником якого є ціле число. Цей процес використовується і сьогодні і корисний і в інших областях математики теж.

Визначення: РАЦІОНАЛІЗАЦІЯ ЗНАМЕННИКА

Процес перетворення дробу з радикалом в знаменнику в еквівалентний дріб, знаменником якого є ціле число, називається раціоналізацією знаменника.

Квадратні корені чисел, які не є ідеальними квадратами, є ірраціональними числами. Коли ми раціоналізуємо знаменник, пишемо еквівалентний дріб з раціональним числом в знаменнику.

Давайте розглянемо числовий приклад.

$$\begin{array}{ll} {\text{Suppose we need an approximate value for the fraction.}}&{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\text{A five decimal place approximation to} \sqrt{2} \text{is} 1.41421}&{\frac{1}{1.41421}}\\ {\text{Without a calculator, would you want to do this division?}}&{1.41421) \overline{1.0}}\\ \nonumber \end{array}$$

Але ми можемо знайти дріб еквівалентний$\frac{1}{\sqrt{2}}$ шляхом множення чисельника і знаменника на$\sqrt{2}$.

Тепер, якщо нам потрібно приблизне значення, ділимо$2) \overline{1.41421}$. Це набагато простіше.

Незважаючи на те, що у нас є калькулятори, доступні майже скрізь, фракція з радикалом у знаменнику все одно повинна бути раціоналізована. Не вважається спрощеним, якщо знаменник містить квадратний корінь.

Аналогічно квадратний корінь не вважається спрощеним, якщо радикаі містить дріб.

Визначення: СПРОЩЕНІ КВАДРАТНІ КОРІННЯ

Квадратний корінь вважається спрощеним, якщо є

• відсутність ідеально-квадратних факторів у радиканді
• немає дробів в радиканді
• немає квадратних коренів у знаменнику дробу

Щоб раціоналізувати знаменник, використовуємо властивість, яка$(\sqrt{a})^2=a$. If we square an irrational square root, we get a rational number.

Ми будемо використовувати цю властивість для раціоналізації знаменника в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{19}$

Спростити:$\frac{4}{\sqrt{3}}$.

Відповідь

Щоб прибрати квадратний корінь від знаменника, множимо його на себе. Щоб дроби були еквівалентними, множимо і чисельник, і знаменник на один і той же коефіцієнт.

	$\frac{4}{\sqrt{3}}$
Помножте чисельник і знаменник на$\sqrt{3}$	$\frac{4·\sqrt{3}}{\sqrt{3}·\sqrt{3}}$
Спростити.	$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Приклад$\PageIndex{20}$

Спростити:$\frac{5}{\sqrt{3}}$.

Відповідь

$\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Приклад$\PageIndex{21}$

Спростити:$\frac{6}{\sqrt{5}}$.

Відповідь

$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Приклад$\PageIndex{22}$

Спростити:$−\frac{8}{3\sqrt{6}}$

Відповідь

Щоб прибрати квадратний корінь від знаменника, множимо його на себе. Щоб дроби були еквівалентними, множимо і чисельник, і знаменник на$\sqrt{6}$.

Помножте і чисельник, і знаменник на$\sqrt{6}$.
Спростити.
Видаліть загальні фактори.
Спростити.

Приклад$\PageIndex{23}$

Спростити:$\frac{5}{2\sqrt{5}}$.

Відповідь

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Приклад$\PageIndex{24}$

Спростити:$−\frac{9}{4\sqrt{3}}$.

Відповідь

$−\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Завжди спочатку спрощуйте радикал у знаменнику, перш ніж раціоналізувати його. Таким чином, цифри залишаються меншими і з ними легше працювати.

Приклад$\PageIndex{25}$

Спростити:$\sqrt{\frac{5}{12}}$.

Відповідь

Дріб не є ідеальним квадратом, тому перепишіть, використовуючи властивість частки.
Спростити знаменник.
Раціоналізувати знаменник.
Спростити.
Спростити.

Приклад$\PageIndex{26}$

Спростити:$\sqrt{\frac{7}{18}}$.

Відповідь

$\frac{\sqrt{14}}{6}$

Приклад$\PageIndex{27}$

Спростити:$\sqrt{\frac{3}{32}}$.

Відповідь

$\frac{\sqrt{6}}{8}$

Приклад$\PageIndex{28}$

Спростити:$\sqrt{\frac{11}{28}}$

Відповідь

Перепишіть, використовуючи властивість Коефіцієнт.
Спростити знаменник.
Раціоналізувати знаменник.
Спростити.
Спростити.

Приклад$\PageIndex{29}$

Спростити:$\sqrt{\frac{3}{27}}$.

Відповідь

$\frac{1}{3}$

Приклад$\PageIndex{30}$

Спростити:$\sqrt{\frac{10}{50}}$

Відповідь

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Раціоналізувати двочленний знаменник

Коли знаменником дробу є сума або різниця з квадратними коренями, для раціоналізації знаменника ми використовуємо візерунок «Добуток сполучених».

$$\begin{array}{ll} {(a−b)(a+b)}&{(2−\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}\\ {a^2−b^2}&{2^2−(\sqrt{5})^2}\\ {}&{4−5}\\ {}&{−1}\\ \nonumber \end{array}$$

Коли ми множимо біном, який включає квадратний корінь за його сполученим, продукт не має квадратних коренів.

Приклад$\PageIndex{31}$

Спростити:$\frac{4}{4+\sqrt{2}}$.

Відповідь

Помножте чисельник і знаменник на сполучений знаменник.
Помножте відмінювання в знаменнику.
Спростити знаменник.
Спростити знаменник.
Видаліть загальні множники з чисельника і знаменника.
Ми залишаємо чисельник у факторованому вигляді, щоб полегшити пошук загальних факторів після спрощення знаменника.

Приклад$\PageIndex{32}$

Спростити:$\frac{2}{2+\sqrt{3}}$.

Відповідь

$\frac{2(2−\sqrt{3})}{1}$

Приклад$\PageIndex{33}$

Спростити:$\frac{5}{5+\sqrt{3}}$.

Відповідь

$\frac{5(5−\sqrt{3})}{22}$

Приклад$\PageIndex{34}$

Спростити:$\frac{5}{2−\sqrt{3}}$.

Відповідь

Помножте чисельник і знаменник на сполучений знаменник.
Помножте відмінювання в знаменнику.
Спростити знаменник.
Спростити знаменник.
Спростити.

Приклад$\PageIndex{35}$

Спростити:$\frac{3}{1−\sqrt{5}}$.

Відповідь

$−\frac{3(1+\sqrt{5})}{4}$

Приклад$\PageIndex{36}$

Спростити:$\frac{2}{4−\sqrt{6}}$.

Відповідь

$\frac{4+\sqrt{6}}{5}$

Приклад$\PageIndex{37}$

Спростити:$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{u}−\sqrt{6}}$.

Відповідь

Помножте чисельник і знаменник на сполучений знаменник.
Помножте відмінювання в знаменнику.
Спростити знаменник.

Приклад$\PageIndex{38}$

Спростити:$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$.

Відповідь

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{x}−\sqrt{2})}{x−2}$

Приклад$\PageIndex{39}$

Спростити:$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{y}−\sqrt{3}}$.

Відповідь

$\frac{\sqrt{10}(\sqrt{y}+\sqrt{3})}{y−3}$

Приклад$\PageIndex{40}$

Спростити:$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}−\sqrt{7}}$.

Відповідь

Помножте чисельник і знаменник на сполучений знаменник.
Помножте відмінювання в знаменнику.
Спростити знаменник.
Ми не ставимо в квадрат чисельник. У факторованій формі ми бачимо, що немає загальних факторів, які слід видалити з чисельника та знаменника.

Приклад$\PageIndex{41}$

Спростити:$\frac{\sqrt{p}+\sqrt{2}}{\sqrt{p}−\sqrt{2}}$.

Відповідь

$\frac{(\sqrt{p}+\sqrt{2})^2}{p−2}$

Приклад$\PageIndex{42}$

Спростити:$\frac{\sqrt{q}−\sqrt{10}}{\sqrt{q}+\sqrt{10}}$.

Відповідь

$\frac{(\sqrt{q}−\sqrt{10})^2}{q−10}$

Отримайте доступ до цього інтернет-ресурсу для додаткової інструкції та практики з розділенням та раціоналізацією.

• Розподіл і раціоналізація

Ключові поняття

• Коефіцієнтна властивість квадратних коренів
  • Якщо a, b є невід'ємними дійсними числами і$b \ne 0$, то

    $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$і$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

• Спрощені квадратні коріння
  Квадратний корінь вважається спрощеним, якщо є
  • немає ідеальних квадратних факторів у радиканді
  • немає дробів в радиканді
  • немає квадратних коренів у знаменнику дробу

Глосарій

раціоналізація знаменника

Процес перетворення дробу з радикалом в знаменнику в еквівалентний дріб, знаменником якого є ціле число, називається раціоналізацією знаменника.