1.4: Комплексні числа
Нашу систему числення можна поділити різними способами. Найосновнішою формою математики є підрахунок, і майже всі людські культури мають слова для представлення чисел (Піраха Південної Америки є помітним винятком). Таким чином, найосновнішим набором чисел є набір лічильних чисел, представлених подвійною забороноюN:N={1,2,3,4,5,6,7,…} (ми відкладемо дискусію щодо того, чи слід включати нуль до цього набору).
Якщо ми спробуємо відняти більшу кількість підрахунку з меншого числа підрахунку, ми виявимо, що в наборі рахункових чисел немає членів, які представляють відповідь у цій ситуації. Це розширює набір натуральних чисел до безлічі цілих чисел:Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}. Цілі числа представлені подвійною смугоюZ, для німецького слова для чисел - «zahlen». У самих ранніх появах негативних чисел у китайських та індійських математичних системах негативні значення часто використовувались для представлення боргу. Оскільки грецька математика ґрунтувалася на геометрії, вони не використовували негативних чисел.
Переходячи до множення та ділення, якщо ми ставимо під сумнів значення8÷2=4 проти,8÷3=?, ми знову повинні розширити нашу концепцію чисел, щоб дати відповідь на друге питання8÷3=?. Розуміння співвідношень цілих чисел або раціональних чисел дозволяє розв'язати такі задачі. Множина раціональних чисел представлена подвійноюQ смугою, щоб представляти частку:
Q={ab:a,b∈Z}
Грецьке розуміння чисел в основному зупинилося на цьому. Вони вважали, що всі величини можуть бути представлені у вигляді співвідношення цілих чисел. Довжина діагоналі квадрата, сторони якого мають довжину 1, викликала значний жах у піфагорійців в результаті цього. Використання теореми Піфагора для діагоналі квадрата, сторони якого мають довжину 1, показує, що діагональ будеc2=12+12=2, таким чиномc=√2. Це число не може бути представлено у вигляді співвідношення цілих чисел. Цей новий клас чисел додає набір
ірраціональних чисел до існуючого набору раціональних чисел для створення Реальних чисел, представлених подвійною смугоюR:R.
Ця ієрархія чисел часто представлена на наступній схемі:
Один з найкращих способів концептуалізації Реального числа знаходиться на числовій лінії - кожна точка на числовій лінії відповідає унікальному Реальному числу, а кожне Реальне число відповідає унікальній позиції на рядку Реального числа.
Після розвитку друкарського верстата в 15 столітті Лібер Абачі Фібоначчі перевели на італійську мову з латини і читали по всій Італії. В результаті Італія стала процвітаючим центром математики аж до 17-го століття, коли центр європейської математики перемістився на північ до Франції, Німеччини та Англії.
Протягом 1500-х років італійські математики, такі як Джироламо Кардано, Рафаель Бомбеллі та Нікколо Фонтана Тарталья працювали над розширенням ідей у книзі Фібоначчі. Вони створили формули для розв'язання кубічних (x3) та квартичних (x4) рівнянь ступеня. При вирішенні деяких з цих рівнянь вони виявили, що їх формули іноді виробляють від'ємні значення під квадратним коренем. Жодна з відомих систем числення не могла вмістити цю можливість. У книзі Кардано про алгебру Ars Magna він стикається з проблемою, яка включає квадратний корінь від'ємного числа. Він каже: «Зрозуміло, що цей випадок неможливий. Проте ми працюватимемо таким чином...» і він приступає до обчислення дійсного комплексного рішення проблеми. Математики врешті-решт визначили складну одиницю,√−1=i а потім
розробили систему, в якій всі комплексні числа являють собою комбінацію дійсної частини
(a) і «уявної» частини (бі).
Комплексні числа - це двовимірна система числення, представлена подвійною смугою,C:C={a+bi:a,b∈R}, деi є комплексна одиниця, визначена якi=√−1. Протягом кінця 1700-х і початку 1800-х математики поступово рухалися до геометричної інтерпретації двовимірного комплексні числа. Те, що сьогодні відомо як «діаграма Арганда» являє собою реальну цінну частину комплексного числа вздовж горизонтальної осі та кратну комплексної одиниці вздовж вертикальної осі.
Висловлення квадратних коренів негативних чисел
Квадратні корені від'ємних величин, як правило, виражаються кратнимиi
Приклад1.4.1
\ [
\ почати {масив} {c}
\ sqrt {-4} =2 я\\
\ sqrt {-25} =5 я\\
\ sqrt {-7}\ приблизно 2.646 я
\ кінець {масив}
\]
Додавання, віднімання та множення комплексними числами
Обчислення комплексними числами має багато схожості з роботою зі змінними. Реальна частина і уявна частина розглядаються окремо для додавання і віднімання, але можуть бути перемножені і розділені.
Приклад1.4.2
Обчисліть наступне:
\ [
\ почати {масив} {c}
(6-4 i) + (-2+7 i) =4+3 i\\
(-9+2 i) - (-4+6 i) =-9+2 i+4-6 i=-5-4 i\\
3 (10+i) =30+3 i\\
-7 i (-5+8 i) =35 i-56 i ^ {2}
\ кінець {масив}
]
Тепер ми стикаємося з цікавим фактом про комплексних числах і, зокрема, комплексної одиниці заi. визначенням,i=√−1. Тому, якщоi ми квадрат ми повинні отримати−1. В останньому прикладі завдання вище, ми можемоi2 замінити на -1, щоб закінчити задачу.
\ почати {вирівняний}
-7 i (-5+8 i) &=35 i-56 i ^ {2}\
&= 35 i-56 (-1)\\
&= 35 i+56\\
&=56+35 i
\ кінець {вирівняний}
Приклад1.4.3
Обчисліть наступне:
\ [
\ почати {вирівняний}
(8-5 я) (1-4 я) &=8-32 i-5 i+20 i^ {2}\
&=8-37 i+20 (-1)\\
&=8-37 i-20\\
&=-12-37 i
\\\\
(9+2 i) ^ {2} & =( 9+2 i) (9+2 я)\\
=81+18 i+4 i^ {2}\\
&=81+36 i+4 (-1)\\
&=81+36 i-4\\
&=77+36 i
\ кінець {вирівняний}
\]
повноваженняi
Силиi слідувати цікавою схемою, заснованої на визначенні, щоi2=−1
Ми можемо бачити, щоi1=i і щоi3=i2∗i1=−1∗i=−i
вi2=−1, результаті, Аналогічним чином,i4=i2∗i2=(−1)(−1)=1
Це означає, щоi5=i4∗i=1∗i=i
Якщо ми поставимо все цю інформацію разом ми отримуємо наступне:
i1=i
i2=−1
i3=−i
i4=1
i5=i1=i
i6=i2=−1
i7=i3=−i
i8=i4=1
Іншими словами, кожна силаi еквівалентнаi,−1,−i, або або1. Щоб визначити, яке з цих значеньi є рівнозначною, нам потрібно знайти залишок показника, коли він ділиться на 4
Приклад1.4.4
Спроститиi38
Рішення
так як коженi38=i36∗i2=(i4)9∗i2=19∗i2=i2=−1
з тихi4=1, пір 38 є 2 більше, ніж кратне4, тодіi38=i2=−1
Вправа1.4.1
Графік наведено наступні комплексні числа:
1)2+5i
2)4−3i
3)−2+6i
4)−3−5i
5)4
6)−2i
7)7−i
8)−1+i
9)−8+4i
10)8+3i
11) 7i
12)−5−9i
Висловіть кожну величину через ірраціональні значенняi. Round до найближчих 1000 го.
13)√−36
14)√−81
15)√−100
16)√−49
17)√−4
18)√−25
19)√−2
20)√−6
21)√−10
22) √−31
23)√−5
24)√−3
Виконати зазначену операцію і спростити
25)(6+7i)+(5+3i)
26)(4−5i)+(3+9i)
27)(9+8i)−(1−2i)
28)(2+i)−(6−4i)
29)(7−4i)−(5−3i)
30)(8+i)−(4+3i)
31)(7i)(6i)
32)(4i)(−8i)
33)(−2i)(5i)
34)(12i)(3i)
35)(1+i)(3+2i)
36)(1+5i)(4+3i)
37)(6−5i)(2−3i)
38)(8−3i)(2+i)
39)(−3+4i)(−1−2i)
40)(−7−i)(3−5i)
41)(4−2i)2
42) (−5+i)2
43)(3+i)(3−i)
44)(2+6i)(2−6i)
45)(9−4i)(9+4i)
46)(5+2i)(5−2i)
Експрес якi,−1,−i, або 1
47)i3
48)i7
49)i21
50)i13
51)i29
52)i56
53)i72
54)i35
55) i66
56)i103
57)i16
58)i53
59)i11
60)i42
61)i70
62)i9
- Відповідь
-
13)6i
15)10i
17)2i
19)1.414i
21)3.162i
23)2.236i
25)11+10i
27)8+10i
29)2−i
31)−42
33)10
35)1+5i
37)−3−28i
39)11+2i
41)12−16i
43)10
45) 97
47)−i
49)i
51)i
53)1
55)−1
57)1
59)−i
61)−1