Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.3: Квадратні рівняння

Квадратні рівняння - рівняння другого ступеня. Рішення квадратичних рівнянь має довгу історію в математиці, що сягає декількох тисяч років до геометричних рішень, вироблених вавилонською культурою. Індійський математик Брахмагупта використовував «риторичну алгебру» (алгебру, виписану словами) у VII столітті для отримання розв'язків квадратичних рівнянь, а арабські математики 9-го і 10-го століть слідували подібним методам. Леонардо Пізанський (також відомий як Фібоначчі) включив інформацію про арабський підхід до вирішення квадратичних рівнянь у свою книгу «Лібер Абачі», опубліковану в 1202 році

Квадратична формула зазвичай використовується для розв'язання квадратних рівнянь в стандартному вигляді:ax2+bx+c=0. Рішення для цього:
\ [
x=\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}
\]
Тепер виникає питання - чому ця формула дає розв'язки стандарту квадратне рівняння? Ми можемо діяти так, як ми зазвичай робимо при вирішенні лінійних рівнянь - тобто отримуючи саміx по собі. Єдина проблема тут полягає в тому, що замість того, щоб простоx, є також терміни, пов'язаніx2. саме тут процес завершення квадрата стане в нагоді.

Ми можемо почати з квадратного рівняння в стандартному вигляді:
\ [
a x^ {2} +b x+c=0
\]
Так само, як легше множити квадратний триноміал, якщо провідним коефіцієнтом є1, цей процес завершення квадрата також легше, якщо провідний Коефіцієнт1.So наступний ми розділимо через по обидва боки цього рівняння наa.
\ [
\ почати {масив} {c}
\ розрив {a x^ {2} +b x+c} {a} =\ розриву {0} {a}\
\ гідророзриву {a x^ {2}} {a} +\ розрив {b x} {a} +\ гідророзриву {c} {a} =\ frac {0} {a}\\
x^ {2}\ frac {b} {a} x+\ гідророзриву {c} {a} =0
\ end {масив}
\]

Потім ми перемістимо на іншу сторону рівняння, щоб очистити місце для завершення квадрата:
\ [
\ begin {масив} {c}
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ frac {c} {a} =0\
-\ frac {c} {a} =-\ frac {c} {a}\\
x^ {2} +\ frac c {b} {a} x=-\ гідророзриву {c} {a}ca
\ end {array}
\]
Тепер нам потрібно завершити квадрат. Якщо ви вже знайомі з цим процесом, ви можете пропустити наступне пояснення.

Якщо ми подивимось на те, що відбувається, коли ми квадратимо біноміальне подібне(x+3)2, ми почнемо помічати візерунок.
\ [
\ почати {масив} {c}
(x+3) ^ {2} =( x+3) (x+3) =x^ {2} +6 х+9\ (x+4) ^ {2} =( x+4)
(x+4) =x^ {2} +8 х+16\\ (x+5) ^ {2} =( x+5) (x+5) (x+5)
(x+5) (x+5) (x+5) (x+5) (x+5) (x+5) (x+5) (x+5) (x+5)
(x+5) (x+x+25\\ (x+6) ^ {2} =( x+6) (x+6) =х^ {2} +12 х+36
\ кінець {масив}
\]
Наша мета в виведенні квадратичної формули - переписати виразx2+bax як досконалий квадрат у формі(x+)2. Причина, по якій ми хочемо це зробити, полягає в тому, що написання виразу як біноміального квадрата усуває проблему наявності як a, такx і a,x2, що заважало нам отримати самеx по собі в стандартному квадратному рівнянні.

Якщо ми зможемо з'ясувати, що повинно зайняти місце пробілів у твердженні:
\ [
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ quad =( x+\ quad) ^ {2}
\],
то ми будемо добре на шляху до виведення квадратичної формули.

Якщо ми повторно вивчимо зразок ідеальних біноміальних квадратів з попередньої сторінки, відзначимо корисний шаблон. Це те, що бланк в дужках(x+)2 заповнюється числом, яке становить половину значення лінійного коефіцієнта - або коефіцієнтx1 терміна. Зверніть увагу,x2+6x+9=(x+3)2,3 що6, в половинаx2+8x+16=(x+4)2, в 4 половина8, і так далі. Якщо ми хочемо написатиx2+bax+ як досконалий квадрат у формі(x+)2, порожній у дужках слід заповнити:
\ [
\ frac {1} {2} *\ frac {b} {a} =\ frac {b} {2 a}
\]
Тепер неправда, щоx2+bax+=(x+b2a)2

Ми відсутній постійний термін зліва. Однак, якщо ми повернемося до наших ідеальних квадратних прикладів, ми можемо побачити, що постійний термін завжди є квадратом терміна всередині дужок. Отже, ми можемо відновити нашу проблему зараз як:
\ [
\ begin {масив} {c}
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ лівий (\ frac {b} {2}\ праворуч) ^ {2} =\ вліво (x+\ frac {b} {2 a}\ праворуч) ^ {2}\
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ розрив {b^ {2}} {4 a^ {2}} =\ ліворуч (x+\ frac {b} {2 a}\ праворуч) ^ {2}
\ end {масив}
\]

Отже, якщо ми повернемося до нашої початкової проблеми, ми говорили, що:
\ [
\ begin {масив} {c}
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ frac {c} {a} {a} {a} =-\ frac {c} {a} {a}\
x^ {2} +\ frac {b} {a} x=-\ гідророзриву {c} {a
}
\ end {масив}
\]

Ми можемо додатиb24a2 до обох сторін цього рівняння, а потім відновити ліву частину як ідеальний квадрат біноміального:
\ [
\ begin {масив} {c}
x^ {2} +\ frac {b} {a} x\ quad=-\ frac {c} {a}\
\\ b^ {2}} {4 a^ {2}} =+\ frac {^ {2}} {4 a^ {2}}\\
x^ { 2} +\ гідророзриву {b} {a} x+\ гідророзриву {b^ {2}} {4 a^ {2}} =-\ гідророзриву {c} {a} +\ гідророзриву {b^ {2}} {4 a^ {2}}\
\ ліворуч (x+\ frac {b} {2 a}\ праворуч) ^ {2} =\ frac {c} {a} +\ розрив {b^ {2}} {4 a^ {2}}
\ кінець {масив}
\]

Останній хитрий біт цієї деривації - додавання двох дробів з правого боку. Загальним знаменником для цих дробів є4a2, тому нам потрібно буде помножитиca на,4a4a щоб отримати4ac4a2. Тоді права сторона будеb24ac4a2
\ [
\ left (x+\ frac {b} {2 a}\ right) ^ {2} =\ frac {b^ {2} -4 a c} {4 a^ {2}}
\]
Потім, ми можемо взяти квадратний корінь обох сторін і отримати самx по собі:
\ [
\ begin {масив} {c}
\ sqrt {\ лівий (x+\ frac {b} {2 a}\ право) ^ {2}}} =\ pm\ sqrt {\ frac {b^ {2} -4 a c} {4 a^ {2}}}\\
x+\ frac {b} {2}} =\ frac {\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 а с}} {\ sqrt {4 a^ {2}}}\\
x+\ frac {b} {2 a} =\ frac {\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}
\ end {масив}
\]

Віднятиb2a з обох сторін легко, оскільки ми вже маємо спільний знаменник:
\ [
\ begin {масив} {c}
x+\ frac {b} {2 a} =\ frac {\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a}} {2 a}\
-\ frac {b} {2 a} =-\ frac {b} {2 a}\\
x=\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}
\ end {array}
\]
На рівні алгебри коледжу часто корисно запрограмувати квадратичну формулу на графічний калькулятор як для зручного використання, так і для того, щоб трохи дізнатися про програмування. Наступна програма є простим прикладом цього для серії TI84 графічних калькуляторів. Графічні калькулятори також часто мають вбудовану функцію поліноміального розв'язувача, яка може бути використана для розв'язання квадратики.

Натисніть клавішу «prgm» у верхній середині клавіатури калькулятора. Це відкриє екран, на якому буде показано EXEC EDIT NEW у верхній частині. Стрілка над верхньою частиною до пункту «NEW», а потім виберіть 1: Створити новий.

Це викличе екран з проханням назвати програму. Ви повинні побачити PROGRAM, а потім під ним «Name=». Альфа-блокування увімкнено автоматично, тому будь-яка клавіша, яку ви натиснете, введе літеру, пов'язану з нею. Назвіть свою програму і натисніть ENTER. Ви повинні побачити PROGRAM: Name, з будь-якою назвою, яку ви вибрали для своєї програми. Під цим ви побачите двокрапку:
Тут ви будете вводити команди для програми.

Спочатку нам потрібно ввести значення дляA,B іC з квадратного рівняння в калькулятор. Для цього знову натисніть клавішу «prgm». У верхній частині екрана ви повинні побачити CTL I/O COLOR EXEC.

Стрілка до вводу/виводу. Це меню «введення/виведення». Виберіть номер 2: Підказка. Це поверне вас на екран програми, де ви побачите: Prompt під назвою програми. After:Prompt, введітьA,B,C. Вам потрібно буде використовувати клавішу «альфа» для доступу до букв, а кома знаходиться прямо над клавішею 7.

ПРОГРАМА: Ім'я (будь-яке ім'я, яке ви вибрали, має відображатися тут) :ПідкажітьA,B,C
У наступному рядку програми ми візьмемо значенняA,BC та використаємо їх для обчислення значень коренів рівняння. Введіть наступне:
ПРОГРАМА: Ім'я:ПідказкаA,B,C
:(B+(B24AC))/(2A)R
:(B(B24AC))/(2A)S

При введенні цих двох рядків важливоB, щоб при введенні ви використовували негативний ключ поруч із десятковою крапкою, а не ключ віднімання. Калькулятор дуже прискіпливий до цього. Коли ви вводитеB24AC, вам потрібно буде використовувати клавішу віднімання в крайньому правому куті клавіатури.

Також зверніть увагу на подвійні дужки - один набір для чисельника дробу і один набір для квадратного кореня. Якщо ви не введете це правильно, це призведе до неправильних відповідей. Стрілка в формулі зберігає значення відповіді в зміннихR іS, а стрілка виробляється клавішею «sto»→" трохи вище кнопки ON в лівому нижньому куті клавіатури.

Тепер, коли ми дали калькулятору значення дляA,BC і потім був калькулятор знайти коріння equatiuon, нам потрібно відобразити відповіді. Якщо ви знову натиснете клавішу prgm та стрілку до меню вводу/виводу, ви можете вибрати 3: Disp. Це покаже відповіді, які ми зберегли якR іS.

ПРОГРАМА: Ім'я: ПідказкаA,B,C:(B+B24AC))/(2A)R
:(BB24AC))/(2A)S
: DispR,S
Тепер ми можемо перевірити програму з деякими простими рівняннями. Щоб запустити програму, натисніть клавішу програми і виберіть створену програму або вибравши її і натиснувши enter, або натиснувши цифру програми в списку. Це повинно повернути вас на екран обчислення, де ви можете запустити програму, натиснувши Enter. Потім калькулятор повинен запитати у вас значенняA,B і
C

Вирішити дляx:2x2x1=0
У цьому прикладі значення дляA,B іC є:
A=2
B=1
C=1
Знову ж таки, важливо використовувати ключ негативного знака поруч із десятковою крапкою для значень будь-якого від'ємного коефіцієнти, а не ключ віднімання. Калькулятор повинен повертати значення 1 та -0,5 як розв'язки.

Вирішити для
x:x2+x+1=0
У цьому прикладі значення дляA,B іC є:
A=1
B=1
C=1
Калькулятор повинен повертати значення0.5±0.8660254038i як розв'язки.

Якщо ви отримуєте повідомлення про помилку «NORREAL ANSWERS», вам потрібно буде налаштувати налаштування калькулятора, щоб дозволити складні відповіді. Ви можете зробити це, натиснувши клавішу «mode» у верхньому лівому куті клавіатури та стрілкою вниз до рядка, яка читає «REAL a+bi». Потімre(θi). можна стрілкою перейти до «a+bi» і натиснути Enter. Це дозволить калькулятору обчислити складні цінні відповіді.
Щось дуже важливо пам'ятати про квадратичну формулу - це те, що рівняння має бути у стандартній формі, щоб визначити значенняA,B таC використовувати у формулі. Наприклад, в рівнянні:
\ [
3 x^ {2} -7=2 x
\]
важливо розуміти, що значенняA,B іC походять від стандартної форми рівняння, а не теперішньої форми рівняння. Є кілька підводних каменів, на які слід звернути увагу в цьому рівнянні. Перш за все,2x знаходиться на протилежній стороні рівняння від інших членів. Це означає, що значенняB ISNOT+2. Крім того, якщо ми повинні були перемістити на2x іншу сторону, щоб поставити рівняння в стандартній формі, це не порядок членів, а ступінь змінної, яка визначає, чи є коефіцієнт ідентифікований якA,B абоC

Переміщаючи2x на іншу сторону рівняння, я бачив, як студенти поклали термін, який вони додають до цієї сторони як останній член. У цьому немає нічого поганого, але якщо ви це зробите, ви повинні бути обережними щодо визначення значеньA,B іC
\ [
\ begin {вирівняні}
3 x^ {2} -7 &= 2 x\\
-2 x &=-2 x\\
3 x^ {2} -7-2 x &=0
\ end {
aligned}\]
Немає нічого поганого в тому, як написано рівняння вище, незважаючи на те, що воно не в «стандартній формі». Важливо пам'ятати, що «А» - це не коефіцієнт того, який термін вказаний першим. Це коефіцієнт квадратичного, абоx2 терміну. Так само «В» - це не коефіцієнт другого члена, а скоріше коефіцієнт лінійного, абоx1 терміна. І «С» - це не те, яке число прийде останнім, а скоріше значення постійного члена. Таким чином, у рівнянні вище, однак це записано, значенняA+3,B є -2 іC дорівнює -7

Вправи1.3.1

Розв'яжіть дляx кожного рівняння. Округлити будь-які ірраціональні значення до найближчих 1000 го.

1)x2+7x=2
2)5x23x=4
3)34x2=78x+12
4)23x213=59x
5)2x2+(5)x3=0
6)3x2+x2=0
7)2.58x23.75x2.83=0
8)3.73x2+9.74x+2.34=0
9)5.3x2+7.08x+1.02=0
10)3.04x2+1.35x+1.234=0
11)7x(x+2)+5=3x(x+1)
12)5x(x1)7=4x(x2)
13)14(x4)(x+2)=(x+2)(x4)
14)11(x2)+(x5)=(x+2)(x6)

Відповідь

1)x0.275,7.275
3)x1.587,0.420
5)x0.787,1.905
7)x0.548,2.002
9)x0.164,1.172
11)x0.575,2.175
13)x=10,5