1.3: Квадратні рівняння

Квадратні рівняння - рівняння другого ступеня. Рішення квадратичних рівнянь має довгу історію в математиці, що сягає декількох тисяч років до геометричних рішень, вироблених вавилонською культурою. Індійський математик Брахмагупта використовував «риторичну алгебру» (алгебру, виписану словами) у VII столітті для отримання розв'язків квадратичних рівнянь, а арабські математики 9-го і 10-го століть слідували подібним методам. Леонардо Пізанський (також відомий як Фібоначчі) включив інформацію про арабський підхід до вирішення квадратичних рівнянь у свою книгу «Лібер Абачі», опубліковану в 1202 році

Квадратична формула зазвичай використовується для розв'язання квадратних рівнянь в стандартному вигляді:\(a x^{2}+b x+c=0 .\) Рішення для цього:
\ [
x=\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}
\]
Тепер виникає питання - чому ця формула дає розв'язки стандарту квадратне рівняння? Ми можемо діяти так, як ми зазвичай робимо при вирішенні лінійних рівнянь - тобто отримуючи самі\(x\) по собі. Єдина проблема тут полягає в тому, що замість того, щоб просто\(x,\) є також терміни, пов'язані\(x^{2} .\) саме тут процес завершення квадрата стане в нагоді.

Ми можемо почати з квадратного рівняння в стандартному вигляді:
\ [
a x^ {2} +b x+c=0
\]
Так само, як легше множити квадратний триноміал, якщо провідним коефіцієнтом є\(1,\) цей процес завершення квадрата також легше, якщо провідний Коефіцієнт\(1 . \mathrm{So}\) наступний ми розділимо через по обидва боки цього рівняння на\(a\).
\ [
\ почати {масив} {c}
\ розрив {a x^ {2} +b x+c} {a} =\ розриву {0} {a}\
\ гідророзриву {a x^ {2}} {a} +\ розрив {b x} {a} +\ гідророзриву {c} {a} =\ frac {0} {a}\\
x^ {2}\ frac {b} {a} x+\ гідророзриву {c} {a} =0
\ end {масив}
\]

Потім ми перемістимо на іншу сторону рівняння, щоб очистити місце для завершення квадрата:
\ [
\ begin {масив} {c}
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ frac {c} {a} =0\
-\ frac {c} {a} =-\ frac {c} {a}\\
x^ {2} +\ frac c {b} {a} x=-\ гідророзриву {c} {a}\(\frac{c}{a}\)
\ end {array}
\]
Тепер нам потрібно завершити квадрат. Якщо ви вже знайомі з цим процесом, ви можете пропустити наступне пояснення.

Якщо ми подивимось на те, що відбувається, коли ми квадратимо біноміальне подібне\((x+3)^{2}\), ми почнемо помічати візерунок.
\ [
\ почати {масив} {c}
(x+3) ^ {2} =( x+3) (x+3) =x^ {2} +6 х+9\ (x+4) ^ {2} =( x+4)
(x+4) =x^ {2} +8 х+16\\ (x+5) ^ {2} =( x+5) (x+5) (x+5)
(x+5) (x+5) (x+5) (x+5) (x+5) (x+5) (x+5) (x+5) (x+5)
(x+5) (x+x+25\\ (x+6) ^ {2} =( x+6) (x+6) =х^ {2} +12 х+36
\ кінець {масив}
\]
Наша мета в виведенні квадратичної формули - переписати вираз\(x^{2}+\frac{b}{a} x\) як досконалий квадрат у формі\((x+\quad)^{2}\). Причина, по якій ми хочемо це зробити, полягає в тому, що написання виразу як біноміального квадрата усуває проблему наявності як a, так\(x\) і a,\(x^{2},\) що заважало нам отримати саме\(x\) по собі в стандартному квадратному рівнянні.

Якщо ми зможемо з'ясувати, що повинно зайняти місце пробілів у твердженні:
\ [
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ quad =( x+\ quad) ^ {2}
\],
то ми будемо добре на шляху до виведення квадратичної формули.

Якщо ми повторно вивчимо зразок ідеальних біноміальних квадратів з попередньої сторінки, відзначимо корисний шаблон. Це те, що бланк в дужках\((x+\quad)^{2}\) заповнюється числом, яке становить половину значення лінійного коефіцієнта - або коефіцієнт\(x^{1}\) терміна. Зверніть увагу,\(x^{2}+6 x+9=(x+3)^{2}, 3\) що\(6,\) в половина\(x^{2}+8 x+16=\)\((x+4)^{2},\) в 4 половина\(8,\) і так далі. Якщо ми хочемо написати\(x^{2}+\frac{b}{a} x+\quad\) як досконалий квадрат у формі\((x+\quad)^{2}\), порожній у дужках слід заповнити:
\ [
\ frac {1} {2} *\ frac {b} {a} =\ frac {b} {2 a}
\]
Тепер неправда, що\(x^{2}+\frac{b}{a} x+\quad=\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}\)

Ми відсутній постійний термін зліва. Однак, якщо ми повернемося до наших ідеальних квадратних прикладів, ми можемо побачити, що постійний термін завжди є квадратом терміна всередині дужок. Отже, ми можемо відновити нашу проблему зараз як:
\ [
\ begin {масив} {c}
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ лівий (\ frac {b} {2}\ праворуч) ^ {2} =\ вліво (x+\ frac {b} {2 a}\ праворуч) ^ {2}\
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ розрив {b^ {2}} {4 a^ {2}} =\ ліворуч (x+\ frac {b} {2 a}\ праворуч) ^ {2}
\ end {масив}
\]

Отже, якщо ми повернемося до нашої початкової проблеми, ми говорили, що:
\ [
\ begin {масив} {c}
x^ {2} +\ frac {b} {a} x+\ frac {c} {a} {a} {a} =-\ frac {c} {a} {a}\
x^ {2} +\ frac {b} {a} x=-\ гідророзриву {c} {a
}
\ end {масив}
\]

Ми можемо додати\(\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\) до обох сторін цього рівняння, а потім відновити ліву частину як ідеальний квадрат біноміального:
\ [
\ begin {масив} {c}
x^ {2} +\ frac {b} {a} x\ quad=-\ frac {c} {a}\
\\ b^ {2}} {4 a^ {2}} =+\ frac {^ {2}} {4 a^ {2}}\\
x^ { 2} +\ гідророзриву {b} {a} x+\ гідророзриву {b^ {2}} {4 a^ {2}} =-\ гідророзриву {c} {a} +\ гідророзриву {b^ {2}} {4 a^ {2}}\
\ ліворуч (x+\ frac {b} {2 a}\ праворуч) ^ {2} =\ frac {c} {a} +\ розрив {b^ {2}} {4 a^ {2}}
\ кінець {масив}
\]

Останній хитрий біт цієї деривації - додавання двох дробів з правого боку. Загальним знаменником для цих дробів є\(4 a^{2}\), тому нам потрібно буде помножити\(-\frac{c}{a}\) на,\(\frac{4 a}{4 a}\) щоб отримати\(-\frac{4 a c}{4 a^{2}} .\) Тоді права сторона буде\(\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}\)
\ [
\ left (x+\ frac {b} {2 a}\ right) ^ {2} =\ frac {b^ {2} -4 a c} {4 a^ {2}}
\]
Потім, ми можемо взяти квадратний корінь обох сторін і отримати сам\(x\) по собі:
\ [
\ begin {масив} {c}
\ sqrt {\ лівий (x+\ frac {b} {2 a}\ право) ^ {2}}} =\ pm\ sqrt {\ frac {b^ {2} -4 a c} {4 a^ {2}}}\\
x+\ frac {b} {2}} =\ frac {\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 а с}} {\ sqrt {4 a^ {2}}}\\
x+\ frac {b} {2 a} =\ frac {\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}
\ end {масив}
\]

Відняти\(\frac{b}{2 a}\) з обох сторін легко, оскільки ми вже маємо спільний знаменник:
\ [
\ begin {масив} {c}
x+\ frac {b} {2 a} =\ frac {\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a}} {2 a}\
-\ frac {b} {2 a} =-\ frac {b} {2 a}\\
x=\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^ {2} -4 a c}} {2 a}
\ end {array}
\]
На рівні алгебри коледжу часто корисно запрограмувати квадратичну формулу на графічний калькулятор як для зручного використання, так і для того, щоб трохи дізнатися про програмування. Наступна програма є простим прикладом цього для серії TI84 графічних калькуляторів. Графічні калькулятори також часто мають вбудовану функцію поліноміального розв'язувача, яка може бути використана для розв'язання квадратики.

Натисніть клавішу «prgm» у верхній середині клавіатури калькулятора. Це відкриє екран, на якому буде показано EXEC EDIT NEW у верхній частині. Стрілка над верхньою частиною до пункту «NEW», а потім виберіть 1: Створити новий.

Це викличе екран з проханням назвати програму. Ви повинні побачити PROGRAM, а потім під ним «Name=». Альфа-блокування увімкнено автоматично, тому будь-яка клавіша, яку ви натиснете, введе літеру, пов'язану з нею. Назвіть свою програму і натисніть ENTER. Ви повинні побачити PROGRAM: Name, з будь-якою назвою, яку ви вибрали для своєї програми. Під цим ви побачите двокрапку:
Тут ви будете вводити команди для програми.

Спочатку нам потрібно ввести значення для\(A, B\) і\(C\) з квадратного рівняння в калькулятор. Для цього знову натисніть клавішу «prgm». У верхній частині екрана ви повинні побачити CTL I/O COLOR EXEC.

Стрілка до вводу/виводу. Це меню «введення/виведення». Виберіть номер 2: Підказка. Це поверне вас на екран програми, де ви побачите: Prompt під назвою програми. After:Prompt, введіть\(A, B, C .\) Вам потрібно буде використовувати клавішу «альфа» для доступу до букв, а кома знаходиться прямо над клавішею 7.

ПРОГРАМА: Ім'я (будь-яке ім'я, яке ви вибрали, має відображатися тут) :Підкажіть\(A, B, C\)
У наступному рядку програми ми візьмемо значення\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)\(\mathrm{C}\) та використаємо їх для обчислення значень коренів рівняння. Введіть наступне:
ПРОГРАМА: Ім'я:Підказка\(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\)
\(:(-B+\sqrt{\left(B^{2}-4 A C\right)}) /(2 A) \rightarrow R\)
\(:(-B-\sqrt{\left(B^{2}-4 A C\right)}) /(2 A) \rightarrow S\)

При введенні цих двох рядків важливо\(-B\), щоб при введенні ви використовували негативний ключ поруч із десятковою крапкою, а не ключ віднімання. Калькулятор дуже прискіпливий до цього. Коли ви вводите\(B^{2}-4 A C\), вам потрібно буде використовувати клавішу віднімання в крайньому правому куті клавіатури.

Також зверніть увагу на подвійні дужки - один набір для чисельника дробу і один набір для квадратного кореня. Якщо ви не введете це правильно, це призведе до неправильних відповідей. Стрілка в формулі зберігає значення відповіді в змінних\(\mathrm{R}\) і\(\mathrm{S}\), а стрілка виробляється клавішею «sto»\(\rightarrow "\) трохи вище кнопки ON в лівому нижньому куті клавіатури.

Тепер, коли ми дали калькулятору значення для\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)\(\mathrm{C}\) і потім був калькулятор знайти коріння equatiuon, нам потрібно відобразити відповіді. Якщо ви знову натиснете клавішу prgm та стрілку до меню вводу/виводу, ви можете вибрати 3: Disp. Це покаже відповіді, які ми зберегли як\(\mathrm{R}\) і\(\mathrm{S}\).

ПРОГРАМА: Ім'я: Підказка\(A, B, C\)\(:(-B+\sqrt{B^{2}-4 A C})) /(2 A) \rightarrow R\)
\(:(-B-\sqrt{B^{2}-4 A C})) /(2 A) \rightarrow S\)
: Disp\(R, S\)
Тепер ми можемо перевірити програму з деякими простими рівняннями. Щоб запустити програму, натисніть клавішу програми і виберіть створену програму або вибравши її і натиснувши enter, або натиснувши цифру програми в списку. Це повинно повернути вас на екран обчислення, де ви можете запустити програму, натиснувши Enter. Потім калькулятор повинен запитати у вас значення\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) і
\(C\)

Вирішити для\(x: \quad 2 x^{2}-x-1=0\)
У цьому прикладі значення для\(A, B\) і\(C\) є:
\(A=2\)
\(B=-1\)
\(C=-1\)
Знову ж таки, важливо використовувати ключ негативного знака поруч із десятковою крапкою для значень будь-якого від'ємного коефіцієнти, а не ключ віднімання. Калькулятор повинен повертати значення 1 та -0,5 як розв'язки.

Вирішити для
\(x: \quad x^{2}+x+1=0\)
У цьому прикладі значення для\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) і\(\mathrm{C}\) є:
\(A=1\)
\(B=1\)
\(C=1\)
Калькулятор повинен повертати значення\(-0.5 \pm 0.8660254038 i\) як розв'язки.

Якщо ви отримуєте повідомлення про помилку «NORREAL ANSWERS», вам потрібно буде налаштувати налаштування калькулятора, щоб дозволити складні відповіді. Ви можете зробити це, натиснувши клавішу «mode» у верхньому лівому куті клавіатури та стрілкою вниз до рядка, яка читає «REAL a+bi». Потім\(\operatorname{re}^{\wedge}(\theta i) .^{\prime \prime}\) можна стрілкою перейти до «a+bi» і натиснути Enter. Це дозволить калькулятору обчислити складні цінні відповіді.
Щось дуже важливо пам'ятати про квадратичну формулу - це те, що рівняння має бути у стандартній формі, щоб визначити значення\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) та\(\mathrm{C}\) використовувати у формулі. Наприклад, в рівнянні:
\ [
3 x^ {2} -7=2 x
\]
важливо розуміти, що значення\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) і\(\mathrm{C}\) походять від стандартної форми рівняння, а не теперішньої форми рівняння. Є кілька підводних каменів, на які слід звернути увагу в цьому рівнянні. Перш за все,\(2 x\) знаходиться на протилежній стороні рівняння від інших членів. Це означає, що значення\(B\) IS\(\mathrm{NOT}+2 .\) Крім того, якщо ми повинні були перемістити на\(2 x\) іншу сторону, щоб поставити рівняння в стандартній формі, це не порядок членів, а ступінь змінної, яка визначає, чи є коефіцієнт ідентифікований як\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) або\(\mathrm{C}\)

Переміщаючи\(2 x\) на іншу сторону рівняння, я бачив, як студенти поклали термін, який вони додають до цієї сторони як останній член. У цьому немає нічого поганого, але якщо ви це зробите, ви повинні бути обережними щодо визначення значень\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) і\(C\)
\ [
\ begin {вирівняні}
3 x^ {2} -7 &= 2 x\\
-2 x &=-2 x\\
3 x^ {2} -7-2 x &=0
\ end {
aligned}\]
Немає нічого поганого в тому, як написано рівняння вище, незважаючи на те, що воно не в «стандартній формі». Важливо пам'ятати, що «А» - це не коефіцієнт того, який термін вказаний першим. Це коефіцієнт квадратичного, або\(x^{2}\) терміну. Так само «В» - це не коефіцієнт другого члена, а скоріше коефіцієнт лінійного, або\(x^{1}\) терміна. І «С» - це не те, яке число прийде останнім, а скоріше значення постійного члена. Таким чином, у рівнянні вище, однак це записано, значення\(\mathrm{A}\)\(+3, \mathrm{B}\) є -2 і\(\mathrm{C}\) дорівнює -7

Вправи\(\PageIndex{1}\)

Розв'яжіть для\(x\) кожного рівняння. Округлити будь-які ірраціональні значення до найближчих 1000 го.

1)\(\quad x^{2}+7 x=2\)
2)\(\quad 5 x^{2}-3 x=4\)
3)\(\quad \frac{3}{4} x^{2}=\frac{7}{8} x+\frac{1}{2}\)
4)\(\quad \frac{2}{3} x^{2}-\frac{1}{3}=\frac{5}{9} x\)
5)\(\quad 2 x^{2}+(\sqrt{5}) x-3=0\)
6)\(\quad 3 x^{2}+x-\sqrt{2}=0\)
7)\(\quad 2.58 x^{2}-3.75 x-2.83=0\)
8)\(\quad 3.73 x^{2}+9.74 x+2.34=0\)
9)\(\quad 5.3 x^{2}+7.08 x+1.02=0\)
10)\(\quad 3.04 x^{2}+1.35 x+1.234=0\)
11)\(\quad 7 x(x+2)+5=3 x(x+1)\)
12)\(\quad 5 x(x-1)-7=4 x(x-2)\)
13)\(\quad 14(x-4)-(x+2)=(x+2)(x-4)\)
14)\(\quad 11(x-2)+(x-5)=(x+2)(x-6)\)

Відповідь

1)\(\quad x \approx 0.275,-7.275\)
3)\(\quad x \approx 1.587,-0.420\)
5)\(\quad x \approx 0.787,-1.905\)
7)\(\quad x \approx-0.548,2.002\)
9)\(\quad x \approx-0.164,-1.172\)
11)\(\quad x \approx-0.575,-2.175\)
13)\(\quad x=10,5\)