11.5: Додатки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58541

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

П'ятиступінчастий метод

При вирішенні практичних завдань часто зручніше вводити дві змінні, а не тільки одну. Дві змінні слід вводити лише тоді, коли в задачі можна знайти дві зв'язки. Кожне співвідношення дасть рівняння, і система з двох рівнянь у двох змінних призведе.

Для вирішення цих проблем ми будемо використовувати п'ятикроковий метод.

Введіть дві змінні, по одній для кожної невідомої кількості.
Шукайте два відносини всередині проблеми. Переведіть словесні фрази в математичні вирази, щоб сформувати два рівняння.
Вирішити отриману систему рівнянь.
Перевірте розчин.
Напишіть висновок.

Набір зразків A (Числові проблеми)

Приклад$\PageIndex{1}$

Сума двох чисел дорівнює$37$. Одне число$5$ більше іншого. Які бувають цифри?

Крок 1:

Нехай$x = $ менше число.

Нехай$y = $ більше число.

Крок 2: Є два відносини.

а) Сума дорівнює$37$

$x + y = 37$

б) Одна$5$ більша за іншу.

Крок 3:

\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x + y = 37\\
y = x + 5
\ end {масив}\ вправо.\)

Ми можемо легко вирішити цю систему шляхом підміни. $x + 5$Замінюємо$y$ в рівнянні 1.

\ (\ почати {вирівняний}
х + (х + 5) & = 37\\
x + x + 5 &= 37\\
2x + 5 &= 37\\
2x &= 32\\
x &= 16 &\ текст {Потім,} y = 16 + 5 = 21\\
x &= 16
\ кінець {вирівняний}

Крок 4: Сума, якщо$37$.

\ (\ begin {вирівняний}
x + y &= 37\\
16 + 21 &= 37\ текст {Це правильно? }\\
37 &= 37\ текст {Так, це правильно.}
\ end {вирівняний}\)

Один$5$ більший за інший.

\ (\ begin {
вирівняний} y &= x + 5\\
21 &= 16 + 5\\
21 &= 21\ текст {Так, це правильно.}
\ end {вирівняний}\)

Крок 5: Два числа$16$ і$21$.

Практика Набір A

Завдання практики$\PageIndex{1}$

Різниця двох чисел дорівнює 9, а сума тих же двох чисел - 19. Які два числа?

Крок 1:

Крок 2:

Крок 3:

Крок 4:

Крок 5:

Відповідь: Два числа - 14 і 5.

Проблеми вартості та курсу: Проблеми з монетами та проблеми із сумішшю

Проблеми в наборах зразків B і C є задачами значення. Вони називаються задачами вартості, оскільки одне з рівнянь системи, що використовується при їх вирішенні, генерується шляхом розгляду значення, або швидкості, або кількості разів на кількість.

Набір зразків B (Проблеми з монетами)

Приклад$\PageIndex{2}$

Паркувальний лічильник містить 27 монет, що складаються тільки з копійок і чвертей. Якщо лічильник містить $4.35, скільки з кожного типу монет є?

Крок 1:

Нехай$D = $ кількість копійок.

Нехай$Q = $ кількість чвертей.

Крок 2: Є два відносини.

а) Є 27 монет. $D + Q = 27$.

б) Внесок у розмірі копійок = $«Внесок за рахунок копійок» дорівнює десяти D Десять позначається як «Значення», а D позначається як «Кількість». «Значення» та «Кількість» мають крапку множення між ними. «Внесок за чвертями» дорівнює двадцяти п'яти Q. Двадцять п'ять позначено як «Значення», а Q позначається як «Кількість». «Значення» та «Кількість» мають крапку множення між ними.$

Внесок за кварталами = $«Внесок за рахунок копійок» дорівнює десяти D Десять позначається як «Значення», а D позначається як «Кількість». «Значення» та «Кількість» мають крапку множення між ними. «Внесок за чвертями» дорівнює двадцяти п'яти Q. Двадцять п'ять позначено як «Значення», а Q позначається як «Кількість». «Значення» та «Кількість» мають крапку множення між ними.$

$10D + 25Q = 435$

Крок 3:

\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
D + Q = 27\\
10D + 25Q = 435
\ кінець {масив}\ вправо.\)

Ми можемо вирішити цю систему, використовуючи ліквідацію шляхом додавання. Помножте обидві сторони рівняння (1) на$-10$ і додайте.

\ (\ почати {масив} {c}
-10 Д-10 Q = -270\\
10 D+25 Q = 435\
\ hline 15 Q = 165\\
Q = 11
\ кінець {масив}\)

Потім,\ (D + 11 = 27\\
D = 16\)

$D = 16, Q = 11$

Крок 4:16 копійок і 11 чвертей - 27 монет.

\ (\ begin {вирівняний}
10 (16) + 11 (25) &= 435\ текст {Це правильно? }\\
160 + 275 &= 435\ текст {Це правильно? }\\
435 &= 435\ текст {Так, це правильно.}
\ end {вирівняний}\)

Рішення перевіряє.

Крок 5: Є 11 чвертей і 16 копійок.

Практика Set B

Завдання практики$\PageIndex{2}$

Мішок містить тільки нікелі і копійки. Вартість колекції становить 2 долари. Якщо є 26 монет у всіх, скільки з кожної монети є?

Відповідь: Є 14 копійок і 12 нікелів.

Набір зразків C (проблеми із сумішшю)

Приклад$\PageIndex{3}$

Студенту-хіміку потрібно 40 мілілітрів (мл) 14% розчину кислоти. Вона мала два кислотні розчини, А і В, щоб змішати разом, утворюючи 40 мл кислотного розчину. Кислотний розчин А - 10% кислота, а розчин кислоти В - 20% кислота. Скільки кожного розчину потрібно використовувати?

Крок 1:

Нехай$x = $ кількість мл - це розчин А.

Нехай$y = $ кількість мл розчину B.

Крок 2: Є два відносини

а) Сума кількості мл двох розчинів дорівнює 40.

$x + y = 40$.

б) Для визначення другого рівняння намалюйте картину ситуації

$Мітка «Кількість у цьому рядку», що вказує на три мензурки, що представляють рівняння x плюс y, дорівнює сороку. Перша склянка позначена як х зі знаком плюс між першим і другим мензурками. Другий стакан маркується як y зі знаком рівності між другим і третім мензурками. Третій стакан маркується як 40. Друга мітка «Тарифи на цьому рядку» має стрілку, що вказує на три мітки під трьома мензурками. Перша мітка - «точка десять», друга мітка - «точка двадцять», а третя мітка - «точка чотирнадцять».$

Рівняння випливає безпосередньо з креслення, якщо ми використовуємо ідею кількості разів на кількість.

Крок 3:$.10x + .20y = .14(40)$

\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x + y = 40\\
.10x + .20y = .14 (40)
\ end {масив}\ вправо.\)

Вирішити цю систему шляхом додавання. По-перше, усуньте десяткові числа в рівнянні 2, помноживши обидві сторони на 100.

\ (\ ліворуч\ {\ begin {масив} {r}
х + y = 40\\
10x + 20y = 14 (40)
\ end {масив}\ вправо.\)

Усунути$x$ шляхом множення рівняння 1 на,$-10$ а потім додавання.

\ (\ begin {масив} {c}
-10 x-10 y=-400\
10 x+20 y=560
\\ hline 10 y=160\
y=16
\ end {масив}\)

Потім,\ (х + 16 = 40\\
х = 24\)

$x = 24, y = 16$

Крок 4:24 мл і 16 мл додати до 40 мл.

\ (\ begin {вирівняний}
10 (24) + 20 (16) &= 560\ текст {Це правильно? }\\
240 + 320 &= 560\ текст {Це правильно? }\\
560 &= 560\ текст {Так, це правильно.}
\ end {вирівняний}\)

Рішення перевіряє.

Крок 5: Студент повинен використовувати 24 мл кислотного розчину А і 16 мл розчину кислоти В.

Практика Set C

Завдання практики$\PageIndex{3}$

Студенту-хіміку потрібно 60 мл 26% розчину солі. У нього є два сольові розчини, А і В, щоб змішати разом, утворюючи 60 мл розчину. Сольовий розчин А - 30% солі, а розчин солі В - 20% солі. Скільки кожного розчину потрібно використовувати?

Відповідь: Учень повинен використовувати 36 мл розчину солі А і 24 мл розчину солі В.

вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Сума двох чисел дорівнює 22. Одне число на 6 більше іншого. Які бувають цифри?

Відповідь: Два числа - 14 і 8.

Вправа$\PageIndex{2}$

Сума двох чисел дорівнює 32. Одне число на 8 більше іншого. Які бувають цифри?

Вправа$\PageIndex{3}$

Різниця двох чисел дорівнює 12 і одне число в три рази більше іншого. Які цифри?

Відповідь: Два числа - 18 і 6.

Вправа$\PageIndex{4}$

Різниця двох чисел дорівнює 9 і одного числа в 10 разів більше іншого. Які цифри?

Вправа$\PageIndex{5}$

Половина суми двох чисел дорівнює 14, а половина різниці дорівнює 2. Які бувають цифри?

Відповідь: Цифри - 16 і 12.

Вправа$\PageIndex{6}$

Третина від суми двох чисел дорівнює 6, а п'ята частина різниці дорівнює 2. Які бувають цифри?

Вправа$\PageIndex{7}$

14-фунтова суміш винограду продається за 3,10 долара. Виноград типу 1 продається за 25 центів за фунт, а виноград типу 2 продається за 20 центів за фунт. Скільки фунтів кожного виду винограду було використано?

Відповідь: 6 фунтів типу 1 і 8 фунтів типу 2.

Вправа$\PageIndex{8}$

Вартість 80 літрів змішаного миючого розчину становить 28 доларів. Рішення типу 1 коштує 20¢ літр, а рішення типу 2 коштує 40 центів на літр. Скільки літрів кожного розчину було використано для формування змішаного розчину?

Вправа$\PageIndex{9}$

Вартість 42 грам певної хімічної сполуки становить 14,40$. Хімічні витрати типу 1 45¢ на грам, а хімічні витрати типу 2 30¢ за грам. Скільки грамів кожної хімічної речовини було використано для утворення з'єднання?

Відповідь: 12 грам типу 1 і 30 грам типу 2.

Вправа$\PageIndex{10}$

У виставі взяли участь 342 людини, деякі дорослі і деякі діти. Вхід для дорослих становив $1.50, а для дітей 75¢. Скільки дорослих і скільки дітей відвідало виставу?

Вправа$\PageIndex{11}$

200 квитків було продано на щорічний музичний спектакль коледжу. Квитки для студентів становили $2.50, а для нестудентів - $3.50. Загальна зібрана сума склала 537 доларів. Скільки нестуденти придбали квитки на виставу?

Відповідь: 37 нестудентських квитків.

Вправа$\PageIndex{12}$

Студенту хімії потрібно 22 мл 38% розчину кислоти. У неї є два кислотні розчини, А і В, щоб змішати разом, утворюючи розчин. Кислотний розчин А - це 40% кислота, а розчин кислоти В - 30% кислоти. Скільки кожного розчину потрібно використовувати?

Вправа$\PageIndex{13}$

Студенту-хіміку потрібно 50 мл 72% розчину солі. У нього є два сольові розчини, А і В, щоб змішати разом, щоб утворився розчин. Сольовий розчин А становить 60% солі, а розчин солі В - 80% солі. Скільки кожного розчину потрібно використовувати?

Відповідь: 30 мл 80% розчину; 20 мл 60% розчину.

Вправа$\PageIndex{14}$

Хіміку потрібно 2 літри 18% розчину кислоти. Він має два розчини, А і В, щоб змішати разом, щоб утворити розчин. Кислотний розчин А - 10% кислота, а розчин кислоти В - 15% кислоти. Чи може хімік сформувати необхідний 18% розчин кислоти? (Перевірити розрахунком.) Якщо хімік знайде 20% розчин кислоти, скільки доведеться змішувати з 10% -ним розчином, щоб отримати необхідний 2-літровий 18% розчин?

Вправа$\PageIndex{15}$

Хіміку потрібно 3 літри 12% розчину кислоти. У неї є два кислотні розчини, А і В, щоб змішати разом, утворюючи розчин. Кислотний розчин А становить 14% кислоти, а розчин кислоти В - 20% кислоти. Чи може хімік сформувати необхідний 12% розчин? (Перевірити розрахунком.) Якщо хімік знайде 4% розчин кислоти, скільки доведеться змішувати з 14% -ним розчином кислоти, щоб отримати необхідний 3-літровий 12% розчин?

Відповідь

а) не може утворювати 12% розчин;

б)$\dfrac{3}{5}$ літр 4% розчину.

Вправа$\PageIndex{16}$

Студенту хімії потрібно 100 мл 16% -ного розчину кислоти. У нього є флакон з 20% -ним розчином кислоти. Скільки чистої води і скільки 20% розчину потрібно змішати, щоб розвести 20% розчин кислоти до 16% -ного розчину кислоти?

Вправа$\PageIndex{17}$

Студенту-хіміку потрібен 1 літр 78% розчину солі. У неї є пляшка 80% розчину солі. Скільки чистої води і скільки 80% розчину солі потрібно змішати, щоб розвести 80% розчин солі до 78% розчину солі?

Відповідь: 25 мл чистої води; 975 мл 80% розчину солі.

Вправа$\PageIndex{18}$

25 мл чистої води; 975 мл 80% розчину солі.

Вправа$\PageIndex{19}$

Дитячий банк містить 78 монет. Монети тільки копійки і нікелі. Якщо вартість монет становить $1,50, скільки з кожної монети є?

Відповідь: 18 нікелів; 60 копійок.

Вправи для огляду

Вправа$\PageIndex{20}$

Спростити$\dfrac{x^{n + 6}}{x^2}$

Вправа$\PageIndex{21}$

Знайдіть товар:$(3x - 5)^2$

Відповідь: $9x^2 - 30x + 25$

Вправа$\PageIndex{22}$

Знайдіть різницю:$\dfrac{2x - 1}{x^2 + x - 6} - \dfrac{x + 2}{x^2 + 5x + 6}$

Вправа$\PageIndex{23}$

Використовуйте метод заміщення для вирішення

\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
4x - y = 3\\
2x - 5 = 15
\ end {масив}\ вправо.\)

Відповідь: $(0,−3)$

Вправа$\PageIndex{24}$

Використовуйте метод додавання для вирішення

\ (\ ліворуч\ {\ begin {масив} {r}
3x + 4y = -7\\
4x - 5y = 1
\ end {масив}\ вправо.\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Завдання практики\(\PageIndex{1}\)

Набір зразків B (Проблеми з монетами)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Практика Set B

Завдання практики\(\PageIndex{2}\)

Набір зразків C (проблеми із сумішшю)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Завдання практики\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Вправа\(\PageIndex{23}\)

Вправа\(\PageIndex{24}\)