11.4: Усунення шляхом додавання
- Page ID
- 58538
Властивості, що використовуються в методі додавання
Ще один метод розв'язання системи двох лінійних рівнянь в двох змінних називається методом ліквідації шляхом додавання. Він схожий на метод ліквідації шляхом підстановки тим, що процес виключає одне рівняння і одну змінну. Метод усунення шляхом додавання робить використання наступних двох властивостей.
Якщо\(A, B\), і\(C\) є алгебраїчні вирази такі, що
\(A = B\)і\(C = D\)
Потім:\(A + C = B + D\)
\(ax + (-ax) = 0\)
Властивість 1 стверджує, що якщо скласти ліві сторони двох рівнянь разом і праві сторони одних і тих же двох рівнянь разом, отримані суми будуть рівними. Ми називаємо це додавання рівнянь. Властивість 2 стверджує, що сума двох протилежностей дорівнює нулю.
Метод додавання
Для вирішення системи двох лінійних рівнянь у двох змінних шляхом додавання,
- Напишіть при необхідності обидва рівняння в загальному вигляді,\(ax+by=c\).
- При необхідності помножте одне або обидва рівняння на множники, які дадуть протилежні коефіцієнти для однієї зі змінних.
- Додайте рівняння, щоб усунути одне рівняння та одну змінну.
- Вирішіть рівняння, отримане на кроці 3.
- Виконайте одну з наступних дій:
(а) Підставити значення, отримане на кроці 4, в будь-яке з вихідних рівнянь і вирішити, щоб отримати значення іншої змінної,
або
(b) Повторіть кроки 1-5 для іншої змінної. - Перевірте рішення в обох рівняннях.
- Запишіть рішення як впорядковану пару.
Метод додавання добре працює, коли коефіцієнт однієї зі змінних дорівнює 1 або числу, відмінному від 1.
Набір зразків A
Вирішити систему
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x-y = 2\\
3x + y = 14
\ end {масив}\ вправо.\)
Крок 1: Обидва рівняння відображаються у належному вигляді.
Крок 2:\(y\) Коефіцієнти вже протилежні,\(1\) і\(-1\), значить, немає необхідності в множенні.
Крок 3: Додайте рівняння.
\ (\ begin {масив} {c}
x-y = 2\\
3 x+y=14
\\ hline 4 x+0=16
\ кінець {масив}\)
Крок 4: Розв'яжіть рівняння\(4x = 16\)
\ (4х = 16\\
х = 4\)
Проблема поки не вирішена; нам все одно потрібно значення\(y\).
Крок 5:\(x = 4\) Замініть будь-яке з вихідних рівнянь. Ми будемо використовувати рівняння 1.
\ (\ begin {вирівняний}
4 - y &= 2 &\ text {Вирішити для} y\\
-y &= -2\\
y &= 2
\ end {вирівняний}\)
У нас зараз є\(x = 4, y = 2\).
Крок 6:\(x = 4\) Замініть і\(y = 2\) в обидва вихідні рівняння для перевірки.
(1)
\ (\ begin {вирівняний}
x - y &= 2\\
4 - 2 &= 2\ текст {Це правильно? }\\
2 &= 2\ текст {Так, це правильно.}
\ end {вирівняний}\)
(2)
\ (\ почати {вирівняний}
3x + y &= 14\\
3 (4) + 2 &= 14\\
12 + 2 &= 14\\ 14 &=
14\ 14\ текст {Так, це правильно.}
\ end {вирівняний}\)
Крок 7: Рішення є\((4, 2)\).
Дві лінії цієї системи перетинаються в\((4, 2)\).
Практика Set A
Вирішити кожну систему шляхом додавання.
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x + y = 6\\
2x - y = 0
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((2, 4)\)
Вирішити систему
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
х + 6y = 8\\
-x - 2y = 0
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((-4, 2)\)
Набір зразків B
Вирішіть наступні системи, використовуючи метод додавання.
Вирішити
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x + y = 6\\
2x - y = 0
\ end {масив}\ вправо.\)
Крок 1: Рівняння вже в належному вигляді,\(ax + by = c\)
Крок 2: Якщо помножити рівняння (2) на\(-3\), коефіцієнт\(a\) буде протилежним і стане\(0\) при складанні, таким чином усуваючи\(a\).
\ (\ лівий\ {\ почати {масив} {l}
{6 a - 5 b = 1 4}\\
{- 3 (2 a + 2 b) = - 3 (1 0)}
\ кінець {масив}\ праворуч\ ліворуч\ {\ почати {масив} {l}
6 a-5 b=14\\
-6 a-6 b=30
\ кінець {масив}\ праворуч. \ праворуч.\)
Крок 3: Додайте рівняння.
\ (\ почати {масив} {c}
6a - 5b = 14\\
-6a - 6b = 30\
\ hline 0 - 11b = 44
\ кінець {масив}\)
Крок 4: Розв'яжіть рівняння\(-11b = 44\)
\ (-11б = 44\\
б = -4\)
Крок 5: Заміна\(b = -4\)
\ (\ почати {вирівняний}
2а + 2b &= -10\\
2a + 2 (-4) &= -10\ текст {Вирішити для} a\\
2a - 8 &= -10\\
2a &= -2\\
a &= -1
\ кінець {вирівняний}\)
У нас зараз є\(a = -1\) і\(b = -4\).
Крок 6:\(a = -1\) Замініть і\(b = -4\) в обидва вихідні рівняння для перевірки.
(1)
\ (\ почати {вирівняний}
6a - 5b &= 14\\
6 (-1) - 5 (-4) &= 14\\
-6 + 20 &= 14\\
14 &= 14\\ текст {Так, це правильно.}
\ end {вирівняний}\)
(2)
\ (\ почати {вирівняний}
2а + 2b &= -10\\
2 (-1) + 2 (-4) &= -10\
-2 - 8 &= -10
-10 &= -10\ текст {Так, це правильно.}
\ end {вирівняний}\)
Крок 7: рішення є\((-1, -4)\).
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x + y = 6\\
2x - y = 0
\ end {масив}\ вправо.\)
Крок 1: Перепишіть систему в належному вигляді.
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
3x + 2y = -4\\
4x - 5y = 10
\ end {масив}\ вправо.\)
Крок 2: Так як коефіцієнти\(y\) вже мають протилежні ознаки, ми усунемо\(y\).
Помножте рівняння (1) на\(5\), коефіцієнт\(y\) в рівнянні 2.
Помножте рівняння (2) на\(2\), коефіцієнт\(y\) в рівнянні 1.
\ (\ лівий\ {\ begin {масив}
{l} {5 (3 x + 2 y) = 5 (- 4)}\\
{2 (4 х - 5 y) = 2 (1 0)}
\ кінець {масив}\ rightarrow\ ліворуч\ {\ begin {масив} {l}
15 x+10 y=-20\
8 x-10 y=20
\ end {масив}\ праворуч. \ праворуч.\)
Крок 3: Додайте рівняння.
\ (\ почати {масив} {c}
15x+ 10y = -20\\
8x - 10y = 20\
\ hline 23x + 0 = 0
\ кінець {масив}\)
Крок 4: Розв'яжіть рівняння\(23x = 0\)
\ (23х = 0\\
х = 0\)
Крок 5:\(x = 0\) Замініть будь-яке з вихідних рівнянь. Ми будемо використовувати рівняння 1.
\ (\ почати {вирівняний}
3x+ 2y &= -4\\
3 (0) + 2y &= -4\ текст {Вирішити для} y\\
0 + 2y &= -4\\
y &= -2
\ кінець {вирівняний}\)
Крок 6: Підстановка покаже, що ці значення перевіряють.
Крок 7: Рішення\((0, -2)\)
Практика Set B
Вирішіть кожну з наступних систем, використовуючи метод додавання.
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
3x + y = 1\\
5x + y = 3
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((1, -2)\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x + 4y = 1\\
x - 2y = -5
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((-3, 1)\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
2x+ 3y = -10\\
-x + 2y = -2
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((-2, -2)\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
5x - 3y = 1\\
8x - 6y = 4
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((-1, -2)\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
3x - 5y = 9\\
4x + 8y = 12
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((3, 0)\)
Додавання та паралельні або збігаються лінії
Коли лінії системи паралельні або збігаються, метод усунення дає результати, ідентичні методу усунення шляхом заміни.
Якщо обчислення усувають всі змінні і виробляють протиріччя, дві лінії системи паралельні і система називається непослідовною.
Якщо обчислення усувають всі змінні і дають ідентичність, два рядки системи збігаються і система називається залежною.
Набір зразків C
Вирішити
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
2x - y = 1\\
4x - 2y = 4
\ end {масив}\ вправо.\)
Крок 1: Рівняння в належній формі
Крок 2: Ми можемо усунути,\(x\) помноживши рівняння (1) на\(-2\).
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {c}
{- 2 (2 x - y) = - 2 (1)}\\
{4 x - 2 y = 4}
\ кінець {масив}\ quad\ rightarrow\ quad\ left\ {\ begin {масив} {c}
-4 y=-2\\
4 x-2 y=4
\ end {масив}\ праворуч. \ праворуч.\)
Крок 3: Додайте рівняння
\ (\ begin {масив} {c}
-4 x+2 y=-2\\ 4 x-2 y=4
\\ hline
0+0=2
\ end {масив}\)
Це помилково і, отже, є протиріччям. Лінії цієї системи паралельні. Ця система непослідовна.
Вирішити
\ (\ ліворуч\ {\ begin {масив} {r}
4x+ 8y = 8\\
3x + 6y = 6
\ end {масив}\ вправо.\)
Крок 1: Рівняння в належній формі.
Крок 2: Ми можемо усунути,\(x\) помноживши рівняння (1) на\(-3\) і рівняння (2) на\(4\).
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {c}
{- 3 (4 x + 8 y) = - 3 (8)}\\
{4 (3 x + 6 y) = 4 (6)}
\ кінець {масив}\ rightarrow\ ліворуч\ {\ begin {масив} {c}
-12 y=-24\
12 x+24 y=24
\ end {масив}\ праворуч. \ праворуч.\)
Крок 3: Додайте рівняння.
\ (\ почати {масив} {c}
-12x - 24y = -24\\
12x + 24y = 24\\
\ hline 0 + 0 = 0\\
0=0
\ кінець {масив}\)
Це правда і є ідентичністю. Лінії цієї системи збігаються.
Ця система є залежною.
Практика Set C
Вирішіть кожну з наступних систем, використовуючи метод додавання.
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
-х + 2y = 6\\
-6x + 12y = 1
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
непослідовні
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
4x - 28y = -4\\
x - 7y = -1
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
залежний
Вправи
Для наступних проблем вирішуйте системи, використовуючи ліквідацію шляхом додавання.
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x + y = 11\\
x - y = -1
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((5, 6)\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x + 3y = 13\\
x - 3y = - 11
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
3x - 5y = -4\\
-4x + 5y = 2
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((2, 2)\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
2x - 7y = 1\\
5x + 7y = -22
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ ліворуч\ {\ begin {масив} {r}
-3x + 4y = -24\\
3x - 7y = 42
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((0, -6)\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
8x+ 5y = 3\\
9x - 5y = -71
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ ліворуч\ {\ begin {масив} {r}
-х + 2y = -6\\
x + 3y = -4
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((2, -2)\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
4x+ y = 0\\
3x + y = 0
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x + y = -4\\
-x - y = 4
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
залежний
\ (\ ліворуч\ {\ begin {масив} {r}
-2x - 3y = -6\\
2x + 3y = 6
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ ліворуч\ {\ begin {масив} {r}
3x + 4y = 7\\
x + 5y = 6
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((1, 1)\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
4x - 2y = 2\\
7x + 4y = 26
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
3x + y = -4\\
5x - 2y = -14
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((-2, 2)\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
5x - 3y = 20\\
-х + 6y = -4
\ кінець {масив}\ вправо.\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
6x+ 2y = -18\\
-х + 5y = 19
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((-4, 3)\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x - 11y = 17\\
2x - 22y = 4
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
-2x + 3y = 20\\
-3x + 2y = 15
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((-1, 6)\)
\ (\ ліворуч\ {\ begin {масив} {r}
-5x + 2y = -4\\
-3x - 5y = 10
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
-3x - 4y = 2\\
-9x - 12y = 6
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
залежний
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
3x - 5y = 28\\
-4x - 2y = -20
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
6x - 3y = 3\\
10x - 7y = 3
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((1, 1)\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
-4x + 12y = 0\\
-8x + 16y = 0
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
3x + y = -1\\
12x + 4y = 6
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
непослідовні
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
8x+ 5y = -23\\
-3x - 3y = 12
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
2x+ 8y = 10\\
3x + 12y = 15
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
залежний
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
4x+ 6y = 8\\
6x + 8y = 12
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
10x+ 2y = 2\\
-15x - 3y = 3
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
непослідовні
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
x +\ dfrac {3} {4} y = -\ dfrac {1} {2}\
\ dfrac {3} {5} x + y = -\ dfrac {7} {5}
\ кінець {масив}\ праворуч.\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
x +\ dfrac {1} {3} y =\ dfrac {4} {3}\
-x +\ dfrac {1} {6} y =\ dfrac {2} {3}
\ кінець {масив}\ праворуч.\)
- Відповідь
-
\((0, 4)\)
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
8x - 3y = 25\\
4x - 5y = -5
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
-10x - 4y = 72\\
9x + 5y = 39
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((-\dfrac{258}{7}, \dfrac{519}{7})\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
12x+ 16y = -36\\
-10x + 12y = 30
\ end {масив}\ вправо.\)
\ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
25x - 32y = 14\\
-50x + 64y = -28
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
залежний
Вправи для огляду
Спростити і написати\((2x^{-3}y^4)^5(2xy^{-6})^{-5}\) так, щоб з'являлися тільки позитивні показники.
Спростити\(\sqrt{8} + 3\sqrt{50}\).
- Відповідь
-
\(17 \sqrt{2}\)
Вирішити радикальне рівняння\(\sqrt{2x + 3} + 5 = 8\)
Вирішити за допомогою графіків:
\ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
x + y = 4\\
3x - y = 0
\ end {масив}\ вправо.\)
- Відповідь
-
\((1, 3)\)
Вирішіть за допомогою методу підстановки:
\ (\ ліворуч\ {\ begin {масив} {r}
3x - 4y = -11\\
5x + y = -3
\ end {масив}\ вправо.\)