Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.2: Рішення за допомогою графіків

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58537

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Системи рівнянь

    Системи рівнянь

    Сукупність двох лінійних рівнянь у двох змінних називається системою лінійних рівнянь у двох змінних, або якщо коротше, системою рівнянь. Пара рівнянь

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    5 x-2 y=5\
    x+y=8
    \ end {масив}\ вправо.\)

    являє собою систему рівнянь. Фігурна дужка {використовується для позначення того, що два рівняння відбуваються разом (одночасно).

    Розв'язок системи рівнянь

    Рішення для системи

    Ми знаємо, що одним з нескінченно багатьох розв'язків одного лінійного рівняння в двох змінних є впорядкована пара. Впорядкована пара, яка є розв'язком обох рівнянь в системі, називається розв'язком системи рівнянь. Наприклад,\((3, 5)\) впорядкована пара - це рішення системи

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    5 x-2 y=5\
    x+y=8
    \ end {масив}\ вправо.\)

    оскільки\((3, 5)\) є рішенням обох рівнянь.

    \ (\ begin {масив} {Flushleft}
    5x - 2y &= 5 & x x + y &= 8\\
    5 (3) - 2 (5) &= 5 &\ текст {Це правильно? } & 3 + 5 &= 8 &\ текст {Це правильно? }\\
    15 - 10 &= 5 &\ text {Це правильно? } & 8 &= 8 &\ text {Так, це правильно.}\\
    5 &= 5 &\ text {Так, це правильно.}
    \ end {масив}\)

    Графіки систем рівнянь

    Одним із методів розв'язання системи рівнянь є побудова графіків. Ми знаємо, що графік лінійного рівняння в двох змінних є прямою лінією. Графік системи буде складатися з двох прямих ліній. Коли дві прямі лінії графуються, може призвести одна з трьох можливостей.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Лінії перетинаються в точці\(a, b\). Цей момент\((a, b)\) є рішенням відповідної системи.

    Графік з двох рядків: «перша лінія» та «друга лінія», що перетинаються у точці, позначеній координатами (a, b) та другою міткою з координатами x з від'ємною та половиною від'ємною координатою y. Лінія перша проходить через точку з координатами нуль, одна над двома, а лінія друга проходить через точку з координатами від'ємні чотири і одна половина, нуль.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Лінії паралельні. Вони не перетинаються. Система не має рішення.

    Графік з двох паралельних ліній: «Лінія перша» та «Друга лінія». Лінія перша проходить через дві точки з координатами нуль, один і п'ять, негативні два. Друга лінія проходить через дві точки з координатами нуль, три і п'ять, нуль.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Лінії збігаються (одна на іншу). Вони перетинаються в нескінченно багатьох точках. Система має нескінченно багато рішень.

    Графік з двох суміжних рядків: «Лінія перша» та «Друга лінія». Лінії проходять через ті ж дві точки з координатами негативні три, негативні одна і чотири, три. Оскільки лінії є збіженими лініями, вони мають однаковий графік.

    Незалежні, непослідовні та залежні системи

    Незалежні системи

    Системи, в яких лінії перетинаються саме в одній точці, називаються незалежними системами. У додатках незалежні системи можуть виникати, коли зібрані дані точні і повні. Наприклад,

    Сума двох чисел дорівнює 10, а добуток двох чисел - 21. Знайдіть цифри.

    У цьому додатку дані точні та повні. Рішення 7 і 3.

    Непослідовні системи

    Системи, в яких лінії паралельні, називаються неузгодженими системами. У додатках суперечливі системи можуть виникати, коли зібрані дані суперечливі. Наприклад,

    Сума двох парних чисел дорівнює 30, а різниця тих же двох чисел дорівнює 0. Знайдіть цифри.

    Дані суперечливі. Рішення цього додатка немає.

    Залежні системи

    Системи, в яких лінії збігаються, називаються залежними системами. У додатках залежні системи можуть виникати, коли зібрані дані неповні. Наприклад.

    Різниця двох чисел дорівнює 9 і двічі одне число на 18 більше, ніж в два рази більше іншого.

    Дані неповні. Рішень нескінченно багато.

    Метод графічного розв'язання системи

    Метод графічного розв'язання системи

    Розв'язувати систему рівнянь графічно: Графік обох рівнянь.

    1. Якщо лінії перетинаються, то рішенням є впорядкована пара, яка відповідає точці перетину. Система незалежна.
    2. Якщо лінії паралельні, рішення немає. Система непослідовна.
    3. Якщо лінії збігаються, рішень нескінченно багато. Система залежна.

    Набір зразків A

    Вирішіть кожну з наступних систем за допомогою графіків.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    2x+ y = 5\\
    x+y=2
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Запишіть кожне рівняння у формі перехоплення нахилу.

    1)\(y = 2x + 5\)

    2)\(y = -x + 2\)

    Графік кожного з цих рівнянь:

    Графік з двох рядків: «один» і «два». Лінії перетинаються в точці з координатами негативні один, три. Лінія перша проходить через точку з координатами нуль, п'ять. Лінія два проходить через дві точки з координатами нуль, два і один, один.

    Лінії, здається, перетинаються в точці\((-1, 3)\). Рішенням цієї системи є\((-1, 3)\), або

    \(x = -1, y = 3\).

    Перевірка: підставити\(x - 01, y = 3\) в кожне рівняння.

    1)

    \ (\ begin {масив} {Flushleft}
    -2x + y &= 5\\
    -2 (-1) + 3 &= 5 &\ text {Це правильно? }\\
    2 + 3 &= 5 &\ text {Це правильно? }\\
    5 &= 5 &\ текст {Так, це правильно}
    \ end {масив}\)

    2)

    \ (\ begin {масив} {Flushleft}
    x + y &= 2\
    -1 + 3 &= 2 &\ text {Чи правильно це? }\\
    2 &= 2 &\ текст {Так, це правильно.}
    \ end {масив}\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    -x + y = -1\\
    -x + y = 2
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Запишіть кожне рівняння у формі перехоплення нахилу.

    1)\(y = 2x + 5\)

    2)\(y = -x + 2\)

    Графік кожного з цих рівнянь.

    Графік з двох паралельних ліній: «один» і «два». Лінія перша проходить через дві точки з координатами нуль, два і одна, три. Рядок два проходить через дві точки з координатами нуль, негативний один і один, нуль.

    Ці лінії паралельні. Ця система не має рішення. Позначимо цей факт письмовим непослідовним.

    Ми впевнені, що ці лінії паралельні, тому що ми помічаємо, що вони мають однаковий нахил,\(m = 1\) для обох ліній. Лінії не збігаються, оскільки y-перехоплення різні.

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    \ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
    -2x + 3y -2\\
    -6x + 9y = -6
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Запишіть кожне рівняння у формі перехоплення нахилу.

    1)\(y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}\)

    2)\(y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}\)

    Графік з двох збігаються рядків: «один» і «два». Лінії проходять через ті ж дві точки з координатами нуль, негативні дві над трьома і три, одна і одна третина. Оскільки лінії збігаються, вони мають однаковий графік.

    Обидва рівняння однакові. Ця система має нескінченно багато рішень. Пишемо залежний.

    Практика Set A

    Вирішіть кожну з наступних систем за допомогою графіків. Запишіть упорядковане парне рішення або станьте, що система непослідовна, або залежна.

    Проблема практики\(\PageIndex{1}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    2x+ y = 1\\
    -x + y = -5
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Відповідь

    \(x=2,y=−3\)

    Графік з двох ліній, що перетинаються в точці з координатами два, від'ємні три. Одна з ліній проходить через точку з координатами один над двома, нулем, а інша лінія проходить через точку з координатами нуль, негативна п'ять.

    Проблема практики\(\PageIndex{2}\)

    \ (\ ліворуч\ {\ begin {масив} {r}
    -2x + 3y = 6\\
    6x - 9y = -18
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Відповідь

    залежний

    Графік з двох збігаються ліній, що проходять через ті ж дві точки з координатами нуль, два і три, чотири. Оскільки лінії збігаються, вони мають однаковий графік. Графік позначено як «збігаються лінії».

    Проблема практики\(\PageIndex{3}\)

    \ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
    3x+ 5y = 15\\
    9x + 15y = 15
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Відповідь

    непослідовні

    Графік з двох паралельних ліній. Одна з ліній проходить через дві точки з координатами нуль, одна і одна і дві треті, нуль. Інша лінія проходить через дві точки з координатами нуль, три і п'ять, нуль. Графік позначений як «паралельні лінії».

    Проблема практики\(\PageIndex{4}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    y = -3\\
    x + 2y = -4
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Відповідь

    \(x=2,y=−3\)

    Графік з двох ліній, що перетинаються в точці з координатами два, від'ємні три. Одна з ліній проходить через точку з координатами один нуль, негативні дві. Інша лінія паралельна осі х, і проходить через точку з координатами негативні три, негативні три.

    Вправи

    Для наступних завдань вирішуйте системи за допомогою графіків. Напишіть впорядковане парне рішення, або вкажіть, що система є непослідовною або залежною.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    x + y = -5\\
    -x + y = 1
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Відповідь

    \((−3,−2)\)

    Графік з двох ліній, що перетинаються в точці з координатами три від'ємні, дві негативні. Одна з ліній проходить через точку з координатами нуль, негативні п'ять і, інша лінія проходить через дві точки з координатами негативні один, нуль; і нуль, один.

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    x + y = 4\\
    x + y = 0
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    -3x + y = 5\\
    -x + y = 3
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Відповідь

    \((−1,2)\)

    Графік з двох ліній, що перетинаються в точці з координатами від'ємні один, два. Одна з ліній проходить через точку з координатами нуль, п'ять, а інша лінія проходить через дві точки з координатами нуль, три; і одна, чотири.

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    x - y = -6\\
    x + 2y = 0
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    3x + y = 0\\
    4x - 3y = 12
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Відповідь

    \((\dfrac{12}{13}, -\dfrac{36}{13})\)

    Графік з двох ліній, що перетинаються в точці з координатами дванадцять більше тринадцяти, негативних тридцяти шести більше тринадцяти. Одна з ліній проходить через точку з координатами нуль, нуль, а інша лінія проходить через дві точки з координатами нуль, негативні чотири; і три, нуль.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    \ (\ ліворуч\ {\ begin {масив} {r}
    -4x+ y = 7\\
    -3x + y = 2
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    \ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
    2x+ 3y = 6\\
    3x + 4y = 6
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Відповідь

    Ці координати важко оцінити. Ця проблема ілюструє, що графічний метод не завжди є найбільш точним.

    \((−6,6)\)

    Графік з двох ліній, що перетинаються в точці з координатами від'ємні шість, шість. Одна з ліній проходить через точку з координатами нуль, три над двома, а інша лінія проходить через дві точки з координатами нуль, два; і три, нуль.

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    x + y = -3\\
    4x + 4y = -12
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    2x - 3y = 1\\
    4x - 6y = 4
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Відповідь

    непослідовні

    Графік з двох паралельних ліній. Одна з ліній проходить через дві точки з координатами нуль, негативні дві над трьома і три, нуль. Інша лінія проходить через точку з координатами нуль, негативна одна над трьома.

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    x + 2y = 3\\
    -3x - 6y = -9
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    \ (\ лівий\ {\ begin {масив} {r}
    x - 2y = 6\\
    3x - 6y = 18
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Відповідь

    залежний

    Графік з двох збігаються ліній, що проходять через ті ж дві точки з координатами нуль, негативні три; і дві, негативні два. Оскільки лінії збігаються, вони мають однаковий графік.

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    \ (\ ліворуч\ {\ почати {масив} {r}
    2x+ 3y = 6\\
    -10x - 15y = 30
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Вправи для огляду

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Висловити\(0.000426\) в науковому позначенні.

    Відповідь

    \(4.26 + 10^{-4}\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Знайдіть товар\((7x - 3)^2\).

    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Поставити відсутнє слово. _____ лінії - це міра крутизни лінії.

    Відповідь

    схил

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    Поставити відсутнє слово. Рівняння виду\(ax^2 + bx + c = 0\), a\ not=0\), називається рівнянням.

    Вправа\(\PageIndex{17}\)

    Побудувати графік квадратного рівняння\(y = x^2 - 3\)

    Координатна площина xy з лініями сітки, позначена негативними п'ятьма і п'ятьма з кроком в одну одиницю для обох осей.

    Відповідь

    Графік параболи, що проходить через чотири точки з координатами від'ємні два, один; негативний один, негативний два; один, негативний два; і два, один.