Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3: Факторизація

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    63368

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У цьому розділі ми підійшли до серця тексту: структурне дослідження унікальної факторизації в знайомих контекстах\(\mathbb{Z}\) і\(F[x]\). У розділі 3.1 ми досліджуємо теореми, які формалізують більшу частину нашого розуміння цієї квінтесенціальної проблеми алгебри середньої школи: факторинг поліномів. Як ми бачили в теоремі 1.2.4 та теоремі 2.4.9, обидва\(\mathbb{Z}\) і\(F[x]\) мають алгоритм поділу і, таким чином, є евклідовими областями. У розділі 3.2 ми досліджуємо наслідки множення в евклідових областях. Тобто: враховуючи, що у нас добре поводиться алгоритм поділу в інтегральній області, що вже говорити про факторизаційні властивості області?

    Нарешті, у необов'язковому розділі 3.3 ми досліджуємо контексти, в яких унікальна факторизація на продукти невідновлюваних речовин не повинна триматися.

    • 3.1: Факторингові многочлени
      У цьому розділі нашою першою метою буде розширення звичних властивостей від Z до F [x]. Ми також побачимо, що особливості полінома (наприклад, його ступінь або існування коренів) дозволяють визначати додаткові критерії його нескорочуваності.
    • 3.2: Факторизація в евклідових доменах
      У цьому розділі наші дослідження структурних арифметичних властивостей, які гарантують унікальну факторизацію, завершуються теоремою 3.2.7. Зокрема, ми побачимо, що всі евклідові домени мають унікальну властивість факторизації. Щоб довести цю теорему, ми покладаємося частково на цікаву властивість ланцюжків ідеалів в евклідових областях.
    • 3.3: Неунікальна факторизація
      Незважаючи на свідчення зворотного, не кожне кільце має унікальну факторизаційну властивість.