Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3: Вузли і алгебра

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    63626

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Обчисліть алгебраїчні структури, які є інваріантами для вузлів, включаючи основну скручування та групу вузлів, і використовуйте їх для розрізнення вузлів.
    • Обчисліть поліноми, які є інваріантами для вузлів, включаючи поліноми Олександра, HOMFLY та Jones, і використовуйте їх для розрізнення вузлів.

    Числові інваріанти, такі як ми вивчали в розділі,\(2\) є потужними, особливо оскільки вони можуть допомогти нам виявити зв'язки між різними класами вузлів. Але хоча позначення Конвея наближається, жоден з цих числових інваріантів не може нести достатньо інформації про тип вузла, щоб дозволити нам напевно відрізнити один вузол від іншого. Хоча вони чутливі (різні цифри мають на увазі різні вузли), вони далекі від специфічних (одне і те ж число не означає один і той же вузол).

    In our search for a complete invariant for knots, then, we need a structure capable of holding more information than can a single number. In this culminating chapter we'll work our way through algebraic structures of increasing complexity, each of which adds much-needed specificity. The rogue's gallery of structures range from the familiar (polynomials) to the recognizable (groups) to the exotic (quandles), each with its own advantages and limitations. But reckoning with how each one encodes information about a knot is the key to understanding the role of algebraic thinking in knot theory in particular, and in mathematics more generally.

    Посилання

    1. Адамс, К. (2004). Книга вузлів: елементарне вступ до математичної теорії вузлів. Американське математичне товариство, ISBN 0-8218-3678-1. Глава 5.
    2. Остін, Д. (2016). Вузлові скрути гасяться хитростями. Американське математичне товариство Feature Column, доступний за адресою http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2016-03.
    3. Рольфсен, Д. (1990). Вузли і посилання. Виправлена передрук оригіналу 1976 року. Серія лекцій з математики (7). Американське математичне товариство. Глава 3.