20.5: Вправи

1

Якщо\(F\) це поле, показати, що\(F[x]\) це векторний простір\(F\text{,}\) над\(F[x]\) векторами в поліномах. Векторне додавання є поліноміальним доповненням, а скалярне множення визначається\(\alpha p(x)\) за\(\alpha \in F\text{.}\)

2

Доведіть, що\({\mathbb Q }( \sqrt{2}\, )\) є векторним простором.

3

\({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\)Дозволяти поле, породжене елементами форми,\(a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}\text{,}\) де\(a, b, c, d\) знаходяться в\({\mathbb Q}\text{.}\) Довести, що\({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) є векторним простором вимірності\(4\) над\({\mathbb Q}\text{.}\) Знайти основу для\({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\text{.}\)

4

Довести, що комплексні числа є векторним простором розмірності\(2\) над\({\mathbb R}\text{.}\)

5

Довести, що\(P_n\) множина всіх поліномів ступеня менше\(n\) утворюють підпростір векторного простору\(F[x]\text{.}\) Знайти основу\(P_n\) і обчислити розмірність\(P_n\text{.}\)

6

\(F\)Дозволяти поле і позначити множину\(n\) -кортежі\(F\) по\(F^n\text{.}\) заданих векторах\(u = (u_1, \ldots, u_n)\) і\(v = (v_1, \ldots, v_n)\) в\(F^n\) і\(\alpha\) в\(F\text{,}\) визначити векторне додавання по

\[ u + v = (u_1, \ldots, u_n) + (v_1, \ldots, v_n) = (u_1 + v_1, \ldots, u_n + v_n) \nonumber \]

і скалярне множення на

\[ \alpha u = \alpha(u_1, \ldots, u_n)= (\alpha u_1, \ldots, \alpha u_n)\text{.} \nonumber \]

Довести, що\(F^n\) є векторним простором вимірності\(n\) під цими операціями.

7

Які з наступних множин є підпросторами\({\mathbb R}^3\text{?}\) Якщо множина дійсно є підпростором, знайдіть основу для підпростору і обчислите його вимір.

1. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2 + x_3 = 0 \}\)
2. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 + 4 x_3 = 0, 2 x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}\)
3. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 - 2 x_2 + 2 x_3 = 2 \}\)
4. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2^2 = 0 \}\)

8

Показати, що множина всіх можливих\((x, y, z) \in {\mathbb R}^3\) розв'язків рівнянь

\ begin {вирівнювати*} Ax+ B y + C z & = 0\\ D х + E y + C z & = 0\ end {вирівнювати*}

сформувати підпростір\({\mathbb R}^3\text{.}\)

9

\(W\)Дозволяти підмножина безперервних функцій на\([0, 1]\) таких, що\(f(0) = 0\text{.}\) Довести, що\(W\) є підпростором\(C[0, 1]\text{.}\)

10

\(V\)Дозволяти бути вектор простір над\(F\text{.}\) Доведіть, що\(-(\alpha v) = (-\alpha)v = \alpha(-v)\) для всіх\(\alpha \in F\) і всіх\(v \in V\text{.}\)

11

\(V\)Дозволяти векторний простір вимірності\(n\text{.}\) Доведіть кожне з наступних тверджень.

1. Якщо\(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) є множиною лінійно незалежних векторів для,\(V\text{,}\) то\(S\) є основою для\(V\text{.}\)
2. Якщо\(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) прольоти,\(V\text{,}\) то\(S\) є основою для\(V\text{.}\)
3. Якщо набір\(S = \{v_1, \ldots, v_k \}\) лінійно незалежних векторів для\(V\) with,\(k \lt n\text{,}\) то існують\(v_{k + 1}, \ldots, v_n\) такі вектори, що

   \[ \{v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_n \} \nonumber \]

   є основою для\(V\text{.}\)

12

Довести, що будь-який набір векторів,\({\mathbf 0}\) що містять лінійно залежний.

13

\(V\)Дозволяти бути векторний простір. Показати, що\(\{ {\mathbf 0} \}\) є підпростором\(V\) нульової розмірності.

14

Якщо векторний простір\(V\) охоплюється\(n\) векторами, показати, що будь-який набір\(m\) векторів в\(V\) повинен бути лінійно залежним для\(m \gt n\text{.}\)

15. Лінійні перетворення

\(V\)\(W\)Дозволяти і бути векторні простори над полем\(F\text{,}\) розмірів\(m\) і\(n\text{,}\) відповідно. Якщо\(T: V \rightarrow W\) карта задовольняє

\ почати {вирівнювати*} Т (u+ v) & = T (u) + T (v)\\ T (\ альфа v) & =\ альфа T (v)\ end {вирівнювати*}

для всіх\(\alpha \in F\) і всіх\(u, v \in V\text{,}\) тоді\(T\) називається лінійним перетворенням з\(V\) в\(W\text{.}\)

1. Доведіть, що ядро\(T\text{,}\)\(\ker(T) = \{ v \in V : T(v) = {\mathbf 0} \}\text{,}\) є підпростором\(V\text{.}\) ядра іноді\(T\) називають нульовим простором\(T\text{.}\)
2. Доведіть, що діапазон або діапазон простір\(T\text{,}\)\(R(V) = \{ w \in W : T(v) = w \text{ for some } v \in V \}\text{,}\) є підпростором\(W\text{.}\)
3. Показати, що\(T : V \rightarrow W\) є ін'єкційним, якщо і тільки якщо\(\ker(T) = \{ \mathbf 0 \}\text{.}\)
4. \(\{ v_1, \ldots, v_k \}\)Дозволяти бути основою для нульового простору\(T\text{.}\) Ми можемо розширити цю основу, щоб бути\(\{ v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_m\}\) основою\(V\text{.}\) Чому? Доведіть, що\(\{ T(v_{k + 1}), \ldots, T(v_m) \}\) є основою для діапазону\(T\text{.}\) Зробіть висновок, що діапазон\(T\) має розмірність\(m - k\text{.}\)
5. Дозвольте\(\dim V = \dim W\text{.}\) показати, що\(T : V \rightarrow W\) лінійне перетворення є ін'єкційним тоді і лише тоді, коли воно є суб'єктивним.

16

\(W\)Дозволяти\(V\) і бути скінченними розмірними векторними просторами розмірності\(n\) над\(F\text{.}\) полем Припустимо, що\(T: V \rightarrow W\) це векторний простір ізоморфізму. Якщо\(\{ v_1, \ldots, v_n \}\) є основою\(V\text{,}\) шоу, що\(\{ T(v_1), \ldots, T(v_n) \}\) є основою\(W\text{.}\) висновку, що будь-який векторний простір над полем\(F\) вимірності\(n\) є ізоморфним до\(F^n\text{.}\)

17. Прямі суми

\(U\)\(V\)Дозволяти і бути підпростори\(W\text{.}\) векторного простору Сума\(U\) і\(V\text{,}\) позначено\(U + V\text{,}\) визначається як множина всіх векторів виду\(u + v\text{,}\) де\(u \in U\) і\(v \in V\text{.}\)

1. Доведіть, що\(U + V\) і\(U \cap V\) є підпростори\(W\text{.}\)
2. Якщо\(U + V = W\) і\(U \cap V = {\mathbf 0}\text{,}\) тоді\(W\), як кажуть, пряма сума. У цьому випадку ми пишемо\(W = U \oplus V\text{.}\) Show що кожен елемент\(w \in W\) може бути записаний однозначно як\(w = u + v\text{,}\) де\(u \in U\) і\(v \in V\text{.}\)
3. \(U\)Дозволяти підпростір\(k\) розмірності векторного простору\(W\) вимірності\(n\text{.}\) Доведіть, що існує підпростір\(V\) вимірності\(n-k\) такий, що\(W = U \oplus V\text{.}\) є підпростір\(V\) унікальним?
4. Якщо\(U\) і\(V\) є довільними підпросторами векторного простору\(W\text{,}\) показати, що

   \[ \dim( U + V) = \dim U + \dim V - \dim( U \cap V)\text{.} \nonumber \]

18. Подвійні простори

\(W\)Дозволяти\(V\) і бути скінченними розмірними векторними просторами над полем\(F\text{.}\)

1. Показати, що множина всіх лінійних перетворень від\(V\) в\(W\text{,}\) позначена\(\Hom(V, W)\text{,}\) є векторним простором над тим,\(F\text{,}\) де ми визначаємо векторне додавання наступним чином:

   \ почати {вирівнювати*} (S + T) (v) & = S (v) +T (v)\\ (\ альфа S) (v) & =\ альфа S (v)\ текст {,}\ end {align*}

   де\(S, T \in \Hom(V, W)\text{,}\)\(\alpha \in F\text{,}\) і\(v \in V\text{.}\)

2. \(V\)Дозволяти бути\(F\) -vector простір. Визначити подвійний простір бути\(V^* = \Hom(V, F)\text{.}\) Елементи в подвійному просторі\(V\) називаються лінійними функціоналами.\(V\) \(v_1, \ldots, v_n\)Дозволяти бути впорядкованою основою для\(V\text{.}\) If\(v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n\) є будь-яким вектором у\(V\text{,}\)\(\phi_i : V \rightarrow F\) визначенні лінійного функціоналу\(\phi_i\),\(\phi_i (v) = \alpha_i\text{.}\) показуючи, що вони утворюють основу для\(V^*\text{.}\) Ця основа називається подвійною основою\(v_1, \ldots, v_n\) (або просто подвійна основа, якщо контекст робить сенс зрозумілим).
3. Розглянемо основу\(\{ (3, 1), (2, -2) \}\) для\({\mathbb R}^2\text{.}\) чого складається подвійна основа\(({\mathbb R}^2)^*\text{?}\)
4. \(V\)Дозволяти бути векторний простір виміру\(n\) над полем\(F\) і нехай\(V^{* *}\) бути подвійний простір\(V^*\text{.}\) Показати, що кожен елемент\(v \in V\) породжує елемент\(\lambda_v\) в\(V^{**}\) і що карта\(v \mapsto \lambda_v\) є ізоморфізм\(V\) з\(V^{**}\text{.}\)