3.3: Підгрупи
- Page ID
- 64395
Визначення та приклади
Іноді ми хочемо дослідити менші групи, що сидять всередині більшої групи. Множина парних цілих чисел\(2{\mathbb Z} = \{\ldots, -2, 0, 2, 4, \ldots \}\) - це група під операцією додавання. Ця менша група природним чином сидить всередині групи цілих чисел, що додаються. Ми визначаємо підгрупу\(H\) групи як\(G\)\(H\) підмножини\(G\) такої, що коли\(G\) групова операція обмежена групою,\(H\text{,}\)\(H\) є групою в своєму власному праві. Зверніть увагу, що кожна група\(G\) з принаймні двома елементами завжди матиме принаймні дві підгрупи, підгрупу, що складається з одного елемента ідентичності та всієї самої групи. Підгрупа\(H = \{ e \}\) групи\(G\) називається тривіальної підгрупою. Підгрупа, яка є власною підмножиною\(G\), називається належною підгрупою. У багатьох прикладах, які ми досліджували до цього моменту, існують інші підгрупи крім тривіальних та неправильних підгруп.
Розглянемо множини ненульових дійсних чисел,\({\mathbb R}^*\text{,}\) з груповою операцією множення. Ідентичність цієї групи є\(1\) і зворотна будь-якого елемента\(a \in {\mathbb R}^*\) просто\(1/a\text{.}\) Ми покажемо, що
є підгрупою\({\mathbb R}^*\text{.}\)
Рішення
\(1\text{;}\)Однак ідентичність\({\mathbb R}^*\) is є\(1 = 1/1\) часткою двох ненульових цілих чисел. Отже, ідентичність\({\mathbb R}^*\) знаходиться в\({\mathbb Q}^*\text{.}\) Дано два елементи в\({\mathbb Q}^*\text{,}\) сказати,\(p/q\) і\(r/s\text{,}\) їх добуток\(pr/qs\) також в\({\mathbb Q}^*\text{.}\) Зворотний будь-якого елемента знову в\(p/q \in {\mathbb Q}^*\) тому що\({\mathbb Q}^*\)\((p/q)^{-1} = q/p\text{.}\) Оскільки множення в\({\mathbb R}^*\) асоціативне, множення в\({\mathbb Q}^*\) асоціативно.
Нагадаємо, що\({\mathbb C}^{\ast}\) це мультиплікативна група ненульових комплексних чисел. Нехай\(H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\)
Рішення
Тоді\(H\) це підгрупа з\({\mathbb C}^{\ast}\text{.}\) Це досить легко перевірити, що\(H\) це група під множення і що\(H \subset {\mathbb C}^{\ast}\text{.}\)
\(SL_2( {\mathbb R})\)Дозволяти підмножина,\(GL_2( {\mathbb R })\) що складається з матриць визначника; тобто матриця
знаходиться в\(SL_2( {\mathbb R})\) точності, коли\(ad - bc = 1\text{.}\)
Рішення
Щоб показати, що\(SL_2( {\mathbb R})\) це підгрупа загальної лінійної групи, ми повинні показати, що це група під множенням матриці. Матриця\(2 \times 2\) ідентичності знаходиться в\(SL_2( {\mathbb R})\text{,}\) як є оберненою матрицею\(A\text{:}\)
Залишається показати, що множення замкнуто; тобто, що добуток двох матриць детермінантної теж має детермінантну. Ми залишимо це завдання як вправу. Групу\(SL_2({\mathbb R})\) називають спеціальною лінійною групою.
Важливо розуміти, що підмножина\(H\) групи\(G\) може бути групою, не будучи підгрупою\(G\text{.}\)
Рішення
Для\(H\) того, щоб бути підгрупою\(G\text{,}\) вона повинна успадковувати\(G\text{.}\) двійкову операцію\(2 \times 2\) множини всіх матриць,\({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{,}\) утворює групу під операцією додавання. \(2 \times 2\)Загальна лінійна група є підмножиною\({\mathbb M}_2(\mathbb R)\) і є групою під множенням матриці, але це не підгрупа\({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{.}\) Якщо ми додамо дві оборотні матриці, ми не обов'язково отримуємо іншу оборотну матрицю. Зауважте, що
але нульової матриці немає в\(GL_2( {\mathbb R })\text{.}\)
Один із способів визначити, чи є дві групи однаковими, є вивчення їх підгруп. Крім тривіальної підгрупи і самої групи, група\({\mathbb Z}_4\) має єдину підгрупу, що складається з елементів\(0\) і\(2\text{.}\)
Рішення
З групи\({\mathbb Z}_2\text{,}\) ми можемо сформувати ще одну групу з чотирьох елементів наступним чином. Як набір ця група є\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Ми виконуємо операцію групи координатно; тобто,\((a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)\text{.}\) Рисунок 3.29 є таблицею додавання для\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Оскільки існує три нетривіальні власні підгрупи\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{,}\)\(H_1 = \{ (0,0), (0,1) \}\text{,}\)\(H_2 = \{ (0,0), (1,0) \}\text{,}\)\(H_3 = \{ (0,0), (1,1) \}\text{,}\)\({\mathbb Z}_4\) і\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) повинні бути різними групами.
\(Figure \text { } 3.29\). Таблиця додавання для\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\)
Деякі теореми підгруп
Розглянемо деякі критерії визначення того, коли підмножина групи є підгрупою.
Підмножина\(G\) є\(H\) підгрупою тоді і лише тоді, коли вона задовольняє наступним умовам.
- \(e\)Ідентичність\(G\) знаходиться в\(H\text{.}\)
- Якщо\(h_1, h_2 \in H\text{,}\) тоді\(h_1h_2 \in H\text{.}\)
- Якщо\(h \in H\text{,}\) тоді\(h^{-1} \in H\text{.}\)
- Доказ
-
По-перше, припустимо, що\(H\) це підгрупа\(G\text{.}\) Ми повинні показати, що три умови дотримуються. Оскільки\(H\) це група, вона повинна мати ідентичність\(e_H\text{.}\) Ми повинні показати,\(e\) що\(e_H = e\text{,}\) де особистість\(G\text{.}\) Ми знаємо, що\(e_H e_H = e_H\) і що,\(ee_H = e_H e = e_H\text{;}\) отже,\(ee_H = e_H e_H\text{.}\) Правостороннім скасуванням,\(e =e_H\text{.}\) Друга умова дотримується, оскільки підгрупа\(H\) є група. Щоб довести третю умову, нехай\(h \in H\text{.}\) Since\(H\) є групою, існує\(h' \in H\) такий елемент, що\(hh' = h'h = e\text{.}\) За єдиністю оберненого в\(G\text{,}\)\(h' = h^{-1}\text{.}\)
І навпаки, якщо три умови дотримуються, ми повинні показати, що\(H\) це група під тією ж операцією, що і,\(G\text{;}\) однак, ці умови плюс асоціативність бінарної операції є саме аксіомами, заявленими у визначенні групи.
\(H\)Дозволяти бути підмножиною групи\(G\text{.}\) Тоді\(H\) є підгрупою\(G\) if і тільки якщо\(H \neq \emptyset\text{,}\) і коли\(g, h \in H\) тоді\(gh^{-1}\) знаходиться в\(H\text{.}\)
- Доказ
-
По-перше, припустимо, що\(H\) це підгрупа\(G\text{.}\) Ми хочемо показати, що\(gh^{-1} \in H\) всякий раз, коли\(g\) і\(h\) знаходяться в\(H\text{.}\) Так як\(h\) знаходиться в\(H\text{,}\) його зворотному\(h^{-1}\) повинні бути також в\(H\text{.}\) Через закриття групової операції,\(gh^{-1} \in H\text{.}\)
І навпаки, припустимо, що\(H \subset G\) таке\(H \neq \emptyset\) і\(g h^{-1} \in H\) всякий раз\(g, h \in H\text{.}\), коли\(H\text{.}\) якщо\(g \in H\text{,}\) тоді\(eg^{-1} = g^{-1}\) знаходиться в Якщо тоді також знаходиться в\(H\text{.}\) Тепер нехай\(h_1, h_2 \in H\text{.}\) Ми повинні показати, що їх продукт також знаходиться в\(H\text{.}\) Однак,\(h_1(h_2^{-1})^{-1} = h_1 h_2 \in H\text{.}\) Отже,\(g \in H\text{,}\)\(gg^{-1} = e\) \(H\)є підгрупою\(G\text{.}\)