3.2: Визначення та приклади
- Page ID
- 64390
Цілі мод\(n\) і симетрії трикутника або прямокутника є прикладами груп. Двійкова операція або закон композиції на множині\(G\) - це функція\(G \times G \rightarrow G\), яка присвоює кожній парі\((a,b) \in G \times G\) унікальний елемент\(a \circ b\text{,}\) або\(ab\) в\(G\text{,}\) називається складом\(a\) і\(b\text{.}\) А. група\((G, \circ )\) - це\(G\) сукупність разом із законом композиції\((a,b) \mapsto a \circ b\), який задовольняє наступним аксіомам.
- Закон композиції асоціативний. Тобто,
\[ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \nonumber \]
для\(a, b, c \in G\text{.}\)
- Існує елемент, який\(e \in G\text{,}\) називається елементом ідентичності, такий, що для будь-якого елемента\(a \in G\)
\[ e \circ a = a \circ e = a\text{.} \nonumber \]
- Для кожного елемента\(a \in G\text{,}\) існує обернений елемент в G, позначається\(a^{-1}\text{,}\) таким, що
\[ a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e\text{.} \nonumber \]
Група\(G\) з властивістю, яке\(a \circ b = b \circ a\) для всіх\(a, b \in G\) називається абелевим або комутативним. Групи, які не задовольняють цю властивість, кажуть, є неабелевими або некомутативними.
Цілі числа\({\mathbb Z } = \{ \ldots , -1, 0, 1, 2, \ldots \}\) утворюють групу під операцією додавання.
Рішення
Двійкова операція над двома цілими числами\(m, n \in {\mathbb Z}\) - це просто їх сума. Оскільки цілі числа, що додаються, вже мають усталені позначення, ми будемо використовувати оператор\(+\) замість того,\(\circ\text{;}\) що is, ми напишемо\(m + n\) замість\(m \circ n\text{.}\) The identity is\(0\text{,}\) і обернене\(n \in {\mathbb Z}\) записується як\(-n\) замість\(n^{-1}\text{.}\) Notice що множина цілих чисел, що додаються, мають додаткову властивість, які\(m + n = n + m\) і, отже, утворюють абелеву групу.
Більшу частину часу ми будемо писати\(ab\) замість того,\(a \circ b\text{;}\) однак, якщо група вже має природну операцію, таку як додавання в цілі числа, ми будемо використовувати цю операцію. Тобто, якщо ми додаємо два цілих числа, ми як і раніше пишемо\(m + n\text{,}\)\(-n\) для зворотного, і 0 для ідентичності, як зазвичай. Ми також пишемо\(m - n\) замість\(m + (-n)\text{.}\)
Часто зручно описувати групу з точки зору таблиці додавання або множення. Такий стіл називається столом Кейлі.
Цілі числа mod\(n\) утворюють групу при додаванні по модулю\(n\text{.}\) Розглянемо,\({\mathbb Z}_5\text{,}\) що складається з класів еквівалентності цілих чисел\(0\text{,}\)\(1\text{,}\)\(2\text{,}\)\(3\text{,}\) і\(4\text{.}\)
Рішення
Визначаємо групову операцію\({\mathbb Z}_5\) по модульному додаванню. Ми записуємо двійкову операцію над групою адитивно; тобто\(m + n\text{.}\) пишемо Елемент 0 - це ідентичність групи і кожен елемент в\({\mathbb Z}_5\) має зворотну. Наприклад,\(2 + 3 = 3 + 2 = 0\text{.}\) Рисунок 3.10 - це таблиця Кейлі для\({\mathbb Z}_5\text{.}\) By Proposition 3.4,\({\mathbb Z}_n = \{0, 1, \ldots, n-1 \}\) це група під двійковою операцією додавання мод\(n\text{.}\)
\(Figure \text { } 3.10.\)Кейлі Стіл для\(({\mathbb Z_5}, +)\)
Не кожен набір з двійковою операцією є групою.
Рішення
Наприклад, якщо ми дозволимо модульне множення бути двійковою операцією на\({\mathbb Z}_n\text{,}\)\({\mathbb Z}_n\) потім не може бути групою. Елемент 1 діє як групова ідентичність, оскільки\(1 \cdot k = k \cdot 1 = k\) для будь-якого,\(k \in {\mathbb Z}_n\text{;}\) однак, мультиплікативний зворотний для\(0\) не існує, оскільки\(0 \cdot k = k \cdot 0 = 0\) для кожного\(k\) в\({\mathbb Z}_n\text{.}\) Навіть якщо ми розглянемо набір,\({\mathbb Z}_n \setminus \{0 \}\text{,}\) ми все ще можемо не мати групи. Наприклад, нехай\(2 \in {\mathbb Z}_6\text{.}\) Тоді 2 не має мультиплікативного зворотного, оскільки
\ почати {вирівнювати*} 0\ cdot 2 & = 0\ quad 1\ cdot 2 = 2\\ 2\ cdot 2 & = 4\ квадратний 3\ cdot 2 = 0\\ 4\ cdot 2 & = 2\ quad 5\ cdot 2 = 4\ текст {.} \ end {вирівнювати*}
За пропозицією 3.4, кожен ненульовий\(k\) має обернену в\({\mathbb Z}_n\) якщо\(k\) є відносно простим, щоб\(n\text{.}\) Позначити множину всіх таких ненульових елементів у\({\mathbb Z}_n\) по\(U(n)\text{.}\) Тоді\(U(n)\) є групою, яка називається групою одиниць\({\mathbb Z}_n\text{.}\) малюнка 3. 12 - це стіл Кейлі для групи\(U(8)\text{.}\)
\(Figure \text { } 3.12.\)Таблиця множення для\(U(8)\)
Симетрії рівностороннього трикутника, описані в розділі 3.1, утворюють неабелеву групу.
Рішення
Як ми спостерігали, не обов'язково вірно, що\(\alpha \beta = \beta \alpha\) для двох симетрій\(\alpha\) та\(\beta\text{.}\) використання рис. 3.7, який є таблицею Кейлі для цієї групи, ми можемо легко перевірити, чи симетрії рівностороннього трикутника дійсно є групою. Цю групу ми позначимо\(S_3\) або з\(D_3\text{,}\) причин, які будуть пояснені далі.
Використовуємо\({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) для позначення безлічі всіх\(2 \times 2\) матриць. \(GL_2({\mathbb R})\)Дозволяти підмножина\({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) складається з оборотних матриць; тобто матриця
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \nonumber \]
знаходиться в\(GL_2( {\mathbb R})\) якщо існує\(A^{-1}\) така матриця, що\(A A^{-1} = A^{-1} A = I\text{,}\) де\(I\) є матриця\(2 \times 2\) ідентичності.
Рішення
Для\(A\) того, щоб мати зворотне еквівалентно вимагати, щоб визначник був ненульовим; тобто множина оборотних матриць утворює групу,\(\det A = ad - bc \neq 0\text{.}\) яка називається загальною лінійною групою.\(A\) Ідентичність групи - матриця ідентичності
\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text{.} \nonumber \]
Обернене\(A \in GL_2( {\mathbb R})\) є
\[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\text{.} \nonumber \]
Твір двох оборотних матриць знову обертається. Матричне множення асоціативне, задовольняє аксіомі іншої групи. Для матриць взагалі не вірно, що,\(AB = BA\text{;}\) отже,\(GL_2({\mathbb R})\) є ще одним прикладом небелевої групи.
Нехай
\ почати {вирівнювати*} 1 & =\ почати {pmatrix} 1 & 0\ 0 & 1\ кінець {pmatrix}\ qquad I =\ почати {pmatrix} 0 & 1\ -1 & 0\ кінець {pmatrix}\\ J & =\ почати {pmatrix} 0 & I\\ кінець {pmatrix}\\ 0 & -i\ end {pmatrix}\ текст {,}\ кінець {align*}
де\(i^2 = -1\text{.}\)
Рішення
Потім відносини\(I^2 = J^2 = K^2 = -1\text{,}\)\(IJ=K\text{,}\)\(JK = I\text{,}\)\(KI = J\text{,}\)\(JI = -K\text{,}\)\(KJ = -I\text{,}\) і\(IK = -J\) тримайте. Набір\(Q_8 = \{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K \}\) являє собою групу, яка називається кватерніонной групою. Зверніть увагу, що\(Q_8\) є некомутативним.
\({\mathbb C}^\ast\)Дозволяти множина ненульових комплексних чисел. Під операцією множення\({\mathbb C}^\ast\) утворюється група. Ідентичність:\(1\text{.}\) Якщо\(z = a+bi\) є ненульовим комплексним числом,
Рішення
потім
\[ z^{-1} = \frac{a -bi}{a^2 +b^2} \nonumber \]
є зворотним Легко побачити, що інші групові аксіоми тримаються.\(z\text{.}\)
Група є скінченною, або має скінченний порядок, якщо вона містить скінченну кількість елементів; інакше група вважається нескінченною або має нескінченний порядок. Порядок скінченної групи - це кількість елементів, які вона містить. Якщо\(G\) група містить\(n\) елементи, ми\(|G| = n\text{.}\) пишемо Група\({\mathbb Z}_5\) є кінцевою групою порядку\(5\text{;}\), цілі числа\({\mathbb Z}\) утворюють нескінченну групу при додаванні, і ми іноді пишемо\(|{\mathbb Z}| = \infty\text{.}\)
Основні властивості груп
Елемент ідентичності в\(G\) групі унікальний; тобто існує лише один елемент\(e \in G\) такий, що\(eg = ge = g\) для всіх\(g \in G\text{.}\)
- Доказ
-
Припустимо, що\(e\) і\(e'\) обидва тотожності в\(G\text{.}\) Тоді\(eg = ge = g\) і\(e'g = ge' = g\) для всіх\(g \in G\text{.}\) Ми повинні показати, що\(e = e'\text{.}\) Якщо ми думаємо про особистість, то якщо\(ee' = e'\text{;}\)\(e'\) це ідентичність, то\(ee' = e\text{.}\) Об'єднавши ці два рівняння, ми\(e\) мати\(e = ee' = e'\text{.}\)
Інверси в групі теж унікальні. Якщо\(g'\) і\(g''\) є обома оберненнями елемента\(g\) в групі,\(G\text{,}\) то\(gg' = g'g = e\) і\(gg'' = g''g = e\text{.}\) Ми хочемо показати, що\(g' = g''\text{,}\) але\(g' = g'e = g'(gg'') = (g'g)g'' = eg'' = g''\text{.}\) Ми підсумовуємо цей факт у наступній пропозиції.
Якщо\(g\) є якимось елементом у групі,\(G\text{,}\) то\(g\text{,}\) обернене позначено\(g^{-1}\text{,}\) є унікальним
\(G\)Дозволяти бути групою. Якщо\(a, b \in G\text{,}\) тоді\((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\text{.}\)
- Доказ
-
Нехай\(a, b \in G\text{.}\) тоді\(abb^{-1}a^{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e\text{.}\) аналогічно,\(b^{-1}a^{-1}ab = e\text{.}\) Але за попередньою пропозицією, зворотні є унікальними; отже,\((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\text{.}\)
\(G\)Дозволяти бути групою. Для будь-якого\(a \in G\text{,}\)\((a^{-1})^{-1} = a\text{.}\)
- Доказ
-
Зверніть увагу, що\(a^{-1} (a^{-1})^{-1} = e\text{.}\) Отже, множивши обидві сторони цього рівняння на\(a\text{,}\) ми маємо
\[ (a^{-1})^{-1} = e (a^{-1})^{-1} = a a^{-1} (a^{-1})^{-1} = ae = a\text{.} \nonumber \]
Має сенс писати рівняння з груповими елементами і груповими операціями. Якщо\(a\) і\(b\) є двома елементами в групі, чи\(G\text{,}\) існує\(x \in G\) такий елемент, що\(ax = b\text{?}\) Якщо такий\(x\) існує, чи є він унікальним? Наступна пропозиція відповідає на обидва ці питання позитивно.
\(G\)Дозволяти бути групою\(a\) і\(b\) бути будь-якими двома елементами в\(G\text{.}\) Тоді рівняння\(ax = b\) і\(xa = b\) мають унікальні рішення в\(G\text{.}\)
- Доказ
-
Припустимо, що\(ax = b\text{.}\) Ми повинні показати, що таке\(x\) існує. Ми можемо помножити обидві сторони\(ax = b\) на,\(a^{-1}\) щоб знайти\(x = ex = a^{-1}ax = a^{-1}b\text{.}\)
Щоб показати унікальність, припустимо, що\(x_1\) і\(x_2\) є обидва рішення\(ax = b\text{;}\) тоді\(ax_1 = b = ax_2\text{.}\) Так\(x_1 = a^{-1}ax_1 = a^{-1}ax_2 = x_2\text{.}\) Доказ існування та унікальності рішення\(xa = b\) подібний.
Якщо\(G\) є групою, а\(a, b, c \in G\text{,}\) потім\(ba = ca\) має на увазі\(b = c\) і\(ab = ac\) має на увазі\ (b = c\ text { . }\
Ця пропозиція говорить нам про те, що правильні та ліві закони скасування вірні в групах. Доказ залишаємо як вправу.
Ми можемо використовувати експоненціальні позначення для груп так само, як у звичайній алгебрі. Якщо\(G\) це група, а\(g \in G\text{,}\) потім ми визначаємо\(g^0 = e\text{.}\) For\(n \in {\mathbb N}\text{,}\) ми визначаємо
\[ g^n = \underbrace{g \cdot g \cdots g}_{n \; \text{times}} \nonumber \]
і
\[ g^{-n} = \underbrace{g^{-1} \cdot g^{-1} \cdots g^{-1}}_{n \; \text{times}}\text{.} \nonumber \]
У групі дотримуються звичайні закони експонентів; тобто для всіх\(g, h \in G\text{,}\)
- \(g^mg^n = g^{m+n}\)для всіх\(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
- \((g^m)^n = g^{mn}\)для всіх\(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
- \((gh)^n = (h^{-1}g^{-1})^{-n}\)для всіх\(n \in {\mathbb Z}\text{.}\) Крім того, якщо\(G\) абеліан, то\((gh)^n = g^nh^n\text{.}\)
Доказ цієї теореми ми залишимо як вправу. Зверніть увагу, що\((gh)^n \neq g^nh^n\) в цілому, так як група може бути і не абеліанской. Якщо група є\({\mathbb Z}\) або\({\mathbb Z}_n\text{,}\) ми записуємо операцію групи адитивно і експоненціальна операція множитивно; тобто ми пишемо\(ng\) замість\(g^n\text{.}\) Закони експонентів тепер стають
- \(mg + ng = (m+n)g\)для всіх\(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
- \(m(ng) = (mn)g\)для всіх\(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
- \(m(g + h) = mg + mh\)для всіх\(n \in {\mathbb Z}\text{.}\)
Важливо усвідомлювати, що останнє твердження можна зробити тільки тому, що\({\mathbb Z}\) і\({\mathbb Z}_n\) є комутативними групами.
Історична записка
Хоча перше чітке аксіоматичне визначення групи не було дано до кінця 1800-х років, до цього часу групові теоретичні методи застосовувалися при розробці багатьох областей математики, включаючи геометрію та теорію алгебраїчних рівнянь.
Жозеф Луї Лагранж використовував групові теоретичні методи в мемуарах 1770—1771 рр. Для вивчення методів розв'язання поліноміальних рівнянь. Пізніше Еваріст Галуа (1811—1832) зумів розробити математику, необхідну для того, щоб точно визначити, які поліноміальні рівняння можуть бути розв'язані через коефіцієнти полінома. Основним інструментом Галуа була теорія груп.
Вивчення геометрії було здійснено революцією в 1872 році, коли Фелікс Кляйн запропонував вивчати геометричні простори, вивчаючи ті властивості, які є інваріантними при перетворенні простору. Софус Лі, сучасник Кляйна, використовував теорію груп для вивчення розв'язків рівнянь з частинними похідними. Одне з перших сучасних методів лікування теорії груп з'явилося в «Теорії груп скінченного порядку» Вільяма Бернсайда [1], вперше опублікованій в 1897 році.