2.6.6: Амплітуда

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54637

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вимірювання висоти хвилі від центральної осі.

Амплітуда синусоїдальної і косинусної функцій - це вертикальна відстань між синусоїдальної віссю і максимальним або мінімальним значенням функції. По відношенню до звукових хвиль амплітуда - це міра того, наскільки голосно щось.

Яка найпоширеніша помилка, допущена при графіку амплітуди синусоїди?

Амплітуда синусоїдальних функцій

Загальна форма синусоїдальної функції - це:

\(f(x)=\pm a\cdot \sin (b(x+c))+d\)

Функцію косинуса можна так само легко підставити, і для багатьох завдань буде простіше використовувати рівняння косинуса. оскільки і синусоїдальні, і косинусні хвилі ідентичні за винятком горизонтального зсуву, все залежить від того, де ви бачите хвилю, що починається.

Коефіцієнт а - амплітуда. Коли немає числа, то амплітуда дорівнює 1. Найкращий спосіб визначити амплітуду - це зображення. Нижче наведено графік функції\(f(x)=3\cdot \sin x\), яка має амплітуду 3.

Зверніть увагу, що амплітуда дорівнює 3, а не 6. Це відповідає абсолютному значенню максимального і мінімального значень функції. Якби функція була\(f(x)=−3\cdot \sin x\), то весь графік буде відображатися по осі x.

Також зверніть увагу, що вісь x на графіку вище не позначена. Це показує, що амплітуда - це вертикальна відстань. Синусоїдальна вісь - це нейтральна горизонтальна лінія, яка лежить між гребенями і западинами (або піками і долинами, якщо ви віддаєте перевагу). Для цієї функції синусоїдальна вісь була лише віссю x, але якби весь графік був зміщений вгору, синусоїдальна вісь більше не була б віссю x. Натомість це все одно буде горизонтальна лінія безпосередньо між гребенями та коритами, яка також є середнім значенням максимального та мінімального значень.

Перегляньте частину цього відео, обговорюючи амплітуду:

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали про найпоширенішу помилку, допущену при графіку амплітуди однієї хвилі. Найпоширеніша помилка - подвоєння або вдвічі зменшення амплітуди без необхідності.

Рішення

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Графік наступної функції шляхом побудови основних пунктів:\(f(x)=−2\cdot \cos x\).

Рішення

Амплітуда дорівнює 2, а значить максимальні значення будуть на рівні 2, а мінімальні - на -2. Зазвичай з базовою кривою косинуса точки, що відповідають 0\(\dfrac{\pi }{2}\)\(\pi\),\(\dfrac{3\pi }{2}\),,,\(2\pi \) падають вище, на або нижче лінії в наступній послідовності: вище, на, внизу, на, вище. Негативний знак у рівнянні перемикається вище на нижче і знизу з вище. Весь графік відбивається по осі x.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Напишіть рівняння косинуса для кожної з наступних функцій.

Рішення

Амплітуди трьох функцій 3, 1\(\dfrac{1}{2}\) і жодна з них не відображається по осі x.

\(\begin{aligned} f(x)&=3\cdot \cos x \\ h(x)&=\cos x \\ g(x)&=\dfrac{1}{2}\cdot \cos x \end{aligned}\)

Зверніть увагу, що сама по собі амплітуда завжди позитивна.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Колесо огляду радіусом 25 футів сидить поруч з платформою. Поїздка починається на платформі і їде вниз, щоб почати. Модель висоти в порівнянні з часом їзди.

Рішення

оскільки немає інформації про час, просто позначте вісь x як час. За часом нуль висота дорівнює нулю. Спочатку висота буде зменшуватися в міру того, як їзда йде нижче платформи. В кінцевому підсумку колесо знайде мінімум і почне збільшуватися знову до кінця, поки не досягне максимуму.