2.6.2: Переклад синусоїдних і косинусних функцій
- Page ID
- 54636
Функції трига зі зміщенням графіка
Дослідіть, як зміни рівнянь синусоїдних і косинусних функцій впливають на графіки функцій через перетворення (розтягування та зсуви).
Розминка
Синус і косинус - це функції, які відображають періодичну поведінку при графіках. Використовуйте інтерактивні нижче, щоб змінити амплітуду синусів і косинусів і змінити їх графіки. Пізніше в цьому розділі ви побачите, як змінити ці графіки за допомогою перетворення.
Додайте тут інтерактивний текст елемента. Це поле НЕ буде друкувати в PDF-файлах
Розробити це 1
Ви бачили, як лінійні, квадратичні і навіть експоненціальні та логарифмічні функції зазнають перетворень, щоб розтягнути і зсунути їх. Як граф періодичної функції може вести себе при таких типах перетворень? Вивчіть це питання за допомогою інтерактивного нижче.
Додайте тут інтерактивний текст елемента. Це поле НЕ буде друкувати в PDF-файлах
Загальне рівняння для синусоїдальної кривої:\(y=A\sin (w(x−h))+k\). У цьому рівнянні A представляє амплітуду. Як зміна значення амплітуди впливає на графік синусоїдальної функції? Почніть з ескізу графіка синусоїдальної функції\(y=\sin (x)\). Потім виберіть кілька різних значень для A, включаючи позитивні та від'ємні значення, числа близько 0, і сам 0, і графік цих рівнянь, а також. Що відбувається з вашим графіком, коли амплітуда змінюється?
Обговорення
Це графіки\(y=\sin (x)\) (червоний) і\(y=2\sin (x)\) (зелений). Який вплив мала зміна А з 1 на 2 на графік? Передбачте, як буде виглядати графік\(A=−2\), коли, а потім графік функції. Як би ви порівняли графіки\(y=2\sin (x)\) і\(y=−2\sin (x)\)? Іншими словами, чи змінюється амплітуда, коли A - додатне число проти негативного числа? Які узагальнення ви можете зробити щодо зв'язку між абсолютним значенням A та амплітудою?
Які узагальнення ви можете зробити щодо зв'язку між абсолютним значенням A та амплітудою?
Визначте рівняння для графіка нижче. Масштаб осі х - в градусах.
Рішення
Графік є оберненою основною синусоїдальною функцією,\(A\) що означає від'ємне число. Амплітуда графіка знаходиться в\(y=−5\) і\(y=+5\), інакше кажучи, мінімальне і максимальне значення на графіку знаходяться на відстані 5 від середньої лінії. Тому рівняння є\(y=−5\sin (x)\).
Розробити це 2
Так само, як і в попередньому активному навчанні, почніть з графіків\(y=\sin (x)\). Потім експериментуйте з різними значеннями для h, включаючи позитивні та від'ємні значення, і значення, близькі до 0. Як ці різні значення для h впливають на графік?
Обговорення
Нагадаємо, що вираз для синусоїдальної кривої є\(y=A\sin (w(x−h))+k\). Тому, коли\(h\) має позитивне значення, воно буде відніматися від x. h являє собою фазовий зсув функції. Як на графік по-різному впливають позитивні та негативні фазові зсуви? Чи можете ви створити рівняння з ненульовим зсувом фази, яке виглядало б однаково при графіку рівняння\(y=\sin (x)\)?
Графік\(y=\cos \left(x−\dfrac{\pi }{4}\right)\)
Рішення
Ця функція буде зміщена\(\dfrac{\pi }{4}\) одиницями вправо. Найпростіший спосіб намалювати криву - це почати з батьківського графіка, а потім перемістити його вправо правильну кількість одиниць.
Розробити це 3
Використовуйте той самий процес, що і вище, щоб вивчити, як впливає синусоїдальна крива при зміні значення k, яке також називається середньою лінією або синусоїдальною віссю. Виберіть кілька різних значень для k, включаючи позитивні та від'ємні значення, щоб побачити, як k впливає на графік.
Обговорення
Батьківський графік\(y=\sin (x)\) зсувається вгору або вниз на графіку при зміні k. Іншими словами, графік - це перекладені\(k\) одиниці. Якщо\(k=1\), графік зсувається вгору або вниз? А як щодо того, якщо\(k=−1\)?
Розробити це 4
Як впливає батьківський графік синусоїдальної кривої\(w\), змінюючи значення частоти? Що станеться, якщо\(w\) позитивне число\(v\) негативне? Передбачте, що станеться, якщо\(w\) (частота) зміниться як на позитивні, так і на негативні значення, а також значення від 0 до 1 і значення більше 1.
Обговорення
Частота описує кількість циклів графіка між\(0^{\circ}\) і\(360^{\circ}\), або між\(\pi\) і\(2\pi \). Коли частота дорівнює 2, в цьому діапазоні є два цикли.
Розробити це 5: Перетворення графіка синусоїдальних функцій
Експериментуйте з цими PLIX, щоб побачити зв'язок між функцією синуса та її графіком.
CK-12 ІНТЕРАКТИВНІ
Графік перекладених синусоїдних функцій
Без використання графічного калькулятора, намалюйте графік синусоїдальної функції\(A=3\)\(\dfrac{\pi }{2}\) \(w=2\), де,, і середня лінія дорівнює 4.
Рішення
Почніть з написання рівняння зі значеннями, наведеними вище:
\(y=3\sin \left(2\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)+4\)
Буде корисно почати з батьківського графіка і перекладати його по одному кроку за раз. Це графік функції\(y=\sin (x) \)
Графік y = sin x
Тепер відрегулюйте фазовий зсув функції, який зміщує графік вліво на\(\dfrac{\pi }{2}\) або\(90^{\circ}\). Синій графік нижче - це функція\(y=\sin \left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\).
Графіки y = sin x (помаранчевий), і\(y = \sin \left(x- \dfrac{\pi}{2}\right)\) (синій)
Тепер відрегулюйте середню лінію функції. На розташування середньої лінії впливає величина k. У цьому прикладі\(k = 4\), який зміщує графік вгору на 4 одиниці на осі y. На фіолетовому графіку нижче наведено функцію\(y=\sin (x−\dfrac{\pi }{2})+4\).
Графіки\(y = \sin \left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\) (синій) і\(y = \sin \left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)+4\) (фіолетовий)
Далі відрегулюйте амплітуду функції. Амплітуда фіолетового графіка дорівнює 1, але нове рівняння має амплітуду 3, тому відстань між середньою лінією (яка зараз знаходиться в\(y = 4\)) і максимальним і мінімальним значеннями y має бути 3. Тому максимальні і мінімальні значення повинні бути при\(y = 1\) і\(y = 7\). Зелений графік нижче призначений для рівняння:\(y=3\sin \left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)+4\).
Графіки\(y = \sin \left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)+4\) (фіолетовий) і\(y = 3\sin \left(x- \dfrac{\pi}{2}\right)+4\) (зелений)
Нарешті, потрібно відрегулювати частоту графіка. Оскільки значення\(w = 2\), графік повинен пройти через 2 повних циклів між\(0^{\circ}\) і\(360^{\circ}\) або між 0 і\(2\pi \). Червоний графік нижче - це функція\(y=3\sin \left(2\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)+4\).
Червоний графік - це функція\(y=3\sin \left(2\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)+4\).
Визначення тригонометричного рівняння з перетвореного батьківського графа
Знайдіть рівняння кривої косинуса нижче.
Рішення
Батьківський графік позначений зеленим кольором (нижче). Він рухається вгору на 3 одиниці (червоний), а потім вправо 3\ pi 4 одиниці (синій). Тому рівняння є\(y=\cos \left(x−\dfrac{3\pi }{4}\right)+3\).
Якщо ви перемістили криву косинуса назад, тоді рівняння буде\(y=\cos \left(x+\dfrac{5\pi }{4}\right)+3\).
Рецензія
Для питань 1-4 зіставте рівняння з його графіком.
Зіставте рівняння з графіком.
- \(y=\sin \left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\)
- \(y=\cos \left(x−\dfrac{\pi }{4}\right)+3\)
- \(y=\cos \left(x+\dfrac{\pi }{4}\right)−2\)
- \(y=\sin \left(x−\dfrac{\pi }{4}\right)+2\)
Який графік вище також представляє ці рівняння в #5 і #6?
- \(y=\cos \left(x−\pi \right)\)
- \(y=\sin \left(x+\dfrac{3\pi }{4}\right)−2\)
- Напишіть інше рівняння синуса для графа А
- Написання: Скільки рівнянь синуса (або косинуса) можна згенерувати для однієї кривої? Чому?
Для питань 9 - 14 наведіть графік наступні рівняння з\([−2\pi , 2\pi ]\).
- \(y=2\sin \left(x+\pi 4\right)\)
- \(y=1+\cos x\)
- \(y=\cos \left(x+\pi \right)−2\)
- \(y=\sin \left(x−\dfrac{\pi}{6} \right)\)
- \(y=\cos \left(3(x−1)\right)−3\)
- Критичне мислення: чи є різниця між\(y=\sin x+1\) і\(y=\sin (x+1)\)? Поясніть свою відповідь.