2.6.7: Період і частота
- Page ID
- 54655
Горизонтальна відстань пройдена до повторення значень y; кількість повних хвиль в\(2\pi\).
Правила перетворення щодо горизонтального розтягування та скорочення безпосередньо застосовуються до синусоїдних та косинусних графіків. Якщо синусоїдальний графік розтягується по горизонталі на коефіцієнт\(\dfrac{1}{2}\), це те саме, що і горизонтальне стиснення на коефіцієнт 2.
Як змінюється рівняння, коли граф синуса або косинуса розтягується в 3 рази?
Період і частота синусоїдальних функцій
Загальне рівняння для синусоїдальної функції таке:
\(f(x)=\pm a\cdot \sin (b(x+c))+d\)
\(\pm\)Керує відображенням по осі x. Коефіцієнт a контролює амплітуду. Константа d контролює вертикальний зсув. Тут ви побачите, що коефіцієнт b керує горизонтальним розтягуванням.
Період
Горизонтальна розтяжка вимірюється для синусоїдальних функцій як їх періодів. Ось чому це сімейство функцій ще називають сімейством періодичних функцій. Період синусоїди - це довжина повного циклу. Для основних синусоїдних і косинусних функцій період дорівнює\(2\pi \). Цю довжину можна виміряти різними способами. У проблемах зі словами та в інших складних обставин може бути найкориснішим виміряти від піку до піку.
Наступні три хвилі мають різні періоди. Щоб ранжувати кожну хвилю за періодом від найкоротшої до найдовшої, подивіться на відстань між кожною вершиною.
Червона хвиля має найкоротший період.
Зелена і чорна хвилі мають рівні періоди. Незважаючи на те, що зелена хвиля має більшу амплітуду, ніж чорна хвиля, вони обидва мають однаковий період.
Блакитна хвиля має найдовший період.
Можливість вимірювати період функції кількома способами дозволяє різним рівнянням моделювати однаковий графік. На зображенні вище верхня червона лінія представляла б регулярну хвилю косинуса. Центральна червона лінія представляла б собою регулярну синусоїду з горизонтальним зсувом. Нижня червона лінія представляла б негативну косинусну хвилю з горизонтальним зсувом. Ця гнучкість у перспективі означає, що багато прикладів, керованої практики та проблем практики можуть мати кілька рішень. Наразі намагайтеся завжди вибирати функцію, яка має період, що починається з x = 0.
Частота
Частота - це інший спосіб вимірювання горизонтальної розтяжки. Для звуку частота відома як висота тону. При синусоїдальних функціях частота - це кількість циклів, які відбуваються в\(2\pi \). Більш короткий період означає, що більше циклів може вміститися в 2\ pi і, отже, більш високу частоту. Період і частота обернено пов'язані рівнянням:
\(period=\dfrac{2\pi }{frequency}\)
Рівняння основної синусоїдальної функції є\(f(x)=\sin x\). У цьому випадку b, частота, дорівнює 1, що означає, що один цикл відбувається в\(2\pi \). Якщо\(b=\dfrac{1}{2}\), період є,\(\dfrac{2\pi }{\dfrac{1}{2}}\) що означає період є\(4\pi \) і графік розтягується.
Раніше вас запитали, як змінюється рівняння, коли графік синуса або косинуса розтягується в 3 рази.
Рішення
Якщо синусоїдальний графік горизонтально розтягується на коефіцієнт 3, то загальне рівняння має\(b=\dfrac{1}{3}\). Це пов'язано з тим\(b\), що частота і підраховує кількість (або дріб) періоду, який вписується в нормальний період\(2\pi \). Графічно синусоїда зробить повний цикл в\(6\pi \). Аналогічно, косинус граф буде мати\(b=\dfrac{1}{3}\) і буде мати період\(6\pi \).
Визначте амплітуду, вертикальний зсув, період і частоту наступної функції. Потім графік функції.
Рішення
\(f(x)=2\sin \left(\dfrac{x}{3}\right)+1\)
\(a=2\),\(b=\dfrac{1}{3}\),\(d=1\)
Амплітуда дорівнює 2, вертикальний зсув - 1, а частота -\(\dfrac{1}{3}\). Період був би\(\dfrac{2\pi }{\dfrac{1}{3}}\), або\(6\pi \).
Часто найскладнішою частиною графічних періодичних функцій є маркування осей. Оскільки період\(6\pi \), почніть з малювання синусоїдальної осі, зміщеної відповідним чином. Потім розділіть їх\(6\pi\) на чотири частини так, щоб 5 напрямних точок синусоїдального графіка можна було побудувати з урахуванням амплітуди та відображення. Найостанніше, що потрібно зробити, це намалювати і подовжити криву.
Вимірювальна палиця на доці вимірює приплив, щоб бути 18 футів, а відлив - 6 футів. Для перемикання між відливами і припливами потрібно близько 6 годин. Визначте графічну та алгебраїчну модель для припливів, знаючи, що при цьому\(t=0\) відбувається приплив.
Рішення
Зазвичай найкращим способом дій для проблем зі словами є виявлення інформації, сюжетних точок, ескізу, а потім, нарешті, придумати рівняння.
З наданої інформації можна вивести наступні моменти. Зверніть увагу, як синусоїдальну вісь можна вважати середнім показником високих і відливів.
| Час (годин) | Рівень води (фути) |
| 0 | 18 |
| 6 | 6 |
| 12 | 18 |
| 3 |
\(\dfrac{18+6}{2}=\dfrac{1}{2}\) |
| 9 | 12 |
Побудувавши ці точки та заповнивши синусоїдальну вісь, ви можете спостерігати графік косинусів.
Амплітуда 6 так\(a=6\). Відсутня вертикальне відображення. Так як період 12 можна визначити частоту b:
\(12=\dfrac{2\pi }{b}\rightarrow b=\dfrac{\pi }{6}\)
Вертикальний зсув дорівнює 12 так\(d=12\). Таким чином, у вас є всі частини, щоб зробити алгебраїчну модель:
\(f(x)=6\cdot \cos \left(\dfrac{\pi }{6}x\right)+12\)
Графік наступної функції:\(g(x)=−\cos (8x)+2\).
Рішення
Маркування є найважливішою та складною частиною цієї проблеми. Амплітуда дорівнює 1. Форма - негативний косинус. Вертикальний зсув дорівнює 2. Період є\(\dfrac{2\pi }{8}=\dfrac{\pi }{4}\).
Враховуючи наступний графік, визначте амплітуду, період та частоту та створіть алгебраїчну модель.
Рішення
Амплітуда дорівнює 3. Форма - негативний косинус. Період - це те\(\dfrac{5\pi }{2}\), що означає\(b=\dfrac{4}{5}\). Вертикальний зсув дорівнює 1. \(f(x)=−3 \cdot \cos \left(\dfrac{4}{5}x\right)+1\).
Рецензія
Нижче наведено частоту та період кожної функції.
- \(f(x)=\sin (4x)+1\)
- \(g(x)=−3\cos (2x)\)
- \(h(x)=\cos \left(\dfrac{1}{2}x\right)+2\)
- \(k(x)=−2\sin \left(\dfrac{3}{4}x\right)+1\)
- \(j(x)=4\cos (3x)−1\)
Графік кожної з наступних функцій.
- \(f(x)=3\sin (2x)+1\)
- \(g(x)=2.5\cos (\pi x)−4\)
- \(h(x)=−\sin (4x)−3\)
- \(k(x)=\dfrac{1}{2}\cos (2x)\)
- \(j(x)=−2\sin \left(\dfrac{3}{4}x\right)−1\)
Створіть алгебраїчну модель для кожного з наступних графіків.
-
Малюнок\(\PageIndex{7}\) -
Малюнок\(\PageIndex{8}\) -
Малюнок\(\PageIndex{9}\) - Під час 0 це приплив, а вода в певному місці висотою 10 футів. Під час відливу через 6 годин вода висотою 2 фути. Враховуючи, що припливи можна моделювати синусоїдальними функціями, знайдіть графік, який моделює цей сценарій.
- Знайдіть рівняння, яке моделює сценарій у попередній задачі.
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.5.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| амплітуда | максимальна відстань, на яку частинки середовища рухаються зі своїх положень спокою при проходженні хвилі. |
| синусоїдальна функція | Синусоїдальна функція - це синусоїдальна або косинусна хвиля. |
| синусоїдальні функції | Синусоїдальна функція - це синусоїдальна або косинусна хвиля. |
| Вертикальний зсув | Вертикальний зсув є результатом додавання постійного члена до значення функції. Позитивний термін призводить до зсуву вгору, а негативний - до зсуву вниз. |
Додаткові ресурси
Відео: Трансформація тригонометричних графіків: амплітуда, період та фазовий зсув
Практика: Період і періодичність
Реальний світ: Як годинник