2.6.5: Амплітуда, період та частота

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54618

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вертикальні та горизонтальні властивості синусоїдних і косинусних хвиль.

Ви працюєте в науковій лабораторії одного дня, коли ваш вчитель просить вас зробити трохи більш просунуту роботу з нею над звуком. Схвильований допомогти, ви з готовністю погоджуєтеся. Вона дає вам пристрій, який відображає звукові хвилі, коли вони надходять через мікрофон. Потім вона дає вам «базовий» графік того, як виглядатиме графік звукової хвилі:

Ф-Д_84С976С9883EB335C0C5Ф8336С00Е48Б40Ф8ФДА2ФА27743556C841+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Потім вона просить вас побудувати звукову хвилю, яку вона збирається генерувати. Однак вона каже вам, що звукова хвиля буде вдвічі гучнішою і вдвічі більшою за висоту, ніж базова звукова хвиля, яку вона дала вам.

Чи можете ви визначити, наскільки великим повинен бути графік для побудови нової звукової хвилі? А як щодо інтервалу чисел на осі «x»?

Амплітуда і період

В інших уроках ви мали справу з тим, як знайти амплітуду хвилі, або період хвилі. Тут ми займемо кілька хвилин для роботи з проблемами, які включають як амплітуду, так і період, даючи нам дві змінні для роботи, коли думаєте про синусоїдальні рівняння.

Пошук періоду, амплітуди та частоти

1. Знайдіть період, амплітуду і частоту\(y=2\cos \dfrac{1}{2}x\) і намалюйте графік від 0 до\(2\pi \).

Це косинусний графік, який був розтягнутий як по вертикалі, так і по горизонталі. Тепер він досягне до 2 і вниз до -2. Частота є\(\dfrac{1}{2}\) і щоб побачити повний період, нам потрібно буде графік інтервал\([0, 4\pi ]\). Оскільки ми лише виходимо\(2\pi \), ми побачимо лише половину хвилі. Повна косинусна хвиля виглядає так:

Ф-Д_5ДД0ФБ4159Ф7Ф7А8127Д6Е426381Ф29А3Е7 ББД70226ДФ1Бе5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Отже, половина його полягає в тому, що це:

Ф-Д_КАД 4С6Б4Ф7Ф3 АБД 3720ФБ84Б5А383АФ290ББ43ЕФЦ627Е4ЕДБ3С656+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Це означає, що цю половину потрібно розтягнути, щоб вона закінчилася\(2\pi \), а це означає, що\(\pi\) на графіку слід перетинати вісь x:

F-D_0ЕФ49Д0Ф28CFD39FF6С7Д31Ф242944А9Е3ФФ0384А9А9Ф9Ф612517Б9ФА+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Остаточний ескіз виглядав би так:

Ф-Д_3Д7Е23 БК С73ФЧ4Е4Д09 АСЕА 433474 АЕД 1ФДА64АБ 4343427Е1Ф213+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{5}\)

амплітуда = 2, частота =\(\dfrac{1}{2}\), період\(=\dfrac{2\pi }{\dfrac{1}{2}}=4\pi\)

2. Визначте період, амплітуду, частоту та рівняння наступних синусоїд:

Ф-Д_С42249ДБА 341Д57Б1Б1Д5017Ф9Д3А2Д10Б905376БФКА1Е7С5Е6КДА74+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Амплітуда 1,5. Зауважте, що одиниці виміру на осі x не позначені за значеннями\(\pi \). Здається, це синусоїда, оскільки y−interchept дорівнює 0.

Одна хвиля, здається, завершується в 1 одиниці (не\(1\pi\) одиниць! ), тому період дорівнює 1. Якщо одна хвиля завершена в 1 одиницю, скільки хвиль буде в\(2\pi \) одиницях? У попередніх задачах вам давали частоту і попросили знайти період, використовуючи такі співвідношення:

\(p=\dfrac{2\pi }{B}\)

Де B - частота, а p - період. Маючи трохи алгебри, ми можемо перетворити цю формулу і вирішити її для B:

\(p=\dfrac{2\pi }{B} \rightarrow Bp=2\pi \rightarrow B=\dfrac{2\pi }{p}\)

Тому частота становить:

\(B=\dfrac{2\pi }{1}=2\pi\)

Якби ми мали графік це, щоб\(2\pi \) ми побачили\(2\pi \) (або трохи більше 6) повні хвилі.

Заміна цих значень в рівнянні дає:\(f(x)=1.5\sin 2\pi x\).

3. Знайдіть період, амплітуду і частоту\(y=3\sin 2x\) і намалюйте графік від 0 до\(6\pi \).

Це синусоїдальний графік, який був розтягнутий як вертикально, так і по горизонталі. Тепер він досягне до 3 і вниз до -3. Частота 2, і тому ми побачимо, що хвиля повторюється двічі протягом інтервалу від 0 до\(2\pi \).

Ф-д_адф 4С7918БФе 29382АЕ9Д849816 С1БА 493 ЕС1587328583E00D473B0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{7}\)

амплітуда = 3, частота = 2,\(\text{period }=\dfrac{2\pi }{2}=\pi\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, чи можете ви визначити, наскільки великі графіки повинні бути для побудови нової звукової хвилі.

Рішення

Ви знаєте, що амплітуда хвилі - це максимальна висота, яку вона робить вище нуля. Ви також знаєте, що частота - це кількість циклів в секунду. Шкала графіка, яку ви робите, повинна мати можливість враховувати максимальну висоту хвилі, яка була подвоєна, а також частоту, яка в два рази вище. Ваш графік повинен виглядати наступним чином: