2.6.1: Синусоїдальний граф та косинус

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54620

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Функції трига графіка та розтягування

Ваша місія, якщо ви вирішите прийняти його, оскільки агент тригонометрії полягає в графіку функції\(y=2\cos x\). Який мінімум і максимум вашого графіка?

Графічний синус і косинус

У цьому понятті ми візьмемо одиничне коло і намалюємо його на декартовій площині.

Для цього ми збираємося «розплутати» одиничний коло. Нагадаємо, що для одиничного кола координати - це\((\cos \theta ,\sin \theta)\) де θ - центральний кут. Для графування\(y=\sin x\) перепишіть координати так,\((x,\sin x)\) де\(x\) знаходиться центральний кут, в радіанах. Нижче ми розширили координати синуса для\(\dfrac{3\pi }{4}\).

Ф-Д_018Д8С3БД 5088Д8Б935ДА10ДС79С62С4Д1609 Б265888Д154Е540110+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Зверніть увагу, що крива коливається від 1 до -1. Максимальне значення дорівнює 1, що дорівнює\(x=\dfrac{\pi }{2}\). Мінімальне значення - -1 ат\(x=\dfrac{3\pi }{2}\). Ця «висота» синусоїдальної функції називається амплітудою. Амплітуда - абсолютне значення середнього між найвищою та найнижчою точками на кривій.

Тепер подивіться на домен. Здається, якби ми продовжили криву, вона повторилася б. Це означає, що синусоїда є періодичною. Озирніться назад на одиничне коло, значення синуса змінюється, поки не досягне\(2\pi \). Після\(2\pi \), значення синуса повторюються. Тому крива вище буде повторювати кожну\(2\pi \) одиницю, роблячи період\(2\pi \). Домен - це всі дійсні числа.

F-д_546БФБА 4Ф980 AEEB 29DD98409E9E91F3D5F0AC1F93F9F93F49B4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Аналогічно, коли ми розгортаємо криву косинуса\(y=\cos x\), з одиничного кола, ми маємо:

F-D_4C0573A3С790А4445Д7Б90А558315Е71Д1ФБА 97Ф5А1319113CC4F12F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Зверніть увагу, що діапазон також знаходиться між 1 і -1, і домен буде всі дійсні числа. Крива косинуса також періодична, з періодом в\(2\pi \). Якщо ми намалюємо графік\(2\pi\) минулим, це буде виглядати так:

F-д_Ф396Д453Е5887Д95ФДД6КС73079Е8166497Ф8ФА06CC4C31 AB5212C0E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Порівнюючи\(y=\sin x\) і\(y=\cos x\) (нижче), ми бачимо, що криві майже однакові, за винятком того, що крива синуса починається з,\(y=0\) а крива косинуса починається з\(y=1\).

F-д_4е1669б3496ce71805d77163bcbc85cd20a11994365fe1b30fa+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Якщо ми зрушимо\(\dfrac{\pi }{2}\) одиниці кривої вліво або вправо, вони будуть перекриватися. Будь-який горизонтальний зсув тригонометричної функції називається фазовим зсувом.

Давайте виділимо виділені точки на\(y=\sin x\) і\(y=\cos x\) нижче.

F-D_249448949A02 ДДФД0ФД 552F7E2E9649C0C5B74A4A582E6807DFCCFEC+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{6}\)

F-д_58Б79Е3859С1486C607D36222420Б3ДФ1Е4Б3С095АА282БК8ЕА6С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Для кожної точки подумайте про те, яке значення синуса або косинуса в цих значеннях. Для точки А\(\sin \dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), отже, точка є\(\left(\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\). Для точки Б ми повинні працювати назад, тому що це не точно на вертикальній лінії, а на горизонтальній. Коли це\(\sin x=\dfrac{−1}{2}\)? Коли\(x=\dfrac{7 \pi }{6}\) або\(\dfrac{11 \pi }{6}\). Дивлячись на місце розташування точки Б, ми знаємо, що це другий варіант. Тому справа в тому\(\left(\dfrac{11 \pi }{6}, \dfrac{1}{2}\right)\).

Для кривої косинуса точка C збігається з точкою A, оскільки синус і косинус для\(\dfrac{\pi }{4}\) однакові. Що стосується точки D, ми використовуємо ту ж логіку, як ми зробили для точки B. Коли це робить\( \cos x=−\dfrac{1}{2}\)? Коли\(x=\dfrac{2 \pi }{3}\) або\(\dfrac{4 \pi }{3}\). Знову ж таки, дивлячись на розташування точки D, ми знаємо, що це другий варіант. Справа в тому\(\left(\dfrac{4\pi }{3}, \dfrac{1}{2}\right)\).

Амплітуда

Окрім графіки\(y=\sin x\) та\(y=\cos x\), ми можемо розтягнути графіки, розмістивши число перед синусом або косинусом, наприклад\(y=a\sin x\) або\(y=a\cos x\). \(\mid a \mid\)- амплітуда кривої.

Давайте проведемо графік\(y=3\sin x\) протягом двох періодів.

Почніть з базової синусоїдальної кривої. Нагадаємо, що одним періодом батьківського графа\(y=\sin x\), є\(2\pi \). Тому два періоди будуть\(4\pi \). 3 вказує на те, що діапазон тепер буде від 3 до -3, а крива буде розтягнута так, що максимум дорівнює 3, а мінімальний - -3. Червона крива є\(y=3\sin x\).

F-д_С329Б4315020105 Е89 АСС8 АЧ8А5993Д4308Ф27 Дек 2282А62Ф2716Б46Б6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Зверніть увагу, що x-перехоплення збігаються з батьківським графом. Зазвичай, коли ми графуємо тригонометричну функцію, ми завжди показуємо два повних періоди функції, щоб вказати, що вона повторюється.

Тепер давайте графік\(y=\dfrac{1}{2}\cos x\) протягом двох періодів.

Тепер амплітуда буде 12, і функція буде «згладжуватися», а не розтягуватися.

F-D_C951226 АФБ063ЦА7Б0С0ФА6 ДБ9952ЕС86451д6Ф7С4648079А455+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Нарешті, давайте графік\(y=−\sin x\) протягом двох періодів.

Останні дві проблеми стосувалися зміни a і a були позитивними. Тепер, a є негативним. Так само, як і в інших функціях, коли провідний коефіцієнт негативний, функція відбивається над віссю x. \(y=−\sin x\)знаходиться в червоному кольорі.

F-D_B716765E48 CFC4264447D87AED 5ЕФ738Б3742КБ6616D9CC6CF70F1D3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам було запропоновано знайти мінімум і максимум графіка\(y=2\cos x\).

Рішення

2 перед функцією косинуса вказує на те, що діапазон тепер буде від 2 до —2, а крива буде розтягнута так, що максимум дорівнює 2, а мінімум - 2.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Справа в\(\left(\dfrac{5\pi }{6}, \dfrac{1}{2} \right)\) цьому\(y=\sin x\)? Звідки ти знаєш?

Рішення

Підставте в точку x і y і подивіться, чи рівняння відповідає дійсності.

\(\dfrac{1}{2}=\sin \left( \dfrac{5\pi }{6} \right)\)

Це вірно, як\(\left(\dfrac{5\pi }{6}, \dfrac{1}{2} \right)\) і на графіку.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\(y=6\cos x\)

Рішення

Розтягніть криву косинуса так, щоб максимум дорівнював 6, а мінімальний - -6.

F-D_52BAA5C DEF 09756C9160C8CFF3DF765FC6A6B0AB3DB290C2ACCF+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

\(y=−3\cos x\)

Рішення

Графік відбивається над віссю х і розтягується так, що амплітуда дорівнює 3.

F-д_37441ЕД 25119А9Д50Д462013588961Ф4ДК183Б840Ф7516FF427B4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

\(y=\dfrac{3}{2}\sin x\)

Рішення

Фракція еквівалентна 1,5, що становить 1,5 амплітуди.

Ф-д_50С50Б9122С35139863БК 3508С74Ф25546194СБ9991СБ 3А5Ф70+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Рецензія

Визначте точне значення кожної точки на\(y=\sin x\) або\(y=\cos x\).

Малюнок\(\PageIndex{14}\)
Перерахуйте всі точки в інтервалі\([0, 4\pi ]\) де\(\sin x=\cos x\). Використовуйте графік з #1, щоб допомогти вам.
Нічия\(y=\sin x\) з\([0,2\pi ]\). Знайти\(f\left(\dfrac{\pi }{3}\right)\) і\(f\left(\dfrac{5\pi }{3}\right)\). Покладіть ці значення на кривій.

Для питань 4-12 графік синус або косинус кривої протягом двох періодів.

\(y=2\sin x\)
\(y=−5\cos x\)
\(y=\dfrac{1}{4}\cos x\)
\(y=−\dfrac{2}{3}\sin x\)
\(y=4\sin x\)
\(y=−1.5\cos x\)
\(y=\dfrac{5}{3}\cos x\)
\(y=10\sin x\)
\(y=−7.2\sin x\)
Графік\(y=\sin x\) і\(y=\cos x\) на тому ж наборі осей. Скільки одиниць вам доведеться зрушити синусоїдальну криву (вліво чи вправо), щоб вона ідеально перекривала криву косинуса?
Графік\(y=\sin x\) і\(y=−\cos x\) на тому ж наборі осей. Скільки одиниць вам довелося б зрушити синусоїдальну криву (вліво чи вправо), щоб вона ідеально перекривалася\(y=−\cos x\)?