2.1.4: СОС

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.1.3: ГРІХ
- 2.1.5: Синус і косинус комплементарних кутів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Визначте косинус заданих довжин сторін

Розуміння косинусів

Роджер розмістив сходи довжиною 12 футів проти сторони будинку таким чином, що підніжжя сходів знаходиться в 5 футах від основи будинку. Коли Роджер готується піднятися по сходах, щоб очистити дощові жолоби будинку, його сусід кричить йому: «Вам краще відрегулювати цю сходи. Кут між сходами і землею повинен бути менше» $75^{\circ}$ .

Роджер відступив і подивився на положення сходів. «Він міг би мати рацію», - подумав Роджер. «Я повинен з'ясувати розмір цього кута, перш ніж піднятися на цю сходи».

Як же Роджер може обчислити міру кута?

У цьому понятті ви навчитеся розуміти тригонометричне співвідношення косинуса.

косинус

Тригонометрія - це галузь математики, яка використовується для визначення довжин сторін і вимірювання кутів з великою точністю. Співвідношення довжин сторін прямокутного трикутника називається тригонометричним відношенням. Ставлення довжини сторони поряд з опорним кутом до довжини гіпотенузи відоме як відношення косинусів. Гострий кут прямокутного трикутника утворюється гіпотенузою і одним з катетів трикутника. Цю ніжку називають суміжною стороною опорного кута. Співвідношення косинусів - це відношення сусідньої сторони до гіпотенузи.

На кожній наведеній діаграмі позначте кожну сторону прямокутного трикутника як:

Гіпотенуза (H); Бічний протилежний опорний кут (O); Сторона, прилегла до опорного кута (A).

Коефіцієнт косинусів для першого трикутника можна записати такими словами:

косинус $\angle A=\dfrac{\text{side adjacent }\angle A}{\text{hypotenuse}}$ або в скороченому вигляді як косинус $\angle A=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$

Коефіцієнт косинусів для першого трикутника може бути записаний символами як:

$\cos A=\dfrac{AC}{AB}$

Коефіцієнт косинусів для другого трикутника можна записати словами так:

косинус $\angle F = \dfrac{\text{side adjacent }\angle F}{\text{hypotenuse}}$ або в скороченому вигляді як косинус $\angle F=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$

Коефіцієнт косинусів для другого трикутника можна записати символами як:

$\cos F=\dfrac{DF}{EF}$

Визначимо значення співвідношення косинусів кожного з гострих кутів за допомогою наступного прямокутного трикутника. Висловіть співвідношення косинусів словами і символами. Потім, використовуючи значення з відповідних сторін, замініть символи на цифри і висловити співвідношення спочатку у вигляді дробу, а потім у вигляді десяткового округлення до найближчої десятитисячної (чотири розряди після десяткової).

$\Delta ABC$ з $\angle A$ як опорний кут.

Спочатку назвіть сторони трикутника.

Гіпотенуза знаходиться поперек від прямого кута. Протилежна сторона поперек від\ кута А. Сторона поруч\ кут A є суміжною. Сторони позначені літерами Н, О, А відповідно.

Далі запишіть співвідношення $\angle A$ косинусів для у всіх необхідних формах.

Слова:

косинус $\angle A=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$

Символи:

$\cos A=\dfrac{AC}{AB}$

Дріб:

$\cos A=\dfrac{5}{13}$

Десяткова:

$\cos A=0.3846$

$\Delta ABC$ з $\angle B$ як опорний кут.

Зверніть увагу, що місця протилежної та сусідньої сторін змінилися з того місця, де вони були, коли $\angle A$ був опорний кут.

Спочатку назвіть сторони трикутника.

Гіпотенуза знаходиться поперек від прямого кута. Протилежна сторона - поперек від $\angle B$ . Сторона поруч $\angle B$ є суміжною. Сторони позначені літерами Н, О, А відповідно.

Далі запишіть співвідношення $\angle B$ косинусів для у всіх необхідних формах.

Слова:

косинус $\angle B=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$

Символи:

$\cos B=\dfrac{BC}{AB}$

Дріб:

$\cos B=\dfrac{12}{13}$

Десяткова:

$\cos B=0.9231$

Якщо $\cos A=0.3846$ , то міру $\angle A$ можна знайти за допомогою функції зворотного косинуса на TI- калькуляторі.

По-перше, дотримуйтесь історії натискань клавіш нижче, щоб обчислити міру $\angle A$ .

Далі подивіться на екран калькулятора, щоб побачити міру $\angle A$ .

Потім запишіть міру $\angle A$ до найближчої десятої.

$\angle A=67.4^{\circ}$

Відповідь: $67.4^{\circ}$

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вам давали проблему з приводу Роджера і драбини. Йому потрібно з'ясувати кут, який сходи робить з землею.

Як же Роджер може з'ясувати міру кута?

Рішення

Він може використовувати співвідношення косинусів.

Спочатку намалюйте та позначте прямокутний трикутник, щоб змоделювати проблему.

Далі назвіть сторони трикутника.

Далі пишемо співвідношення косинусів прописом.

$\cos A=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$

Далі пишемо співвідношення, використовуючи символи.

$\cos A=\dfrac{AB}{AC}$

Далі виражаємо співвідношення у вигляді дробу, використовуючи значення відповідних сторін.

$\cos A=\dfrac{5}{12}$

Далі виражаємо співвідношення у вигляді десяткової коми з округленням до чотирьох знаків після десяткової.

$\cos A=0.4167$

Далі скористайтеся оберненою функцією косинуса (cos−1) на калькуляторі TI, щоб знайти міру $\angle A$ .

Потім запишіть міру $\angle A$ до найближчої десятої.

$\angle A=65.4^{\circ}$

Відповідь: $65.4^{\circ}$

Міра $\angle A$ є $65.4^{\circ}$ . Це менше, ніж $75^{\circ}$ так Роджер може відремонтувати дощові жолоби.

Приклад $\PageIndex{2}$

Скористайтеся співвідношенням косинусів для обчислення міри $\angle A$ до найближчої десятої.

Рішення

По-перше, за допомогою опорного кута назвіть сторони трикутника.

Далі пишемо співвідношення косинусів прописом.

$\cos A=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$

Далі пишемо співвідношення, використовуючи символи.

$\cos A=\dfrac{AB}{AC}$

Далі виражаємо співвідношення у вигляді дробу, використовуючи значення відповідних сторін.

$\cos A=\dfrac{38}{50}$

Далі виражаємо співвідношення у вигляді десяткової коми з округленням до чотирьох знаків після десяткової.

$\cos A=0.76$

Десяткова кома закінчується. Ви можете записати десяткове число як 0.7600, але це не обов'язково.

Далі скористайтеся оберненою функцією косинуса ( $\cos^{−1}$ ) на калькуляторі TI, щоб знайти міру $\angle A$ .

Потім запишіть значення $\angle A$ до найближчої десятої.

$\angle A=40.5^{\circ}$

Відповідь: $40.5^{\circ}$

Приклад $\PageIndex{3}$

Якщо $\cos B=0.7984$ , яка міра $\angle B$ до найближчої десятої.

Рішення

Спочатку скористайтеся Ti-калькулятором для визначення міри за $\angle B$ допомогою функції зворотного косинуса (\ (\ cos^ {−1}) на калькуляторі. Ця функція знаходиться над кнопкою cos на калькуляторі. Щоб отримати доступ до цієї функції, натисніть

Далі введіть десяткове значення 0.7984 в дужках, де миготить курсор.

Далі натискаємо enter і на екрані калькулятора відобразиться міра кута.

Потім запишіть міру $\angle B$ до найближчої десятої.

$\angle B=32.0^{\circ}$ .

Відповідь: $32.0^{\circ}$

Приклад $\PageIndex{4}$

Для наступного рішення, яке показує використання коефіцієнта косинусів для обчислення міри\ кута B, намалюйте та позначте прямокутний трикутник ABC, який використовувався для вирішення.

\ (\ почати {вирівняний}
\ cos B &=\ frac {\ текст {суміжний}} {\
текст {гіпотенуза}}\\ cos B &=\ FRAC {B}\
\ cos B &=\ frac {36} {76.7}
\ cos B &= 0.4694\
\ cos ^ {-1} (\ cos B) &=\ cos {-1} (0.4694)\\
\ кут B &=62.00454372\\
\ кут B &= 62.0^ {\ circ}
\ кінець {вирівняний}\)

Рішення

Спочатку запишіть те, що ви знаєте з рішення.

$\Delta ABC$ являє собою прямокутний трикутник.

$\overline{BC}$ є суміжною стороною трикутника.

$\overline{BC}$ має довжину 36.

$\overline{AB}$ - гіпотенуза трикутника.

$\overline{AB}$ має довжину 76,7.

$\angle B$ є опорним кутом.

Далі використовуйте записану інформацію, щоб намалювати та позначити трикутник.

Вищевказаний трикутник представляє проблему.

Приклад $\PageIndex{5}$

Для заданого прямокутного трикутника використовуйте коефіцієнт косинусів для обчислення міри $\angle A$ до найближчої десятої.

Рішення

По-перше, за допомогою опорного кута назвіть сторони трикутника.

Далі пишемо співвідношення косинусів прописом.

$\cos A=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$

Далі пишемо співвідношення, використовуючи символи.

$\cos A=\dfrac{AC}{AB}$

Далі виражаємо співвідношення у вигляді дробу, використовуючи значення відповідних сторін.

$\cos A=\dfrac{32.4}{45.2}$

Далі виражаємо співвідношення у вигляді десяткової коми з округленням до чотирьох знаків після десяткової.

$\cos A=0.7168$

Далі скористайтеся оберненою функцією косинуса ( $\cos^{−1}$ ) на калькуляторі TI, щоб знайти міру $\angle A$ .

Потім запишіть міру $\angle A$ до найближчої десятої.

$\angle A=44.2^{\circ}$ .

Відповідь: $44.2^{\circ}$

Рецензія

Вирішіть кожну проблему.

Що таке косинус $\angle G$ ?
Що таке косинус $\angle H$ ?
Як визначити косинус?

4. Що таке косинус $\angle R$ ?

5. Що таке косинус $\angle S$ ?

Що таке косинус $\angle A$ ?
Що таке косинус $\angle B$ ?
Яка довжина відсутньої сторони округлена до найближчої сотої?

Дайте відповідь на кожне з наступних питань.

Чи пов'язаний косинус з кутом?
Вам потрібно знати довжини сторін трикутника, щоб написати косинус?
Яка довжина сторін вам потрібна?
$\dfrac{5}{20}$ Якби косинус був би числовим значенням косинуса?
$\dfrac{5}{25}$ Якби косинус був би числовим значенням косинуса?
$\dfrac{3}{33}$ Якби косинус був би числовим значенням косинуса?
$\dfrac{12}{14}$ Якби косинус був би числовим значенням косинуса?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.14.

Лексика

Термін	Визначення
косинус	Косинус кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, прилеглої до даного кута, на довжину гіпотенузи.
Тригонометричні коефіцієнти	Співвідношення, які допомагають нам зрозуміти відносини між сторонами і кутами прямих трикутників.

Додаткові ресурси

Відео: Базова тригонометрія

Практика: COS

Розуміння косинусів

косинус

Приклад2.1.4.1\PageIndex{1}

Приклад2.1.4.2\PageIndex{2}

Приклад2.1.4.3\PageIndex{3}

Приклад2.1.4.4\PageIndex{4}

Приклад2.1.4.5\PageIndex{5}

Рецензія

Огляд (Відповіді)

Лексика

Додаткові ресурси

Приклад $\PageIndex{1}$

Приклад $\PageIndex{2}$

Приклад $\PageIndex{3}$

Приклад $\PageIndex{4}$

Приклад $\PageIndex{5}$