2.1.3: ГРІХ
Тригонометричні співвідношення на основі сторін прямокутних трикутників по відношенню до кута.
Розуміння синусів

Якову доводиться струнні вогні навколо карниза свого сараю з плоским дахом. Оскільки він боїться висоти, він хоче планувати це починання дуже ретельно. Він знає, що з міркувань безпеки сходи повинні робити кут75∘ або менше з землею. Якщо у Якова є сходи довжиною 6,5 метрів, щоб розмістити проти сторони сараю висотою 2,5 метра, то який кут буде робити сходи з землею? Джейкобу потрібно бути впевненим, що кут відповідає вимогам безпеки, перш ніж він поставить одну ногу на сходи. Як він може з'ясувати міру кута між сходами і землею?
У цьому понятті ви навчитеся розуміти тригонометричне співвідношення синуса.
Сінес
Тригонометрія - це галузь математики, яка використовується для визначення довжин сторін і вимірювання кутів з великою точністю. Ви будете розглядати тільки результати, отримані при використанні прямокутних трикутників.
Сторона прямокутного трикутника, розташована навпроти кута 90^ {\ circ}, є найдовшою стороною трикутника і називається гіпотенузою. Дві коротші сторони трикутника, які часто називають ніжками, мають специфічні назви стосовно розташування одного з гострих кутів прямокутного трикутника.

В обох трикутниках гіпотенуза протилежна прямому куту. У першому трикутнику кут, позначений червоним кольором, називається опорним кутом, і він використовується для назви ніжок трикутника. Міра опорного кута може бути задана або, можливо, доведеться розрахувати його міру. Як би там не було, один з гострих кутів буде посилатися в питанні або проблемі. Сторона поперек від опорного кута називається протилежною стороною. Третя сторона називається суміжною стороною, і саме сторона трикутника разом з гіпотенузою утворює опорний кут.
У другому трикутнику кут, позначений червоним кольором, називається опорним кутом, і він використовується для назви катетів цього трикутника. Сторона поперек від опорного кута називається протилежною стороною. Третя сторона називається суміжною стороною, і саме сторона трикутника разом з гіпотенузою утворює опорний кут.
Розташування гіпотенузи ніколи не змінюється, але розташування протилежної і сусідньої сторін залежить від того, який гострий кут є опорним кутом.
На кожній наведеній діаграмі позначте кожну сторону прямокутного трикутника як:
Гіпотенуза (H); Бічний протилежний опорний кут (O); Сторона, прилегла до опорного кута (A)

Співвідношення довжин сторін прямокутного трикутника називається тригонометричним відношенням. Ставлення довжини сторони, протилежної опорному куту, до довжини гіпотенузи відоме як відношення s ine. Коефіцієнт синуса пов'язаний з опорним кутом прямокутного трикутника, а не з прямим кутом.
Коефіцієнт синуса для першого трикутника можна записати словами так:
синус∠A=side opposite∠Ahypotenuse або в скороченому вигляді як синус∠A=oppositehypotenuse
Коефіцієнт синуса для першого трикутника може бути записаний символами як:
sinA=BCAB
Коефіцієнт синуса для другого трикутника можна записати словами так:
синус∠F=side opposite∠Fhypotenuse або в скороченому вигляді як синус∠F=oppositehypotenuse
Коефіцієнт синуса для першого трикутника може бути записаний символами як:
sinF=DEEF
Визначимо значення синусоїдного відношення кожного з гострих кутів, використовуючи наступний прямокутний трикутник. Висловіть співвідношення синусів словами і символами. Потім, використовуючи значення з відповідних сторін, замініть символи на цифри і висловити співвідношення спочатку у вигляді дробу, а потім у вигляді десяткового округлення до найближчої десятитисячної (чотири розряди після десяткової).


Для першого трикутника:
Спочатку щодо опорного кута А назвіть сторони трикутника.
Гіпотенуза знаходиться поперек від прямого кута. Протилежна сторона - поперек від∠A. Сторона поруч∠A є суміжною. Сторони позначені літерами Н, О, А відповідно.
Далі запишіть синусоїдальне співвідношення для∠A у всіх необхідних формах.
Слова:
синус∠A=oppositehypotenuse
Символи:
sinA=BCAB
Дріб:
sinA=1213
Десяткова:
sinA=0.9231
Другий трикутник - це перший трикутник з\ кутом B як опорний кут. Зверніть увагу, що місця протилежної та сусідньої сторін змінилися від того місця, де вони були, коли\ кут А був опорним кутом.
Спочатку щодо опорного кута B назвіть сторони трикутника.
Гіпотенуза знаходиться поперек від прямого кута. Протилежна сторона - поперек від∠B. Сторона поруч∠B є суміжною. Сторони позначені літерами Н, О, А відповідно.
Далі запишіть синусоїдальне співвідношення для∠B у всіх необхідних формах.
Слова:
синус∠B=oppositehypotenuse
Символи:
sinB=ACAB
Дріб:
sinB=513
Десяткова:
sinB=0.3846
Якщо sInB=0.3846, то міру\ кута B можна знайти за допомогою калькулятора TI-84.
Пам'ятайте, ви вимірюєте кути в одиницях, званих градусами. Натискаємо режим і дивимося на екран.

У четвертому ряду екрану DEGREE не виділяється.
Дотримуйтесь наведеної нижче історії натискань клавіш, щоб перевести калькулятор у режим DEGREE.

У четвертому рядку екрану тепер підсвічується DEGREE.
Далі дотримуйтесь історії натискань клавіш нижче, щоб знайти міру∠B.

Потім подивіться на екран калькулятора:

Округлите мірку кута до найближчої десятої.
∠B=22.6∘
Відповідь:22.6∘
Раніше вам давали задачу про Якова і кут його сходів. Якову потрібно переконатися, що сходи роблять кут менше, ніж75∘ з землею? Джейкобу доведеться використовувати синусоїдальне співвідношення, щоб розібратися в цьому.
Рішення
Спочатку намалюйте та позначте прямокутний трикутник з наданою інформацією.

Далі назвіть сторони трикутника з посиланням на∠A.

Далі висловлюйте співвідношенняsinA за допомогою слів.
sinA=oppositehypotenuse
Далі виражаємо співвідношення за допомогою символів.
sinA=BCAC
Далі виражаємо співвідношення у вигляді дробу, використовуючи відповідні значення сторін.
sinA=2.56.5
Далі виражаємо співвідношення у вигляді десяткового числа.
sinA=0.3846
Далі скористайтеся функцією sin−1 на Ti-калькуляторі, щоб знайти міру\ кута A.

Потім запишіть міру∠A до найближчої десятої.
∠A=22.6∘
Відповідь є22.6∘.
Якову безпечно йти по сходах.

Використовуйте коефіцієнт синуса для обчислення міри∠A до найближчої десятої.
Рішення
По-перше, використовуючи∠A назву сторін трикутника.

Далі прописуємо синусоїдальне співвідношення прописом.
sinA=oppositehypotenuse
Далі пишемо співвідношення, використовуючи символи.
sinA=BCAB
Далі виражаємо співвідношення у вигляді дробу, використовуючи значення відповідних сторін.
sinA=814
Далі виражаємо співвідношення у вигляді десяткової коми з округленням до чотирьох знаків після десяткової.
sinA=0.5714
Потім скористайтеся функцією зворотного синуса (sin−1) на калькуляторі TI, щоб знайти міру∠A.

Потім подивіться на екран і округляйте міру кута до найближчої десятої.

Зверніть увагу, не потрібно закривати дужку після того, як десяткова цифра була введена в калькулятор.
∠A=34.9∘
Відповідь:34.9∘
Для наступного прямокутного трикутника висловіть SinB словами, символами, як дріб і десятковий.

Рішення
Спочатку назвіть сторони трикутника, використовуючи опорний кут B.

Далі висловлюємо співвідношення sInB за допомогою слів.
sinB=oppositehypotenuse
Далі виражаємо співвідношення за допомогою символів.
sinB=ACAB
Далі виражаємо співвідношення у вигляді дробу, використовуючи відповідні значення сторін.
sinB=8.510.5
Потім висловіть відношення як десяткове число до десятитисячних.
sinB=0.8095
Відповідь - 0.8095.
ЯкщоsinA=0.3872, яка міра∠A до найближчої десятої.
Рішення
Спочатку скористайтеся TI-калькулятором і слідкуйте за історією натискань клавіш.

Далі дивимося на екран калькулятора.

Потім запишіть міру∠A до найближчої десятої.
∠A=22.8∘
Відповідь є22.8∘.
Визначте міру\ кут B в наступному трикутнику.

Рішення
Спочатку назвіть сторони трикутника.

Далі висловлюємо співвідношення гріха А за допомогою слів.
sinA=oppositehypotenuse
Далі виражаємо співвідношення за допомогою символів.
sinA=BCAB
Далі виражаємо співвідношення у вигляді дробу, використовуючи відповідні значення сторін.
sinA=612
Далі виражаємо співвідношення у вигляді десяткового числа.
sinA=0.5
Далі скористайтеся функцією sin−1 на TI-калькуляторі, щоб знайти міру∠A.

Потім напишіть міру∠A.
∠A=30∘
Відповідь є30∘.
Рецензія
Вирішіть кожну проблему.

- Що таке синус∠G?
- Що таке синус∠H?
- Чи можете ви знайти синус∠A?

- Що таке синус∠R?
- Що таке синус∠S?

- Що таке синус∠A?
- Що таке синус∠B?
- Яка довжина відсутньої сторони округлена до найближчої сотої?
Відповідь на кожне питання вірно або помилково.
- Ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти довжину відсутньої сторони в прямокутному трикутнику.
- Прямокутний трикутник повинен мати кут 90 градусів.
- Коефіцієнт синуса - гіпотенуза над протилежною стороною.
- Якщо ви знаєте тільки довжину боку, то можна з'ясувати всі бокові довжини.
- Коефіцієнт синуса має відношення до довжини сторін.
- Гіпотенуза завжди протилежна прямому куту.
- Вам повинні бути вказані всі три довжини сторін, щоб з'ясувати співвідношення синуса.
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.13.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
синус | Синус кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, протилежної заданому куту, на довжину гіпотенузи. |
Тригонометричні коефіцієнти | Співвідношення, які допомагають нам зрозуміти відносини між сторонами і кутами прямих трикутників. |
Додаткові ресурси
Відео: Вступ до тригонометричних функцій з використанням трикутників
Діяльність: Тригонометричні коефіцієнти з калькулятором Питання обговорення
Практика: Функції трига калькулятора
Реальний світ: Тангенс синусосинуса