2.1.1: Тригонометрія прямокутного трикутника
Синус, косинус, тангенс та інші співвідношення сторін прямокутного трикутника.
Синус, косинус і тангенс
Тригонометрія - це вивчення взаємозв'язків між сторонами і кутами прямих трикутників. Ніжки називаються суміжними або протилежними в залежності від того, який гострий кут використовується.

a is adjacent to ∠Ba is opposite ∠Ab is adjacent to ∠Ab is opposite ∠Bc is the hypotenuse
Три основні тригонометричні співвідношення називаються синусом, косинусом і тангенсом. Для прямокутного трикутника △ ABC ми маємо:
\ (\ почати {вирівняний}
\ текст {синус Співвідношення:}\ dfrac {\ text {протилежний катет}} {\ text {гіпотенуза}}\ qquad\ sin A=\ dfrac {a} {c} {c} {косинус Коефіцієнт:}
\ dfrac {\ текст {\ текст {\ текст {сусідня нога} {текст {гіпотенуза}}\ qquad\ cos A=\ dfrac {b} {c}\ текст {або}\ cos B=\ dfrac {a} {c}\ \
\ text {Дотичне співвідношення:}\ dfrac {\ текст {протилежна нога}} {\ текст {сусідня ніжка}}\ qquad\ tan A=\ dfrac {a} {b}\ text {або}\ tan B =\ dfrac {b} {a}
\ кінець {вирівняний}\)
Простий спосіб запам'ятати співвідношення - використовувати SOH-CAH-TOA.

Кілька важливих моментів:
- Завжди зменшуйте коефіцієнти (дроби), коли можете.
- Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти відсутню сторону (якщо така є).
- Якщо в знаменнику присутній радикал, раціоналізуйте знаменник.
Що робити, якщо вам дали прямокутний трикутник і сказали, що його сторони вимірюють 3, 4 і 5 дюймів? Як ви могли знайти синус, косинус і тангенс одного з непрямих кутів трикутника?
Знайти синус, косинус і тангенс співвідношення∠A.

Рішення
Для початку нам потрібно скористатися теоремою Піфагора, щоб знайти довжину гіпотенузи.
\ (\ почати {вирівняний}
5^ {2} +12^ {2} &=c^ {2}\\
13 &=c\ кінець {вирівняний}\)
\ (\ почати {вирівняний}
\ sin A &=\ dfrac {l e g\ текст {протилежний}\ кут A} {\ текст {гіпотенуза}} =\ dfrac {12} {13} &\ cos A=\ dfrac {\ текст {\ text {кут A} {\ text {гіпотенуза}} =\ dfrac {5} {13},\\ tan A &=
\ dfrac {\ text {нога навпроти}\ кут A} {\ text {нога прилягає до}\ кут A} =\ dfrac {12} {5}
\ кінець {вирівняний}\)
Знайти синус, косинус і тангенс∠B.

Знайдіть довжину відсутньої сторони.
Рішення
\ (\ почати {
вирівняний} A C ^ {2} +5^ {2} &=15^ {2}\
A C^ {2} &=200\
A C &=10\ sqrt {2}\ кінець {вирівняний}\)
\ (\ почати {вирівняний}\ sin B &=\ dfrac {10\ sqrt {2}} {15} =\ dfrac {2}} {3}\ квад\ cos B=\ dfrac {5} {15} =\ dfrac {1} {3}\ квад\ тан B =\ dfrac {10\ sqrt {2}} {5} =2\ sqrt {2}
\ кінець {вирівняний}\)
Знайти синус, косинус і тангенс30∘.

Рішення
Це трикутник 30-60-90. Коротка нога - 6,y=6√3 іx=12.
sin30∘=612=12cos30∘=6√312=√32tan30∘=66√3=1√3⋅√3√3=√33
Дайте відповідь на питання щодо наступного зображення. Зменшити всі фракції.

Що такеsinAcosA, іtanA?
Рішення
\ (\ почати {масив} {л}
\ sin A=\ dfrac {16} {20} =\ dfrac {4} {5}\
\ cos A=\ dfrac {12} {20} =\ dfrac {3} {5}\
\ tan A=\ dfrac {16} {12} =\ dfrac {4} {3}
\ кінець {масив}\)
Рецензія
Скористайтеся схемою, щоб заповнити пробіли нижче.

- tanD=??
- sinF=??
- tanF=??
- cosF=??
- sinD=??
- cosD=??
З питань 1-6 можна зробити висновок наступне. Заповніть заготовки.
- cos_=sinFіsin_=cosF.
- tanDіtanF є _________ один одного.
Знайти синус, косинус і тангенс∠A. Зменшити всі фракції і радикали.
-
Малюнок2.1.1.8 -
Малюнок2.1.1.9 -
Малюнок2.1.1.10 -
Малюнок2.1.1.11 -
Малюнок\(\PageIndex{12}\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.7.
Ресурси
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
Гострий кут | Гострий кут - це кут з мірою менше 90 градусів. |
Сусідні кути | Два кути є суміжними, якщо вони поділяють сторону і вершину. Слово «суміжний» означає «поруч» або «поруч з». |
Гіпотенуза | Гіпотенуза прямокутного трикутника - найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона знаходиться поперек від прямого кута. |
Ніжки прямокутного трикутника | Ніжки прямокутного трикутника - це дві коротші сторони прямокутного трикутника. Ноги примикають до прямого кута. |
протилежний | Протилежність числаx є−x. Число і його протилежність завжди дорівнюють нулю. |
Теорема Піфагора | Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, заданаa2+b2=c2, де a і b - катети трикутника, а c - гіпотенуза трикутника. |
Радикальний | Знак\boldsymbol{\sqrt}, або квадратний корінь. |
синус | Синус кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, протилежної заданому куту, на довжину гіпотенузи. |
Тригонометричні коефіцієнти | Співвідношення, які допомагають нам під\ tan d відносини між сторонами і кутами прямих трикутників. |
Додаткові ресурси
Відео: Вступ до тригонометричних функцій U\ sin g Трикутники
Діяльність: Синус, косинус, Тангенс обговорення Питання
Навчальні посібники: Посібник з вивчення тригонометричних коефіцієнтів
Практика: Тригонометрія прямокутного трикутника
Реальний світ: Тангенс косинуса синуса