2.1.1: Тригонометрія прямокутного трикутника

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54654

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Синус, косинус, тангенс та інші співвідношення сторін прямокутного трикутника.

Синус, косинус і тангенс

Тригонометрія - це вивчення взаємозв'язків між сторонами і кутами прямих трикутників. Ніжки називаються суміжними або протилежними в залежності від того, який гострий кут використовується.

F-D_2A337Ф0ФК303Ф5 ЕАД 45Б9С00АК 0Б99 ФК56Д2875Б59312А4 ББ58А17Д7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

\(\begin{aligned} a \text{ is adjacent to } \angle B \qquad a \text{ is opposite } \angle A \\ b \text{ is adjacent to } \angle A \qquad b \text{ is opposite } \angle B\\ c \text{ is the hypotenuse }\end{aligned}\)

Три основні тригонометричні співвідношення називаються синусом, косинусом і тангенсом. Для прямокутного трикутника △ ABC ми маємо:

\ (\ почати {вирівняний}
\ текст {синус Співвідношення:}\ dfrac {\ text {протилежний катет}} {\ text {гіпотенуза}}\ qquad\ sin A=\ dfrac {a} {c} {c} {косинус Коефіцієнт:}
\ dfrac {\ текст {\ текст {\ текст {сусідня нога} {текст {гіпотенуза}}\ qquad\ cos A=\ dfrac {b} {c}\ текст {або}\ cos B=\ dfrac {a} {c}\ \
\ text {Дотичне співвідношення:}\ dfrac {\ текст {протилежна нога}} {\ текст {сусідня ніжка}}\ qquad\ tan A=\ dfrac {a} {b}\ text {або}\ tan B =\ dfrac {b} {a}
\ кінець {вирівняний}\)

Простий спосіб запам'ятати співвідношення - використовувати SOH-CAH-TOA.

Ф-д_Ф1Ф7А87Ф733А90695Ф2А 8С27Ф27 АД Ф8 Б8С302701Ф230Ф230C8A651303+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Кілька важливих моментів:

Завжди зменшуйте коефіцієнти (дроби), коли можете.
Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти відсутню сторону (якщо така є).
Якщо в знаменнику присутній радикал, раціоналізуйте знаменник.

Що робити, якщо вам дали прямокутний трикутник і сказали, що його сторони вимірюють 3, 4 і 5 дюймів? Як ви могли знайти синус, косинус і тангенс одного з непрямих кутів трикутника?

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Знайти синус, косинус і тангенс співвідношення\(\angle A\).

F-D_031EBBC 297B0 CDD97C0 футів CC07f71669D1AD5C7ba3d542EEE27+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Рішення

Для початку нам потрібно скористатися теоремою Піфагора, щоб знайти довжину гіпотенузи.

\ (\ почати {вирівняний}
5^ {2} +12^ {2} &=c^ {2}\\
13 &=c\ кінець {вирівняний}\)

\ (\ почати {вирівняний}
\ sin A &=\ dfrac {l e g\ текст {протилежний}\ кут A} {\ текст {гіпотенуза}} =\ dfrac {12} {13} &\ cos A=\ dfrac {\ текст {\ text {кут A} {\ text {гіпотенуза}} =\ dfrac {5} {13},\\ tan A &=
\ dfrac {\ text {нога навпроти}\ кут A} {\ text {нога прилягає до}\ кут A} =\ dfrac {12} {5}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайти синус, косинус і тангенс\(\angle B\).

Ф-д_Б3БА 5ЕФ 84Е1А917Е 66872Б19Ф11 ББ 0Ф 149Е6Б87А 55928778692 EAB4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть довжину відсутньої сторони.

Рішення

\ (\ почати {
вирівняний} A C ^ {2} +5^ {2} &=15^ {2}\
A C^ {2} &=200\
A C &=10\ sqrt {2}\ кінець {вирівняний}\)

\ (\ почати {вирівняний}\ sin B &=\ dfrac {10\ sqrt {2}} {15} =\ dfrac {2}} {3}\ квад\ cos B=\ dfrac {5} {15} =\ dfrac {1} {3}\ квад\ тан B =\ dfrac {10\ sqrt {2}} {5} =2\ sqrt {2}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайти синус, косинус і тангенс\(30^{\circ}\).

Ф-Д_Д737ДД8Б54519801Ф1Ф37ЕБ3ЕБ 5БФ АБ 056Ф56А560Б006Б021Ф64E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Рішення

Це трикутник 30-60-90. Коротка нога - 6,\(y=6\sqrt{3}\) і\(x=12\).

\(\sin 30^{\circ}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2} \qquad \cos30^{\circ}=\dfrac{6\sqrt{3}}{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad \tan 30^{\circ}=\dfrac{6}{6\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Дайте відповідь на питання щодо наступного зображення. Зменшити всі фракції.

F-D_82 ДК 3857Б48А 6С9А0С59Б6С0КК430БК 0С50507Ф0Е3043BA59CE98A+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Що таке\(\sin A\)\(\cos A\), і\(\tan A\)?

Рішення

\ (\ почати {масив} {л}
\ sin A=\ dfrac {16} {20} =\ dfrac {4} {5}\
\ cos A=\ dfrac {12} {20} =\ dfrac {3} {5}\
\ tan A=\ dfrac {16} {12} =\ dfrac {4} {3}
\ кінець {масив}\)

Рецензія

Скористайтеся схемою, щоб заповнити пробіли нижче.

Ф-Д_18318Д6А8951562А8С2282678934ФФ7Ф4 АБ7335Ф4714 АФ 5ЕФ3А831+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{7}\)

\(\tan D=\dfrac{?}{?}\)
\(\sin F=\dfrac{?}{?}\)
\(\tan F=\dfrac{?}{?}\)
\(\cos F=\dfrac{?}{?}\)
\(\sin D=\dfrac{?}{?}\)
\(\cos D=\dfrac{?}{?}\)

З питань 1-6 можна зробити висновок наступне. Заповніть заготовки.

\(\cos \underline{\qquad}=\sin F\)і\(\sin \underline{\qquad}=\cos F\).
\(\tan D\)і\(\tan F\) є _________ один одного.

Знайти синус, косинус і тангенс\(\angle A\). Зменшити всі фракції і радикали.

Малюнок\(\PageIndex{8}\)
Малюнок\(\PageIndex{9}\)
Малюнок\(\PageIndex{10}\)
Малюнок\(\PageIndex{11}\)
Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.7.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Гострий кут	Гострий кут - це кут з мірою менше 90 градусів.
Сусідні кути	Два кути є суміжними, якщо вони поділяють сторону і вершину. Слово «суміжний» означає «поруч» або «поруч з».
Гіпотенуза	Гіпотенуза прямокутного трикутника - найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона знаходиться поперек від прямого кута.
Ніжки прямокутного трикутника	Ніжки прямокутного трикутника - це дві коротші сторони прямокутного трикутника. Ноги примикають до прямого кута.
протилежний	Протилежність числа\(x\) є\(−x\). Число і його протилежність завжди дорівнюють нулю.
Теорема Піфагора	Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, задана\(a^2+b^2=c^2\), де a і b - катети трикутника, а c - гіпотенуза трикутника.
Радикальний	Знак\(\sqrt\), або квадратний корінь.
синус	Синус кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, протилежної заданому куту, на довжину гіпотенузи.
Тригонометричні коефіцієнти	Співвідношення, які допомагають нам під\ tan d відносини між сторонами і кутами прямих трикутників.