9.1 Загальна форма конічного перерізу

Коніки - це сімейство графіків, які включають параболи, кола, еліпси та гіперболи. Всі ці графіки походять з одного і того ж загального рівняння, і, шукаючи та маніпулюючи певним рівнянням, ви можете навчитися визначати, який він конічний і як його можна намалювати.

Який найважливіший навик дозволяє маніпулювати рівнянням конічного конуса, щоб намалювати його графік?

Вступ до коніків

Слово конічний походить від слова конус, де походять форми парабол, кіл, еліпсів і гіпербол. Розглянемо два конуса, що відкриваються в протилежні сторони, і площину, яка перетинає її горизонтально. Плоске перетин створить ідеальне коло.

Щоб виготовити еліпс, нахиліть площину так, щоб коло набув витягнутої і овальної форми. Зверніть увагу, що кут нахилу площини все ще менш крутий, ніж нахил боку конуса.

Коли ви нахиляєте площину ще далі, а нахил площини дорівнює нахилу краю конуса, ви створюєте параболу. Так як схили рівні, парабола перетинає тільки один з конусів.

Нарешті, якщо ви зробите площину крутішою ще, площина закінчується перетином як нижнього конуса, так і верхнього конуса, створюючи дві частини гіперболи.

Перетин тривимірних об'єктів у тривимірному просторі для отримання двовимірних графіків є досить складним завданням. На практиці знання про те, звідки беруться коніки, широко не використовується. Для вас буде важливіше мати можливість маніпулювати рівнянням у стандартній формі та графік його у правильній координатній площині. Правильна форма конуса буває:

$A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0$

Перш ніж почати маніпулювати загальною формою конічного рівняння, ви повинні мати можливість розпізнати, чи це коло, еліпс, парабола чи гіпербола. У стандартній формі два коефіцієнти, які слід вивчити, є$A$ і$C$.

• Для кіл коефіцієнти$x^{2}$ і$y^{2}$ є одним і тим же знаком і однаковим значенням:$A=C$
• Для еліпсів коефіцієнти$x^{2}$ і$y^{2}$ - це один і той же знак і різні значення:
• $A, C>0, A \neq C$
• Для гіпербол коефіцієнти$x^{2}$ і$y^{2}$ є протилежними ознаками:$C<0<A$ або$A<0<C$
• Для парабол або коефіцієнт$x^{2}$ або$y^{2}$ повинен дорівнювати нулю:$A=0$ або$C=0$

Кожен конкретний тип коніки має свою графічну форму, але у всіх випадках техніка завершення квадрата має важливе значення.

Для огляду, давайте завершимо квадрат у виразі$x^{2}+6 x$ і продемонструємо графічно, що завершує квадрат.

Алгебраїчно завершення квадрата просто вимагає від вас розділити коефіцієнт$x$ на 2 і скласти квадрат результату. В даному випадку$\left(\frac{6}{2}\right)^{2}=3^{2}=9$. Оскільки ви не можете додати дев'ять до виразу, не змінюючи його значення, ви повинні одночасно додати дев'ять і відняти дев'ять, щоб чиста зміна дорівнювала нулю.

$x^{2}+6 x+9-9$

Тепер ви можете зробити фактор, визнавши ідеальний квадрат.

$(x+3)^{2}-9$

Графічно оригінальний вираз$x^{2}+6 x$ можна представити площею прямокутника зі сторонами$x$ і$(x+6)$

Термін «завершити квадрат» має візуальне значення, а також алгебраїчне значення. Прямокутник можна переставити, щоб бути більш квадратним, так що замість невеликого прямокутника площі$6 x$ внизу, є прямокутник площі з двох$3 x$ сторін$x^{2}$ квадрата.

Зверніть увагу, чого не вистачає, щоб зробити цю форму ідеальним квадратом? Маленький кутовий квадрат 9 відсутній, тому 9 слід додати, щоб зробити ідеальний квадрат$(x+3)(x+3)$.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, які навички потрібні для коніків. Один істотний навик, який вам потрібен для коніків, - це завершення квадрата. Якщо ви можете завершити квадрат двома змінними, то ви зможете графувати кожен тип конічних конічних рядків.

Приклад 2

До якого типу коніки відноситься кожне з наступних відносин?

1. $5 y^{2}-2 x^{2}=-25$

а. парабола (вбік), оскільки$x^{2}$ термін відсутній.

3. $4 x^{2}+6 y^{2}=36$

a. еліпс, оскільки$y^{2}$ коефіцієнти$x^{2}$ та є різними значеннями, але однаковим знаком.

4. $x^{2}-\frac{1}{4} y=1$

а. парабола (вертикально), оскільки$y^{2}$ термін відсутній.

5. $-\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$

а. гіпербола, оскільки$y^{2}$ коефіцієнти$x^{2}$ і є різними ознаками.

6. $-x^{2}+99 y^{2}=12$

а. гіпербола, оскільки$y^{2}$ коефіцієнти$x^{2}$ і є різними ознаками.

Приклад 3

Заповніть квадрат для обох$x$ і$y$ членів у наступному рівнянні.

$x^{2}+6 x+2 y^{2}+16 y=0$

Спочатку випишіть рівняння з пробілом, щоб було місце для термінів, які потрібно додати в обидві сторони. Оскільки це рівняння, доцільно додавати значення в обидві сторони замість того, щоб одночасно додавати і віднімати одне і те ж значення. Коли ви переписуєте з пробілами, коефіцієнт будь-якого коефіцієнта$x^{2}$ або$y^{2}$ термінів, оскільки ваш алгоритм заповнення квадрата працює лише тоді, коли цей коефіцієнт один.

$x^{2}+6 x+\ldots+2\left(y^{2}+8 y+\ldots\right)=0$

Далі завершити квадрат, додавши дев'ять і те, що виглядає як 16 зліва (це насправді 32, оскільки він знаходиться всередині дужок).

$x^{2}+6 x+9+2\left(y^{2}+8 y+16\right)=9+32$

Фактор

$(x+3)^{2}+2(y+4)^{2}=41$

Приклад 4

Визначте тип конічного конуса в кожному з наступних співвідношень.

1. $3 x^{2}=3 y^{2}+18$

а Відношення є гіперболою, тому що при переміщенні$3 y^{2}$ в ліву сторону рівняння воно стає негативним, а потім коефіцієнти$x^{2}$ і$y^{2}$ мають протилежні знаки.

2. $y=4(x-3)^{2}+2$

a. парабола

3. $x^{2}+y^{2}=4$

a. коло

4. $y^{2}+2 y+x^{2}-6 x=12$

a. коло

5. $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12}=1$

а. еліпс

6. $x^{2}-y^{2}+4=0$

а. гіпербола

Приклад 5

Заповніть квадрат для обох$x$ і$y$ в наступному рівнянні.

$-3 x^{2}-24 x+4 y^{2}-32 y=8$

$-3 x^{2}-24 x+4 y^{2}-32 y=8$

$-3\left(x^{2}+8 x+\underline{}\underline{}\right)+4\left(y^{2}-8 y+\underline{}\underline{}\right)=8$

$-3\left(x^{2}+8 x+16\right)+4\left(y^{2}-8 y+16\right)=8-48+64$

$-3(x+4)^{2}+4(y-4)^{2}=24$

Рецензія

Визначте тип конічного конуса в кожному з наступних співвідношень.

1. $3 x^{2}+4 y^{2}=12$

2. $x^{2}+y^{2}=9$

3. $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$

4. $y^{2}+x=11$

5. $x^{2}+2 x-y^{2}+6 y=15$

6. $x^{2}=y-1$

Заповніть квадрат для$x$ та/або$y$ в кожному з наступних виразів

7. $x^{2}+4 x$

8. $y^{2}-8 y$

9. $3 x^{2}+6 x+4$

10. $3 y^{2}+9 y+15$

11. $2 x^{2}-12 x+1$

Заповніть квадрат для$x$ та/або$y$ в кожному з наступних рівнянь.

12. $4 x^{2}-16 x+y^{2}+2 y=-1$

13. $9 x^{2}-54 x+y^{2}-2 y=-81$

14. $3 x^{2}-6 x-4 y^{2}=9$

15. $y=x^{2}+4 x+1$