Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.1 Загальна форма конічного перерізу

  • Page ID
    54582
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Коніки - це сімейство графіків, які включають параболи, кола, еліпси та гіперболи. Всі ці графіки походять з одного і того ж загального рівняння, і, шукаючи та маніпулюючи певним рівнянням, ви можете навчитися визначати, який він конічний і як його можна намалювати.

    Який найважливіший навик дозволяє маніпулювати рівнянням конічного конуса, щоб намалювати його графік?

    Вступ до коніків

    Слово конічний походить від слова конус, де походять форми парабол, кіл, еліпсів і гіпербол. Розглянемо два конуса, що відкриваються в протилежні сторони, і площину, яка перетинає її горизонтально. Плоске перетин створить ідеальне коло.

    Щоб виготовити еліпс, нахиліть площину так, щоб коло набув витягнутої і овальної форми. Зверніть увагу, що кут нахилу площини все ще менш крутий, ніж нахил боку конуса.

    Коли ви нахиляєте площину ще далі, а нахил площини дорівнює нахилу краю конуса, ви створюєте параболу. Так як схили рівні, парабола перетинає тільки один з конусів.

    Нарешті, якщо ви зробите площину крутішою ще, площина закінчується перетином як нижнього конуса, так і верхнього конуса, створюючи дві частини гіперболи.

    Перетин тривимірних об'єктів у тривимірному просторі для отримання двовимірних графіків є досить складним завданням. На практиці знання про те, звідки беруться коніки, широко не використовується. Для вас буде важливіше мати можливість маніпулювати рівнянням у стандартній формі та графік його у правильній координатній площині. Правильна форма конуса буває:

    \(A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\)

    Перш ніж почати маніпулювати загальною формою конічного рівняння, ви повинні мати можливість розпізнати, чи це коло, еліпс, парабола чи гіпербола. У стандартній формі два коефіцієнти, які слід вивчити, є\(A\) і\(C\).

    • Для кіл коефіцієнти\(x^{2}\) і\(y^{2}\) є одним і тим же знаком і однаковим значенням:\(A=C\)
    • Для еліпсів коефіцієнти\(x^{2}\) і\(y^{2}\) - це один і той же знак і різні значення:
    • \(A, C>0, A \neq C\)
    • Для гіпербол коефіцієнти\(x^{2}\) і\(y^{2}\) є протилежними ознаками:\(C<0<A\) або\(A<0<C\)
    • Для парабол або коефіцієнт\(x^{2}\) або\(y^{2}\) повинен дорівнювати нулю:\(A=0\) або\(C=0\)

    Кожен конкретний тип коніки має свою графічну форму, але у всіх випадках техніка завершення квадрата має важливе значення.

    Для огляду, давайте завершимо квадрат у виразі\(x^{2}+6 x\) і продемонструємо графічно, що завершує квадрат.

    Алгебраїчно завершення квадрата просто вимагає від вас розділити коефіцієнт\(x\) на 2 і скласти квадрат результату. В даному випадку\(\left(\frac{6}{2}\right)^{2}=3^{2}=9\). Оскільки ви не можете додати дев'ять до виразу, не змінюючи його значення, ви повинні одночасно додати дев'ять і відняти дев'ять, щоб чиста зміна дорівнювала нулю.

    \(x^{2}+6 x+9-9\)

    Тепер ви можете зробити фактор, визнавши ідеальний квадрат.

    \((x+3)^{2}-9\)

    Графічно оригінальний вираз\(x^{2}+6 x\) можна представити площею прямокутника зі сторонами\(x\) і\((x+6)\)

    Термін «завершити квадрат» має візуальне значення, а також алгебраїчне значення. Прямокутник можна переставити, щоб бути більш квадратним, так що замість невеликого прямокутника площі\(6 x\) внизу, є прямокутник площі з двох\(3 x\) сторін\(x^{2}\) квадрата.

    Зверніть увагу, чого не вистачає, щоб зробити цю форму ідеальним квадратом? Маленький кутовий квадрат 9 відсутній, тому 9 слід додати, щоб зробити ідеальний квадрат\((x+3)(x+3)\).

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, які навички потрібні для коніків. Один істотний навик, який вам потрібен для коніків, - це завершення квадрата. Якщо ви можете завершити квадрат двома змінними, то ви зможете графувати кожен тип конічних конічних рядків.

    Приклад 2

    До якого типу коніки відноситься кожне з наступних відносин?

    1. \(5 y^{2}-2 x^{2}=-25\)

    а. парабола (вбік), оскільки\(x^{2}\) термін відсутній.

    3. \(4 x^{2}+6 y^{2}=36\)

    a. еліпс, оскільки\(y^{2}\) коефіцієнти\(x^{2}\) та є різними значеннями, але однаковим знаком.

    4. \(x^{2}-\frac{1}{4} y=1\)

    а. парабола (вертикально), оскільки\(y^{2}\) термін відсутній.

    5. \(-\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1\)

    а. гіпербола, оскільки\(y^{2}\) коефіцієнти\(x^{2}\) і є різними ознаками.

    6. \(-x^{2}+99 y^{2}=12\)

    а. гіпербола, оскільки\(y^{2}\) коефіцієнти\(x^{2}\) і є різними ознаками.

    Приклад 3

    Заповніть квадрат для обох\(x\) і\(y\) членів у наступному рівнянні.

    \(x^{2}+6 x+2 y^{2}+16 y=0\)

    Спочатку випишіть рівняння з пробілом, щоб було місце для термінів, які потрібно додати в обидві сторони. Оскільки це рівняння, доцільно додавати значення в обидві сторони замість того, щоб одночасно додавати і віднімати одне і те ж значення. Коли ви переписуєте з пробілами, коефіцієнт будь-якого коефіцієнта\(x^{2}\) або\(y^{2}\) термінів, оскільки ваш алгоритм заповнення квадрата працює лише тоді, коли цей коефіцієнт один.

    \(x^{2}+6 x+\ldots+2\left(y^{2}+8 y+\ldots\right)=0\)

    Далі завершити квадрат, додавши дев'ять і те, що виглядає як 16 зліва (це насправді 32, оскільки він знаходиться всередині дужок).

    \(x^{2}+6 x+9+2\left(y^{2}+8 y+16\right)=9+32\)

    Фактор

    \((x+3)^{2}+2(y+4)^{2}=41\)

    Приклад 4

    Визначте тип конічного конуса в кожному з наступних співвідношень.

    1. \(3 x^{2}=3 y^{2}+18\)

    а Відношення є гіперболою, тому що при переміщенні\(3 y^{2}\) в ліву сторону рівняння воно стає негативним, а потім коефіцієнти\(x^{2}\) і\(y^{2}\) мають протилежні знаки.

    2. \(y=4(x-3)^{2}+2\)

    a. парабола

    3. \(x^{2}+y^{2}=4\)

    a. коло

    4. \(y^{2}+2 y+x^{2}-6 x=12\)

    a. коло

    5. \(\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12}=1\)

    а. еліпс

    6. \(x^{2}-y^{2}+4=0\)

    а. гіпербола

    Приклад 5

    Заповніть квадрат для обох\(x\) і\(y\) в наступному рівнянні.

    \(-3 x^{2}-24 x+4 y^{2}-32 y=8\)

    \(-3 x^{2}-24 x+4 y^{2}-32 y=8\)

    \(-3\left(x^{2}+8 x+\underline{}\underline{}\right)+4\left(y^{2}-8 y+\underline{}\underline{}\right)=8\)

    \(-3\left(x^{2}+8 x+16\right)+4\left(y^{2}-8 y+16\right)=8-48+64\)

    \(-3(x+4)^{2}+4(y-4)^{2}=24\)

    Рецензія

    Визначте тип конічного конуса в кожному з наступних співвідношень.

    1. \(3 x^{2}+4 y^{2}=12\)

    2. \(x^{2}+y^{2}=9\)

    3. \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)

    4. \(y^{2}+x=11\)

    5. \(x^{2}+2 x-y^{2}+6 y=15\)

    6. \(x^{2}=y-1\)

    Заповніть квадрат для\(x\) та/або\(y\) в кожному з наступних виразів

    7. \(x^{2}+4 x\)

    8. \(y^{2}-8 y\)

    9. \(3 x^{2}+6 x+4\)

    10. \(3 y^{2}+9 y+15\)

    11. \(2 x^{2}-12 x+1\)

    Заповніть квадрат для\(x\) та/або\(y\) в кожному з наступних рівнянь.

    12. \(4 x^{2}-16 x+y^{2}+2 y=-1\)

    13. \(9 x^{2}-54 x+y^{2}-2 y=-81\)

    14. \(3 x^{2}-6 x-4 y^{2}=9\)

    15. \(y=x^{2}+4 x+1\)