9.2 Параболи

При роботі з параболами в минулому ви, ймовірно, використовували вершинну форму і аналізували граф, знаходячи його коріння і перехоплення. Існує ще один спосіб визначення параболи, яка виявляється більш корисною в реальному світі. Одним з багатьох застосувань параболічних форм у реальному світі є супутникові антени. У цих формах життєво важливо знати, де слід розмістити рецепторну точку, щоб вона могла поглинати всі сигнали, що відбиваються від страви.

Де повинен розташовуватися рецептор на супутниковій антені шириною чотири фути і глибиною дев'ять дюймів?

Графічні параболи

Визначення параболи - це сукупність точок, рівновіддалених від точки, яка називається фокусом, і лінії, яка називається директриса.

Зверніть увагу, як три точки$P_{1}, P_{2}, P_{3}$ з'єднуються синьою лінією з точкою фокусування$F$ та лінією прямої.$L$

$\overline{F P_{1}}=\overline{P_{1} Q_{1}}$

$\overline{F P_{2}}=\overline{P_{2} Q_{2}}$

$\overline{F P_{3}}=\overline{P_{3} Q_{3}}$

Існує два графічні рівняння для парабол, які будуть використані в цій концепції. Єдина відмінність полягає в одному рівнянні графіків парабол, що відкриваються вертикально, і один граф рівнянь параболи, що відкриваються горизонтально. Ви можете розпізнати параболи, що відкриваються вертикально, оскільки вони мають$x^{2}$ термін. Так само параболи, що відкриваються горизонтально, мають$y^{2}$ термін.

Загальне рівняння для параболи, що відкривається вертикально, є$(x-h)^{2}=\pm 4 p(y-k)$. Загальне рівняння для параболи, що відкривається горизонтально, є$(y-k)^{2}=\pm 4 p(x-h)$.

Зверніть увагу, що вершина все ще$(h, k)$. Парабола відкривається вгору або вправо, якщо$4 p$ позитивна. Парабола відкривається вниз або вліво, якщо негативна$4 p$. Фокус - це лише точка, яка знаходиться на$p$ відстані від вершини. Директриса - це всього лише лінія, яка знаходиться на$p$ відстані від вершини в протилежному напрямку. Ви можете намалювати, наскільки широка парабола, зазначивши фокусну ширину$|4 p|$.

Після того, як ви помістили параболу в цю графічну форму, ви можете намалювати параболу, побудувавши вершину, ідентифікуючи$p$ та побудувавши фокус і директрису і, нарешті, визначаючи фокусну ширину та замальовуючи криву.

Візьмемо конус:

$2 x^{2}+16 x+y=0$

Це парабола, оскільки$y^{2}$ коефіцієнт дорівнює нулю.

$\begin{aligned} x^{2}+8 x &=-\frac{1}{2} y \\ x^{2}+8 x+16 &=-\frac{1}{2} y+16 \\ (x+4)^{2} &=-\frac{1}{2}(y-32) \\ (x+4)^{2} &=-4 \cdot \frac{1}{8}(y-32) \end{aligned}$

Вершина -$(-4,32) .$ Фокусна відстань дорівнює$p=\frac{1}{8}$. Ця парабола відкривається вниз, що означає, що фокус знаходиться на,$\left(-4,32-\frac{1}{8}\right)$ а директриса горизонтальна на$y=32+\frac{1}{8} .$ Фокусна ширина є$\frac{1}{2}$.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, де рецептор повинен розташовуватися на супутниковій антені шириною чотири фути і глибиною дев'ять дюймів.

Оскільки проблеми реального світу не мають заздалегідь визначеної системи координат, ви можете вибрати, щоб зробити вершину параболи (0, 0). Потім, якщо все зробити в дюймах, ще одна точка на параболі буде (24, 9). (Багато людей можуть помилково вважати, що точка (48, 9) знаходиться на параболі, але пам'ятайте, що половина цієї ширини тягнеться до (-24, 9), а також.) Використовуючи ці дві точки, можна знайти фокусну ширину.

$\begin{aligned}(x-0)^{2} &=4 p(y-0)\\(24-0)^{2} &=4 p(9-0) \\ \frac{24^{2}}{4 \cdot 9} &=p \\ 16 &=p \end{aligned}$

Рецептор повинен знаходитися на відстані шістнадцяти дюймів від вершини параболічної тарілки.

Приклад 2

Намалюйте наступну параболу та визначте важливі фрагменти інформації.

$(y+1)^{2}=4 \cdot \frac{1}{2} \cdot(x+3)$

Вершина знаходиться в (-3, -1). Парабола збоку, тому що існує$y^{2}$ термін. Парабола відкривається праворуч, тому$4 p$ що позитивна. Фокусна відстань - це означає,$p=\frac{1}{2}$ що фокус знаходиться$\frac{1}{2}$ праворуч від вершини в (-2,5, -1), а$\frac{1}{2}$ директриса - ліворуч від вершини в$x=-3.5$. Фокусна ширина дорівнює 2, тому ширина параболи тягнеться від (-2,5,0) до (-2,5, -2).

Приклад 3

Що таке рівняння параболи, яка має фокус на (4,3) та директрису$y=-1 ?$

Ймовірно, було б корисно графікувати інформацію, яку ви маєте, щоб міркувати про те, де знаходиться вершина.

Вершина повинна знаходитися на півдорозі між фокусом і директрисою. Це розміщує його за адресою (4, 1). Фокусна відстань - 2. Парабола відкривається вгору. Це вся інформація, необхідна для створення рівняння.

$(x-4)^{2}=4 \cdot 2 \cdot(y-1)$

АБО$(x-4)^{2}=8(y-1)$

Приклад 4

Що таке рівняння параболи, яка відкривається праворуч з фокусною шириною від (6, -7) до (6,12)$?$ Фокус знаходиться посередині фокусної ширини. У центрі уваги є$\left(6, \frac{5}{2}\right)$. Фокусна ширина становить 19, що в чотири рази більше фокусної відстані, тому фокусна відстань повинна бути$\frac{19}{4}$. Вершина повинна бути фокусною відстанню ліворуч від фокуса, тому вершина знаходиться на$\left(6-\frac{19}{4}, \frac{5}{2}\right)$. Цього достатньо інформації, щоб написати рівняння параболи.

$\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=4 \cdot \frac{19}{4} \cdot\left(x-6+\frac{19}{4}\right)$

Приклад 5

Намалюйте наступний конічний конус, помістивши його в графічну форму та ідентифікуючи важливу інформацію.

$y^{2}-4 y+12 x-32=0$

$\begin{aligned} y^{2}-4 y &=-12 x+32 \\ y^{2}-4 y+4 &=-12 x+32+4 \\ (y-2)^{2} &=-12(x-3) \\ (y-2)^{2} &=-4 \cdot 3 \cdot(x-3) \end{aligned}$

Вершина знаходиться в (3,2). Фокус знаходиться на (0,2). Директриса знаходиться в$x=6$.

Рецензія

1. Що таке рівняння параболи з фокусом на (1,4) і директрисі при$y=-2 ?$

2. Що таке рівняння параболи, що відкривається вліво з фокусною шириною від (-2,5) до (-2, -7)$?$

3. Що таке рівняння параболи, що відкривається праворуч з вершиною в (5,4) і фокусною шириною$12 ?$

4. Що таке рівняння параболи з вершиною в (1,8) і директрисі в$y=12$?

5. Що таке рівняння параболи з фокусом при (-2,4) і директрисі при$x=4 ?$

6. Що таке рівняння параболи, що відкривається вниз з фокусною шириною від (-4,9) до (16,9)$?$

7. Що таке рівняння параболи, яка відкривається вгору з вершиною на (1,11) та фокусною шириною$4 ?$

Намалюйте наступні параболи, помістивши їх у графічну форму та ідентифікуючи важливу інформацію.

8. $y^{2}+2 y-8 x+33=0$

9. $x^{2}-8 x+20 y+36=0$

10. $x^{2}+6 x-12 y-15=0$

11. $y^{2}-12 y+8 x+4=0$

12. $x^{2}+6 x-4 y+21=0$

13. $y^{2}+14 y-2 x+59=0$

14. $x^{2}+12 x-\frac{8}{3} y+\frac{92}{3}=0$

15. $x^{2}+2 x-\frac{4}{5} y+1=0$