9.2 Параболи
- Page ID
- 54595
При роботі з параболами в минулому ви, ймовірно, використовували вершинну форму і аналізували граф, знаходячи його коріння і перехоплення. Існує ще один спосіб визначення параболи, яка виявляється більш корисною в реальному світі. Одним з багатьох застосувань параболічних форм у реальному світі є супутникові антени. У цих формах життєво важливо знати, де слід розмістити рецепторну точку, щоб вона могла поглинати всі сигнали, що відбиваються від страви.
Де повинен розташовуватися рецептор на супутниковій антені шириною чотири фути і глибиною дев'ять дюймів?
Графічні параболи
Визначення параболи - це сукупність точок, рівновіддалених від точки, яка називається фокусом, і лінії, яка називається директриса.
Зверніть увагу, як три точки\(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) з'єднуються синьою лінією з точкою фокусування\(F\) та лінією прямої.\(L\)
\(\overline{F P_{1}}=\overline{P_{1} Q_{1}}\)
\(\overline{F P_{2}}=\overline{P_{2} Q_{2}}\)
\(\overline{F P_{3}}=\overline{P_{3} Q_{3}}\)
Існує два графічні рівняння для парабол, які будуть використані в цій концепції. Єдина відмінність полягає в одному рівнянні графіків парабол, що відкриваються вертикально, і один граф рівнянь параболи, що відкриваються горизонтально. Ви можете розпізнати параболи, що відкриваються вертикально, оскільки вони мають\(x^{2}\) термін. Так само параболи, що відкриваються горизонтально, мають\(y^{2}\) термін.
Загальне рівняння для параболи, що відкривається вертикально, є\((x-h)^{2}=\pm 4 p(y-k)\). Загальне рівняння для параболи, що відкривається горизонтально, є\((y-k)^{2}=\pm 4 p(x-h)\).
Зверніть увагу, що вершина все ще\((h, k)\). Парабола відкривається вгору або вправо, якщо\(4 p\) позитивна. Парабола відкривається вниз або вліво, якщо негативна\(4 p\). Фокус - це лише точка, яка знаходиться на\(p\) відстані від вершини. Директриса - це всього лише лінія, яка знаходиться на\(p\) відстані від вершини в протилежному напрямку. Ви можете намалювати, наскільки широка парабола, зазначивши фокусну ширину\(|4 p|\).
Після того, як ви помістили параболу в цю графічну форму, ви можете намалювати параболу, побудувавши вершину, ідентифікуючи\(p\) та побудувавши фокус і директрису і, нарешті, визначаючи фокусну ширину та замальовуючи криву.
Візьмемо конус:
\(2 x^{2}+16 x+y=0\)
Це парабола, оскільки\(y^{2}\) коефіцієнт дорівнює нулю.
\(\begin{aligned} x^{2}+8 x &=-\frac{1}{2} y \\ x^{2}+8 x+16 &=-\frac{1}{2} y+16 \\ (x+4)^{2} &=-\frac{1}{2}(y-32) \\ (x+4)^{2} &=-4 \cdot \frac{1}{8}(y-32) \end{aligned}\)
Вершина -\((-4,32) .\) Фокусна відстань дорівнює\(p=\frac{1}{8}\). Ця парабола відкривається вниз, що означає, що фокус знаходиться на,\(\left(-4,32-\frac{1}{8}\right)\) а директриса горизонтальна на\(y=32+\frac{1}{8} .\) Фокусна ширина є\(\frac{1}{2}\).
Приклади
Раніше вас запитали, де рецептор повинен розташовуватися на супутниковій антені шириною чотири фути і глибиною дев'ять дюймів.
Оскільки проблеми реального світу не мають заздалегідь визначеної системи координат, ви можете вибрати, щоб зробити вершину параболи (0, 0). Потім, якщо все зробити в дюймах, ще одна точка на параболі буде (24, 9). (Багато людей можуть помилково вважати, що точка (48, 9) знаходиться на параболі, але пам'ятайте, що половина цієї ширини тягнеться до (-24, 9), а також.) Використовуючи ці дві точки, можна знайти фокусну ширину.
\(\begin{aligned}(x-0)^{2} &=4 p(y-0)\\(24-0)^{2} &=4 p(9-0) \\ \frac{24^{2}}{4 \cdot 9} &=p \\ 16 &=p \end{aligned}\)
Рецептор повинен знаходитися на відстані шістнадцяти дюймів від вершини параболічної тарілки.
Намалюйте наступну параболу та визначте важливі фрагменти інформації.
\((y+1)^{2}=4 \cdot \frac{1}{2} \cdot(x+3)\)
Вершина знаходиться в (-3, -1). Парабола збоку, тому що існує\(y^{2}\) термін. Парабола відкривається праворуч, тому\(4 p\) що позитивна. Фокусна відстань - це означає,\(p=\frac{1}{2}\) що фокус знаходиться\(\frac{1}{2}\) праворуч від вершини в (-2,5, -1), а\(\frac{1}{2}\) директриса - ліворуч від вершини в\(x=-3.5\). Фокусна ширина дорівнює 2, тому ширина параболи тягнеться від (-2,5,0) до (-2,5, -2).
Що таке рівняння параболи, яка має фокус на (4,3) та директрису\(y=-1 ?\)
Ймовірно, було б корисно графікувати інформацію, яку ви маєте, щоб міркувати про те, де знаходиться вершина.
Вершина повинна знаходитися на півдорозі між фокусом і директрисою. Це розміщує його за адресою (4, 1). Фокусна відстань - 2. Парабола відкривається вгору. Це вся інформація, необхідна для створення рівняння.
\((x-4)^{2}=4 \cdot 2 \cdot(y-1)\)
АБО\((x-4)^{2}=8(y-1)\)
Що таке рівняння параболи, яка відкривається праворуч з фокусною шириною від (6, -7) до (6,12)\(?\) Фокус знаходиться посередині фокусної ширини. У центрі уваги є\(\left(6, \frac{5}{2}\right)\). Фокусна ширина становить 19, що в чотири рази більше фокусної відстані, тому фокусна відстань повинна бути\(\frac{19}{4}\). Вершина повинна бути фокусною відстанню ліворуч від фокуса, тому вершина знаходиться на\(\left(6-\frac{19}{4}, \frac{5}{2}\right)\). Цього достатньо інформації, щоб написати рівняння параболи.
\(\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=4 \cdot \frac{19}{4} \cdot\left(x-6+\frac{19}{4}\right)\)
Намалюйте наступний конічний конус, помістивши його в графічну форму та ідентифікуючи важливу інформацію.
\(y^{2}-4 y+12 x-32=0\)
\(\begin{aligned} y^{2}-4 y &=-12 x+32 \\ y^{2}-4 y+4 &=-12 x+32+4 \\ (y-2)^{2} &=-12(x-3) \\ (y-2)^{2} &=-4 \cdot 3 \cdot(x-3) \end{aligned}\)
Вершина знаходиться в (3,2). Фокус знаходиться на (0,2). Директриса знаходиться в\(x=6\).
1. Що таке рівняння параболи з фокусом на (1,4) і директрисі при\(y=-2 ?\)
2. Що таке рівняння параболи, що відкривається вліво з фокусною шириною від (-2,5) до (-2, -7)\(?\)
3. Що таке рівняння параболи, що відкривається праворуч з вершиною в (5,4) і фокусною шириною\(12 ?\)
4. Що таке рівняння параболи з вершиною в (1,8) і директрисі в\(y=12\)?
5. Що таке рівняння параболи з фокусом при (-2,4) і директрисі при\(x=4 ?\)
6. Що таке рівняння параболи, що відкривається вниз з фокусною шириною від (-4,9) до (16,9)\(?\)
7. Що таке рівняння параболи, яка відкривається вгору з вершиною на (1,11) та фокусною шириною\(4 ?\)
Намалюйте наступні параболи, помістивши їх у графічну форму та ідентифікуючи важливу інформацію.
8. \(y^{2}+2 y-8 x+33=0\)
9. \(x^{2}-8 x+20 y+36=0\)
10. \(x^{2}+6 x-12 y-15=0\)
11. \(y^{2}-12 y+8 x+4=0\)
12. \(x^{2}+6 x-4 y+21=0\)
13. \(y^{2}+14 y-2 x+59=0\)
14. \(x^{2}+12 x-\frac{8}{3} y+\frac{92}{3}=0\)
15. \(x^{2}+2 x-\frac{4}{5} y+1=0\)