Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.4 Еліпси

Еліпс широко відомий як овал. Еліпси так само поширені, як параболи в реальному світі з їх власним використанням. Кімнати, які мають еліптичну форму стелі, називаються кімнатами шепоту, тому що якщо ви стоїте в одній точці фокусування і шепотієте, хтось, хто стоїть в іншій точці фокусування, зможе вас почути.

Еліпси схожі на кола, але між цими формами є кілька ключових відмінностей. Еліпси мають якx -radius, так і ay -radius, тоді як кола мають лише один радіус. Інша відмінність між колами та еліпсами полягає в тому, що еліпс визначається як набір точок, які є встановленою відстанню від двох точок фокусування, тоді як кола визначаються як набір точок, які є заданою відстанню від однієї центральної точки. Третя відмінність між еліпсами та колами полягає в тому, що не всі еліпси схожі один на одного, тоді як всі кола схожі один на одного. Деякі еліпси вузькі, а деякі майже кругові. Як ви вимірюєте, наскільки дивною формою є еліпс?

Графічні еліпси

Еліпс має два вогнища. Для кожної точки на еліпсі сума відстаней до кожного вогнища постійна. Це те, що визначає еліпс. Інший спосіб думати про визначення еліпса - виділити задану кількість рядка і закріпити два кінці рядка так, щоб між ними була якась слабкість. Потім за допомогою олівця витягніть навчену нитку і простежте криву навколо обох фіксованих точок. Ви простежте еліпс, а фіксовані кінцеві точки рядка будуть осередками. Вогнища - множинна форма вогнища. На малюнку нижче(h,k) - центр еліпса, а дві інші позначені точки - вогнища.

Велика вісь - це найдовша відстань від кінця до кінця еліпса і вдвічі довша за велику піввісь. Напіввелика вісь - це відстань від центру еліпса до найдальшої точки на еліпсі, а напівмалий вісь - відстань від центру до краю еліпса на осі, яка перпендикулярна до напіввеликої осі.

Загальне рівняння для еліпса таке:

(xh)2a2+(yk)2b2=1

У цьому випадку велика вісь горизонтальна, оскількиa,x -радіус більше. Якбиy -радіус був більше,b тоa і зворотний. Іншими словами, коефіцієнтa завжди походить від довжини напіввеликої осі (довшої), а коефіцієнтb завжди походить від довжини напівдругорядної осі (коротшої).

Для того, щоб знайти місця розташування двох вогнищ, вам потрібно буде знайти фокусний радіус, представлений як,c використовуючи наступне співвідношення:

a2b2=c2

Після того, як у вас є фокусний радіус, виміряйте від центру вздовж великої осі, щоб знайти осередки. Загальна форма еліпса вимірюється за допомогою ексцентриситету. Ексцентриситет - це міра того, наскільки овальна або кругла форма. Еліпси можуть мати ексцентриситет від 0 до 1, де число, близьке до 0, надзвичайно кругове, а число, близьке до 1, менш кругове. Ексцентриситет розраховується за допомогою:

e=ca

Еліпси також мають дві прямі прямі, які відповідають кожному фокусу, але зовні еліпса. Відстань від центру еліпса до кожної прямої директриси дорівнюєa2c

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як ви вимірюєте, наскільки дивною формою є еліпс. Еліпси вимірюються за допомогою їх ексцентриситету. Ось три еліпси з розрахунковим ексцентриситетом для порівняння.

Ексцентриситет - це відношення фокусного радіуса до напіввеликої осі:e=ca

Приклад 2

Знайдіть вершини (кінцеві точки великої осі), вогнища і ексцентриситет наступного еліпса.

(x2)24+(y+1)216=1

Центр еліпса знаходиться в (2, -1). Велика вісь вертикальна, що означає, що пів-велика вісь єa=4. Вершини є (2,3) і (2, -5)

16242=c2415=240=c

Таким чином, осередками є(2,1+415) і(2,1415)

Приклад 3

Намалюйте наступний еліпс.

(y1)216+(x2)29=1

Побудова вогнищ зазвичай важлива, але в цьому випадку питання просто задає вам накидати еліпс. Все, що вам потрібно, це центр,x -радіус іy -радіус.

Приклад 4

Помістіть наступний конічний конус у графічну форму.

25x2150x+36y2+72y639=0

25x2150x+36y2+72y639=025(x26x)+36(y2+2y)=63925(x26x+9)+36(y2+2y+1)=639+225+3625(x3)2+36(y+1)2=90025(x3)2900+36(y+1)2900=900900(x3)236+(y+1)225=1

Приклад 5

Помістіть наступний конічний конус у графічну форму.

9x29x+4y2+12y+94=8

9x29x+4y2+12y+94=8

9x29x+94+4y2+12y=8

9(x2x14)+4(y2+3y)=8

9(x12)2+4(y2+3y+94)=8+494

9(x12)2+4(y+32)2=1

(x12)219+(y+32)214=1

Рецензія

Знайдіть вершини, вогнища та ексцентриситет для кожного з наступних еліпсів.

1. (x1)24+(y+5)216=1

2. (x+1)29+(y+2)24=1

3. (x2)2+(y1)24=1

Тепер намалюйте кожен з наступних еліпсів (зверніть увагу, що вони такі ж, як еліпси в #1 - #3).

4. (x1)24+(y+5)216=1

5. (x+1)29+(y+2)24=1

6. (x2)2+(y1)24=1

Помістіть кожне з наступних рівнянь у графічну форму.

7. x2+2x+4y2+56y+197=16

8. x28x+9y2+18y+25=9

9. 9x236x+4y2+16y+52=36

Знайдіть рівняння для кожного еліпса на основі опису.

10. Еліпс з вершинами (4, -2) та (4,8) та малою віссю довжини6.

11. Еліпс з малою віссю від (4, -1) до (4,3) і великою віссю довжиною 12.

12. Еліпс з малою віссю від (-2,1) до (-2,7) і одним фокусом на (2,4).

13. Еліпс з однією(6,15), вершиною в осередках (6,10) і (6, -14)

Міст через проїжджу частину повинен бути побудований з його дном у формі напівеліпса 100 футів в ширину і 25 футів у висоту в центрі. Проїжджа частина повинна бути шириною 70 футів.

14. Знайдіть одне можливе рівняння еліпса, яке моделює дно моста.

15. Який просвіт між проїжджою частиною і естакадою на краю проїжджої частини?

...