9.4 Еліпси
Еліпс широко відомий як овал. Еліпси так само поширені, як параболи в реальному світі з їх власним використанням. Кімнати, які мають еліптичну форму стелі, називаються кімнатами шепоту, тому що якщо ви стоїте в одній точці фокусування і шепотієте, хтось, хто стоїть в іншій точці фокусування, зможе вас почути.
Еліпси схожі на кола, але між цими формами є кілька ключових відмінностей. Еліпси мають якx -radius, так і ay -radius, тоді як кола мають лише один радіус. Інша відмінність між колами та еліпсами полягає в тому, що еліпс визначається як набір точок, які є встановленою відстанню від двох точок фокусування, тоді як кола визначаються як набір точок, які є заданою відстанню від однієї центральної точки. Третя відмінність між еліпсами та колами полягає в тому, що не всі еліпси схожі один на одного, тоді як всі кола схожі один на одного. Деякі еліпси вузькі, а деякі майже кругові. Як ви вимірюєте, наскільки дивною формою є еліпс?
Графічні еліпси
Еліпс має два вогнища. Для кожної точки на еліпсі сума відстаней до кожного вогнища постійна. Це те, що визначає еліпс. Інший спосіб думати про визначення еліпса - виділити задану кількість рядка і закріпити два кінці рядка так, щоб між ними була якась слабкість. Потім за допомогою олівця витягніть навчену нитку і простежте криву навколо обох фіксованих точок. Ви простежте еліпс, а фіксовані кінцеві точки рядка будуть осередками. Вогнища - множинна форма вогнища. На малюнку нижче(h,k) - центр еліпса, а дві інші позначені точки - вогнища.
Велика вісь - це найдовша відстань від кінця до кінця еліпса і вдвічі довша за велику піввісь. Напіввелика вісь - це відстань від центру еліпса до найдальшої точки на еліпсі, а напівмалий вісь - відстань від центру до краю еліпса на осі, яка перпендикулярна до напіввеликої осі.
Загальне рівняння для еліпса таке:
(x−h)2a2+(y−k)2b2=1
У цьому випадку велика вісь горизонтальна, оскількиa,x -радіус більше. Якбиy -радіус був більше,b тоa і зворотний. Іншими словами, коефіцієнтa завжди походить від довжини напіввеликої осі (довшої), а коефіцієнтb завжди походить від довжини напівдругорядної осі (коротшої).
Для того, щоб знайти місця розташування двох вогнищ, вам потрібно буде знайти фокусний радіус, представлений як,c використовуючи наступне співвідношення:
a2−b2=c2
Після того, як у вас є фокусний радіус, виміряйте від центру вздовж великої осі, щоб знайти осередки. Загальна форма еліпса вимірюється за допомогою ексцентриситету. Ексцентриситет - це міра того, наскільки овальна або кругла форма. Еліпси можуть мати ексцентриситет від 0 до 1, де число, близьке до 0, надзвичайно кругове, а число, близьке до 1, менш кругове. Ексцентриситет розраховується за допомогою:
e=ca
Еліпси також мають дві прямі прямі, які відповідають кожному фокусу, але зовні еліпса. Відстань від центру еліпса до кожної прямої директриси дорівнюєa2c
Приклади
Раніше вас запитали, як ви вимірюєте, наскільки дивною формою є еліпс. Еліпси вимірюються за допомогою їх ексцентриситету. Ось три еліпси з розрахунковим ексцентриситетом для порівняння.
Ексцентриситет - це відношення фокусного радіуса до напіввеликої осі:e=ca
Знайдіть вершини (кінцеві точки великої осі), вогнища і ексцентриситет наступного еліпса.
(x−2)24+(y+1)216=1
Центр еліпса знаходиться в (2, -1). Велика вісь вертикальна, що означає, що пів-велика вісь єa=4. Вершини є (2,3) і (2, -5)
162−42=c24√15=√240=c
Таким чином, осередками є(2,−1+4√15) і(2,−1−4√15)
Намалюйте наступний еліпс.
(y−1)216+(x−2)29=1
Побудова вогнищ зазвичай важлива, але в цьому випадку питання просто задає вам накидати еліпс. Все, що вам потрібно, це центр,x -радіус іy -радіус.
Помістіть наступний конічний конус у графічну форму.
25x2−150x+36y2+72y−639=0
25x2−150x+36y2+72y−639=025(x2−6x)+36(y2+2y)=63925(x2−6x+9)+36(y2+2y+1)=639+225+3625(x−3)2+36(y+1)2=90025(x−3)2900+36(y+1)2900=900900(x−3)236+(y+1)225=1
Помістіть наступний конічний конус у графічну форму.
9x2−9x+4y2+12y+94=−8
9x2−9x+4y2+12y+94=−8
9x2−9x+94+4y2+12y=−8
9(x2−x−14)+4(y2+3y)=−8
9(x−12)2+4(y2+3y+94)=−8+4⋅94
9(x−12)2+4(y+32)2=1
(x−12)219+(y+32)214=1
Знайдіть вершини, вогнища та ексцентриситет для кожного з наступних еліпсів.
1. (x−1)24+(y+5)216=1
2. (x+1)29+(y+2)24=1
3. (x−2)2+(y−1)24=1
Тепер намалюйте кожен з наступних еліпсів (зверніть увагу, що вони такі ж, як еліпси в #1 - #3).
4. (x−1)24+(y+5)216=1
5. (x+1)29+(y+2)24=1
6. (x−2)2+(y−1)24=1
Помістіть кожне з наступних рівнянь у графічну форму.
7. x2+2x+4y2+56y+197=16
8. x2−8x+9y2+18y+25=9
9. 9x2−36x+4y2+16y+52=36
Знайдіть рівняння для кожного еліпса на основі опису.
10. Еліпс з вершинами (4, -2) та (4,8) та малою віссю довжини6.
11. Еліпс з малою віссю від (4, -1) до (4,3) і великою віссю довжиною 12.
12. Еліпс з малою віссю від (-2,1) до (-2,7) і одним фокусом на (2,4).
13. Еліпс з однією(6,−15), вершиною в осередках (6,10) і (6, -14)
Міст через проїжджу частину повинен бути побудований з його дном у формі напівеліпса 100 футів в ширину і 25 футів у висоту в центрі. Проїжджа частина повинна бути шириною 70 футів.
14. Знайдіть одне можливе рівняння еліпса, яке моделює дно моста.
15. Який просвіт між проїжджою частиною і естакадою на краю проїжджої частини?
...