9.4 Еліпси

Еліпс широко відомий як овал. Еліпси так само поширені, як параболи в реальному світі з їх власним використанням. Кімнати, які мають еліптичну форму стелі, називаються кімнатами шепоту, тому що якщо ви стоїте в одній точці фокусування і шепотієте, хтось, хто стоїть в іншій точці фокусування, зможе вас почути.

Еліпси схожі на кола, але між цими формами є кілька ключових відмінностей. Еліпси мають як$x$ -radius, так і a$y$ -radius, тоді як кола мають лише один радіус. Інша відмінність між колами та еліпсами полягає в тому, що еліпс визначається як набір точок, які є встановленою відстанню від двох точок фокусування, тоді як кола визначаються як набір точок, які є заданою відстанню від однієї центральної точки. Третя відмінність між еліпсами та колами полягає в тому, що не всі еліпси схожі один на одного, тоді як всі кола схожі один на одного. Деякі еліпси вузькі, а деякі майже кругові. Як ви вимірюєте, наскільки дивною формою є еліпс?

Графічні еліпси

Еліпс має два вогнища. Для кожної точки на еліпсі сума відстаней до кожного вогнища постійна. Це те, що визначає еліпс. Інший спосіб думати про визначення еліпса - виділити задану кількість рядка і закріпити два кінці рядка так, щоб між ними була якась слабкість. Потім за допомогою олівця витягніть навчену нитку і простежте криву навколо обох фіксованих точок. Ви простежте еліпс, а фіксовані кінцеві точки рядка будуть осередками. Вогнища - множинна форма вогнища. На малюнку нижче$(h, k)$ - центр еліпса, а дві інші позначені точки - вогнища.

Велика вісь - це найдовша відстань від кінця до кінця еліпса і вдвічі довша за велику піввісь. Напіввелика вісь - це відстань від центру еліпса до найдальшої точки на еліпсі, а напівмалий вісь - відстань від центру до краю еліпса на осі, яка перпендикулярна до напіввеликої осі.

Загальне рівняння для еліпса таке:

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

У цьому випадку велика вісь горизонтальна, оскільки$a,$$x$ -радіус більше. Якби$y$ -радіус був більше,$b$ то$a$ і зворотний. Іншими словами, коефіцієнт$a$ завжди походить від довжини напіввеликої осі (довшої), а коефіцієнт$b$ завжди походить від довжини напівдругорядної осі (коротшої).

Для того, щоб знайти місця розташування двох вогнищ, вам потрібно буде знайти фокусний радіус, представлений як,$c$ використовуючи наступне співвідношення:

$a^{2}-b^{2}=c^{2}$

Після того, як у вас є фокусний радіус, виміряйте від центру вздовж великої осі, щоб знайти осередки. Загальна форма еліпса вимірюється за допомогою ексцентриситету. Ексцентриситет - це міра того, наскільки овальна або кругла форма. Еліпси можуть мати ексцентриситет від 0 до 1, де число, близьке до 0, надзвичайно кругове, а число, близьке до 1, менш кругове. Ексцентриситет розраховується за допомогою:

$e=\frac{c}{a}$

Еліпси також мають дві прямі прямі, які відповідають кожному фокусу, але зовні еліпса. Відстань від центру еліпса до кожної прямої директриси дорівнює$\frac{a^{2}}{c}$

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як ви вимірюєте, наскільки дивною формою є еліпс. Еліпси вимірюються за допомогою їх ексцентриситету. Ось три еліпси з розрахунковим ексцентриситетом для порівняння.

Ексцентриситет - це відношення фокусного радіуса до напіввеликої осі:$e=\frac{c}{a}$

Приклад 2

Знайдіть вершини (кінцеві точки великої осі), вогнища і ексцентриситет наступного еліпса.

$\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y+1)^{2}}{16}=1$

Центр еліпса знаходиться в (2, -1). Велика вісь вертикальна, що означає, що пів-велика вісь є$a=4$. Вершини є (2,3) і (2, -5)

$\begin{aligned} 16^{2}-4^{2} &=c^{2} \\ 4 \sqrt{15}=\sqrt{240} &=c \end{aligned}$

Таким чином, осередками є$(2,-1+4 \sqrt{15})$ і$(2,-1-4 \sqrt{15})$

Приклад 3

Намалюйте наступний еліпс.

$\frac{(y-1)^{2}}{16}+\frac{(x-2)^{2}}{9}=1$

Побудова вогнищ зазвичай важлива, але в цьому випадку питання просто задає вам накидати еліпс. Все, що вам потрібно, це центр,$x$ -радіус і$y$ -радіус.

Приклад 4

Помістіть наступний конічний конус у графічну форму.

$25 x^{2}-150 x+36 y^{2}+72 y-639=0$

$\begin{aligned} 25 x^{2}-150 x+36 y^{2}+72 y-639 &=0 \\ 25\left(x^{2}-6 x\right)+36\left(y^{2}+2 y\right) &=639 \\ 25\left(x^{2}-6 x+9\right)+36\left(y^{2}+2 y+1\right) &=639+225+36 \\ 25(x-3)^{2}+36(y+1)^{2} &=900 \\ \frac{25(x-3)^{2}}{900}+\frac{36(y+1)^{2}}{900} &=\frac{900}{900} \\ \frac{(x-3)^{2}}{36}+\frac{(y+1)^{2}}{25}=1 & \end{aligned}$

Приклад 5

Помістіть наступний конічний конус у графічну форму.

$9 x^{2}-9 x+4 y^{2}+12 y+\frac{9}{4}=-8$

$9 x^{2}-9 x+4 y^{2}+12 y+\frac{9}{4}=-8$

$9 x^{2}-9 x+\frac{9}{4}+4 y^{2}+12 y=-8$

$9\left(x^{2}-x-\frac{1}{4}\right)+4\left(y^{2}+3 y\right)=-8$

$9\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+4\left(y^{2}+3 y+\frac{9}{4}\right)=-8+4 \cdot \frac{9}{4}$

$9\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+4\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}=1$

$\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}{\frac{1}{9}}+\frac{\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}}{\frac{1}{4}}=1$

Рецензія

Знайдіть вершини, вогнища та ексцентриситет для кожного з наступних еліпсів.

1. $\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+5)^{2}}{16}=1$

2. $\frac{(x+1)^{2}}{9}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1$

3. $(x-2)^{2}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$

Тепер намалюйте кожен з наступних еліпсів (зверніть увагу, що вони такі ж, як еліпси в #1 - #3).

4. $\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+5)^{2}}{16}=1$

5. $\frac{(x+1)^{2}}{9}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1$

6. $(x-2)^{2}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$

Помістіть кожне з наступних рівнянь у графічну форму.

7. $x^{2}+2 x+4 y^{2}+56 y+197=16$

8. $x^{2}-8 x+9 y^{2}+18 y+25=9$

9. $9 x^{2}-36 x+4 y^{2}+16 y+52=36$

Знайдіть рівняння для кожного еліпса на основі опису.

10. Еліпс з вершинами (4, -2) та (4,8) та малою віссю довжини$6 .$

11. Еліпс з малою віссю від (4, -1) до (4,3) і великою віссю довжиною 12.

12. Еліпс з малою віссю від (-2,1) до (-2,7) і одним фокусом на (2,4).

13. Еліпс з однією$(6,-15),$ вершиною в осередках (6,10) і (6, -14)

Міст через проїжджу частину повинен бути побудований з його дном у формі напівеліпса 100 футів в ширину і 25 футів у висоту в центрі. Проїжджа частина повинна бути шириною 70 футів.

14. Знайдіть одне можливе рівняння еліпса, яке моделює дно моста.

15. Який просвіт між проїжджою частиною і естакадою на краю проїжджої частини?

...