9.6 Вироджені коніки

Загальне рівняння конічного конуса є$A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0$. Ця форма настільки загальна, що охоплює всі правильні лінії, одиничні точки та вироджені гіперболи, які

виглядати як$\mathrm{X}$. Це пов'язано з тим, що існує кілька особливих випадків того, як площина може перетинати двосторонній конус. Як формуються ці вироджені ShapeGraphing вироджені конуси?

Графік вироджених коніків

Вироджена конічна коніка - це конічний, який не має звичних властивостей конічного конуса. Вироджені конічні рівняння просто не можуть бути записані у вигляді графіків. Розрізняють три види вироджених коніків:

1. Однина точка, яка має вигляд:$\frac{(x-h)^{2}}{a}+\frac{(y-k)^{2}}{b}=0$. Ви можете думати про однину точку як коло або еліпс з нескінченно малим радіусом.

2. Лінія, яка має коефіцієнти$A=B=C=0$ в загальному рівнянні конічного конуса. Частина, що залишилася рівняння$D x+E y+F=0,$ - це лінія.

3. Вироджена гіпербола, яка має вигляд:$\frac{(x-h)^{2}}{a}-\frac{(y-k)^{2}}{b}=0$. Результат - дві пересічні лінії, які утворюють фігуру «X». Ухили пересічних ліній, що$\mathrm{X}$ утворюють площа$\pm \frac{b}{a}$. Це тому, що$b$ йде з$y$ частиною рівняння і є підйомом, в той час як$a$ йде з$x$ частиною рівняння і є пробігом.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитували, як утворюються вироджені коніки. Коли ви перетинаєте площину з двостороннім конусом, де торкаються двох конусів, перетин є єдиною точкою. Коли ви перетинаєте площину з двостороннім конусом так, щоб площина торкалася краю одного конуса, проходила через центральну точку і продовжувала торкатися краю іншого конічного конуса, це створює лінію. Коли ви перетинаєте площину з двостороннім конусом так, щоб площина проходила вертикально через центральну точку двох конусів, вона виробляє вироджену гіперболу.

Приклад 2

Перетворіть конічне рівняння в стандартну форму та ескіз.

$0 x^{2}+0 x y+0 y^{2}+2 x+4 y-6=0$

Це і є лінія$y=-\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}$.

Приклад 3

Перетворіть конічне рівняння в стандартну форму та ескіз.

$3 x^{2}-12 x+4 y^{2}-8 y+16=0$

$3 x^{2}-12 x+4 y^{2}-8 y+16=0$

$\begin{aligned} 3\left(x^{2}-4 x\right)+4\left(y^{2}-2 y\right) &=-16 \\ 3\left(x^{2}-4 x+4\right)+4\left(y^{2}-2 y+1\right) &=-16+12+4 \\ 3(x-2)^{2}+4(y-1)^{2} &=0 \\ \frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{3} &=0 \end{aligned}$

Точка (2,1) є результатом цього виродженого конічного конуса.

Приклад 4

Перетворіть конічне рівняння в стандартну форму та ескіз.

$16 x^{2}-96 x-9 y^{2}+18 y+135=0$

$16 x^{2}-96 x-9 y^{2}+18 y+135=0$

$\begin{aligned} 16\left(x^{2}-6 x\right)-9\left(y^{2}-2 y\right) &=-135 \\ 16\left(x^{2}-6 x+9\right)-9\left(y^{2}-2 y+1\right) &=-135+144-9 \\ 16(x-3)^{2}-9(y-1)^{2} &=0 \\ \frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{(y-1)^{2}}{16} &=0 \end{aligned}$

Це вироджена гіпербола.

Приклад 5

1. Створіть конічний конус, який описує тільки точку (4,7)).

$(x-4)^{2}+(y-7)^{2}=0$

Рецензія

1. Які три вироджені коніки?

Змініть кожне рівняння на графічну форму та вкажіть, який тип конічної або виродженої конічної коніки це.

2. $x^{2}-6 x-9 y^{2}-54 y-72=0$

3. $4 x^{2}+16 x-9 y^{2}+18 y-29=0$

4. $9 x^{2}+36 x+4 y^{2}-24 y+72=0$

5. $9 x^{2}+36 x+4 y^{2}-24 y+36=0$

6. $0 x^{2}+5 x+0 y^{2}-2 y+1=0$

7. $x^{2}+4 x-y+8=0$

8. $x^{2}-2 x+y^{2}-6 y+6=0$

9. $x^{2}-2 x-4 y^{2}+24 y-35=0$

10. $x^{2}-2 x+4 y^{2}-24 y+33=0$

Намалюйте кожну конічну або вироджену конічну коніку.

11. $\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{9}=0$

12. $\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$

13. $\frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$

14. $\frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{(y+3)^{2}}{4}=0$

15. $3 x+4 y=12$