9.6 Вироджені коніки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54572

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Загальне рівняння конічного конуса є\(A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\). Ця форма настільки загальна, що охоплює всі правильні лінії, одиничні точки та вироджені гіперболи, які

виглядати як\(\mathrm{X}\). Це пов'язано з тим, що існує кілька особливих випадків того, як площина може перетинати двосторонній конус. Як формуються ці вироджені ShapeGraphing вироджені конуси?

Графік вироджених коніків

Вироджена конічна коніка - це конічний, який не має звичних властивостей конічного конуса. Вироджені конічні рівняння просто не можуть бути записані у вигляді графіків. Розрізняють три види вироджених коніків:

1. Однина точка, яка має вигляд:\(\frac{(x-h)^{2}}{a}+\frac{(y-k)^{2}}{b}=0\). Ви можете думати про однину точку як коло або еліпс з нескінченно малим радіусом.

2. Лінія, яка має коефіцієнти\(A=B=C=0\) в загальному рівнянні конічного конуса. Частина, що залишилася рівняння\(D x+E y+F=0,\) - це лінія.

3. Вироджена гіпербола, яка має вигляд:\(\frac{(x-h)^{2}}{a}-\frac{(y-k)^{2}}{b}=0\). Результат - дві пересічні лінії, які утворюють фігуру «X». Ухили пересічних ліній, що\(\mathrm{X}\) утворюють площа\(\pm \frac{b}{a}\). Це тому, що\(b\) йде з\(y\) частиною рівняння і є підйомом, в той час як\(a\) йде з\(x\) частиною рівняння і є пробігом.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитували, як утворюються вироджені коніки. Коли ви перетинаєте площину з двостороннім конусом, де торкаються двох конусів, перетин є єдиною точкою. Коли ви перетинаєте площину з двостороннім конусом так, щоб площина торкалася краю одного конуса, проходила через центральну точку і продовжувала торкатися краю іншого конічного конуса, це створює лінію. Коли ви перетинаєте площину з двостороннім конусом так, щоб площина проходила вертикально через центральну точку двох конусів, вона виробляє вироджену гіперболу.

Приклад 2

Перетворіть конічне рівняння в стандартну форму та ескіз.

\(0 x^{2}+0 x y+0 y^{2}+2 x+4 y-6=0\)

Це і є лінія\(y=-\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}\).

Приклад 3

Перетворіть конічне рівняння в стандартну форму та ескіз.

\(3 x^{2}-12 x+4 y^{2}-8 y+16=0\)

\(\begin{aligned} 3\left(x^{2}-4 x\right)+4\left(y^{2}-2 y\right) &=-16 \\ 3\left(x^{2}-4 x+4\right)+4\left(y^{2}-2 y+1\right) &=-16+12+4 \\ 3(x-2)^{2}+4(y-1)^{2} &=0 \\ \frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{3} &=0 \end{aligned}\)

Точка (2,1) є результатом цього виродженого конічного конуса.

Приклад 4

Перетворіть конічне рівняння в стандартну форму та ескіз.

\(16 x^{2}-96 x-9 y^{2}+18 y+135=0\)

\(\begin{aligned} 16\left(x^{2}-6 x\right)-9\left(y^{2}-2 y\right) &=-135 \\ 16\left(x^{2}-6 x+9\right)-9\left(y^{2}-2 y+1\right) &=-135+144-9 \\ 16(x-3)^{2}-9(y-1)^{2} &=0 \\ \frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{(y-1)^{2}}{16} &=0 \end{aligned}\)

Це вироджена гіпербола.

Приклад 5

1. Створіть конічний конус, який описує тільки точку (4,7)).

\((x-4)^{2}+(y-7)^{2}=0\)

Рецензія

1. Які три вироджені коніки?

Змініть кожне рівняння на графічну форму та вкажіть, який тип конічної або виродженої конічної коніки це.

2. \(x^{2}-6 x-9 y^{2}-54 y-72=0\)

3. \(4 x^{2}+16 x-9 y^{2}+18 y-29=0\)

4. \(9 x^{2}+36 x+4 y^{2}-24 y+72=0\)

5. \(9 x^{2}+36 x+4 y^{2}-24 y+36=0\)

6. \(0 x^{2}+5 x+0 y^{2}-2 y+1=0\)

7. \(x^{2}+4 x-y+8=0\)

8. \(x^{2}-2 x+y^{2}-6 y+6=0\)

9. \(x^{2}-2 x-4 y^{2}+24 y-35=0\)

10. \(x^{2}-2 x+4 y^{2}-24 y+33=0\)

Намалюйте кожну конічну або вироджену конічну коніку.

11. \(\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{9}=0\)

12. \(\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y+3)^{2}}{16}=1\)

13. \(\frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(y-1)^{2}}{4}=1\)

14. \(\frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{(y+3)^{2}}{4}=0\)

15. \(3 x+4 y=12\)