9.3 Кола

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54583

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Коло - це сукупність точок, які знаходяться на однаковій відстані від однієї точки. Який зв'язок між теоремою Піфагора і колом?

Графічні кола

Єдина точка, від якої всі точки на колі знаходяться на рівновіддаленій відстані, називається центром кола. Коло не має фокусу або директриси, замість цього він просто має центр. Кола можуть бути розпізнані відразу з загального рівняння конічного конуса, коли коефіцієнти\(x^{2}\) і\(y^{2}\) є одним і тим же знаком і однаковим значенням. Кола не є функціями, оскільки вони не проходять тест вертикальної лінії. Відстань від центру кола до краю кола називається радіусом кола. Відстань від одного кінця кола через центр до іншого кінця кола називається діаметром. Діаметр дорівнює подвійному радіусу.

Графічна форма кола:

\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)

Центр кола знаходиться в,\((h, k)\) а радіус кола -\(r\). Зауважте, що це виглядає чудово, як теорема Піфагора.

Щоб намалювати коло, спочатку нанесіть центр, а потім застосуйте радіус. Візьмемо наступне рівняння для кола:

\((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9\)

Центр знаходиться за адресою (1, -2). Помістіть цю точку та чотири точки, які знаходяться рівно 3 одиниці від центру.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали про зв'язок кіл і теореми Піфагора. Причина, чому графічна форма кола виглядає як теорема Піфагора, полягає в тому, що кожна\(x\)\(y\) координата уздовж зовнішньої сторони кола утворює ідеальний прямокутний трикутник з радіусом як гіпотенуза.

Приклад 2

Графік наступний конічний:\((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=1\)

Приклад 3

Перетворіть наступне рівняння в графічну форму для кола. Визначте центр і радіус.

\(36 x^{2}+36 y^{2}-24 x+36 y-275=0\)

Завершіть квадрат, а потім діліть на коефіцієнт\(x^{2}\) і\(y^{2}\)

\(36 x^{2}-24 x+36 y^{2}+36 y=275\)

\(36\left(x^{2}-\frac{2}{3} x+\underline{-}\right)+36\left(y^{2}+y+\underline{x}\right)=275\)

\(36\left(x^{2}-\frac{2}{3} x+\frac{1}{9}\right)+36\left(y^{2}+y+\frac{1}{4}\right)=275+4+9\)

\(36\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}+36\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=288\)

\(\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=8\)

Центр - це\(\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{2}\right)\). Радіус дорівнює\(\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\).

Приклад 4

Запишіть рівняння для наступного кола.

\((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4\)

Приклад 5

Запишіть рівняння наступного кола.

Центр кола знаходиться в (3,1), а радіус кола дорівнює\(r=4\). Рівняння\((x-3)^{2}+(y-1)^{2}=16\)

Рецензія

Графік наведено наступні коніки:

1. \((x+4)^{2}+(y-3)^{2}=1\)

2. \((x-7)^{2}+(y+1)^{2}=4\)

3. \((y+2)^{2}+(x-1)^{2}=9\)

4. \(x^{2}+(y-5)^{2}=8\)

5. \((x-2)^{2}+y^{2}=16\)

Перекладіть наступні коніки зі стандартної форми на графічну форму.

6. \(x^{2}-4 x+y^{2}+10 y+18=0\)

7. \(x^{2}+2 x+y^{2}-8 y+1=0\)

8. \(x^{2}-6 x+y^{2}-4 y+12=0\)

9. \(x^{2}+2 x+y^{2}+14 y+25=0\)

10. \(x^{2}-2 x+y^{2}-2 y=0\)

Напишіть рівняння для наступних кіл.

11.

12.

13.

14.

15.