Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.10 Часткові дроби

Коли дано раціональний вираз, як4x9x23x це дуже корисно в численні, щоб мати можливість записати його як суму двох простіших дробів на3x+1x3. кшталт Складна частина намагається перейти від початкового раціонального виразу до більш простих дробів.

Можливо, ви знаєте, як додати дроби і перейти від двох або більше окремих дробів до одного дробу, але як же піти навпаки?

РУБРИКА Розкладання часткової дроб

Розкладання часткових дробів - це процедура, яка змінює додавання дробів з несхожими знаменниками. Найскладніша частина - придумати знаменники кожного окремого часткового дробу. Подивіться, чи зможете ви помітити візерунок.

6x1x2(x1)(x2+2)=Ax+Bx2+Cx1+Dx+Ex2+2

У цьому прикладі повинен бути представлений кожен індивідуальний фактор знаменника. Лінійні коефіцієнти, які піднімаються до потужності, більшої за одиницю, повинні мати кожну наступну потужність, включену як окремий знаменник. Квадратичні члени, які не мають множника на лінійні члени, включаються з чисельником, який є лінійною функцієюx. Погляньте на приклади, щоб побачити розкладання часткових дробів на практиці.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як перейти від одного дробу до декількох більш простих дробів. Для розкладання раціонального виразу на суму двох простіших дробів потрібно використовувати декомпозицію часткового дробу.

4x9x23x=Ax+Bx34x9=A(x3)+Bx4x9=Ax3A+Bx

Зверніть увагу, що постійний термін -9 повинен дорівнювати постійному терміну3A і що терміни зx повинні бути рівними, а також.

9=3A4=A+B

Рішення цієї системи дає:

A=3,B=1

Тому,

4x9x23x=3x+1x3

Приклад 2

Використовуйте часткові дроби, щоб розкласти наступний раціональний вираз.

7x2+x+6x3+3x

Спочатку множник позначають знаменник і визначають знаменники часткових дробів.

7x2+x+6x(x2+3)=Ax+Bx+Cx2+3

Коли фракції усуваються шляхом множення на РК рівняння стає:

7x2+x+6=A(x2+3)+x(Bx+C)

7x2+x+6=Ax2+3A+Bx2+Cx

Зверніть увагу, що квадратний член, лінійний член і постійний член утворюють систему з трьох рівнянь з трьома змінними

A+B=7

C=1

3A=6

У цьому випадку це легко помітитиA=2,B=5,C=1. Часто результуюча система рівнянь є більш складною і виграє від ваших знань розв'язання систем за допомогою матриць.

7x2+x+6x(x2+3)=2x+5x+1x2+3

Приклад 3

Розкладіть наступне раціональне вираз.

5x43x3x2+4x1(x1)3x2

Спочатку виділяють знаменники часткових дробів.

5x43x3x2+4x1(x1)3x2=Ax1+B(x1)2+C(x1)3+Dx+Ex2

Коли весь дріб множиться(x1)3x2 на результат рівняння до.

5x43x3x2+4x1

=A(x1)2x2+B(x1)x2+Cx2+D(x1)3x+E(x1)3

Множення кожного члена можна робити окремо, щоб бути особливо обережним.

Ax42Ax3+Ax2

Bx3Bx2

Cx2

Dx43Dx3+3Dx2Dx

Ex33Ex2+3ExE

Групуйте терміни з однаковою силоюx і встановленими рівними відповідному члену.

5x4=Ax4+Dx43x3=2Ax3+Bx33D3+Ex3x2=Ax2Bx2+Cx2+3Dx23Ex24x=Dx+3Ex1=E

З цих 5 рівняньx можна розділити кожне. Припустімо, щоx0 тому, що якби це було, то оригінальний вираз буде невизначено.

5=A+D3=2A+B3D+E1=AB+C+3D3E4=D+3E1=E

Це система рівнянь п'яти змінних і 5 рівнянь. Деякі з рівнянь можуть бути вирішені за допомогою логіки і підстановки на кшталтE=1,D=7,A=12. Ви можете використовувати будь-який метод, що включає детермінанти або матриці. У цьому випадку найпростіше підставити відомі значення в рівняння з одним невідомим значенням, щоб отримати більше відомих значень і повторити.

B=1C=65x43x3x2+4x1(x1)3x2=12x1+1(x1)2+6(x1)3+7x+1x2

Приклад 4

Розкладіть наступне раціональне вираз.

5x43x3x2+4x1(x1)3x2

Спочатку виділяють знаменники часткових дробів.

5x43x3x2+4x1(x1)3x2=Ax1+B(x1)2+C(x1)3+Dx+Ex2

Коли весь дріб множиться(x1)3x2 на результат рівняння до.

5x43x3x2+4x1

=A(x1)2x2+B(x1)x2+Cx2+D(x1)3x+E(x1)3

Множення кожного члена можна робити окремо, щоб бути особливо обережним.

Ax42Ax3+Ax2

Bx3Bx2

Cx2

Dx43Dx3+3Dx2Dx

Ex33Ex2+3ExE

Групуйте терміни з однаковою силоюx і встановленими рівними відповідному члену.

5x4=Ax4+Dx43x3=2Ax3+Bx33D3+Ex3x2=Ax2Bx2+Cx2+3Dx23Ex24x=Dx+3Ex1=E

З цих 5 рівняньx можна розділити кожне. Припустімо, щоx0 тому, що якби це було, то оригінальний вираз буде невизначено.

5=A+D3=2A+B3D+E1=AB+C+3D3E4=D+3E1=E

Це система рівнянь п'яти змінних і 5 рівнянь. Деякі з рівнянь можуть бути вирішені за допомогою логіки і підстановки на кшталтE=1,D=7,A=12. Ви можете використовувати будь-який метод, що включає детермінанти або матриці. У цьому випадку найпростіше підставити відомі значення в рівняння з одним невідомим значенням, щоб отримати більше відомих значень і повторити.

B=1C=65x43x3x2+4x1(x1)3x2=12x1+1(x1)2+6(x1)3+7x+1x2

Приклад 5

Використовуйте матриці, щоб допомогти вам розкласти наступний раціональний вираз. Підтвердіть рішення шляхом додавання часткових дробів.

5x2(2x1)(3x+4)

\(\begin{aligned} \frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)} &=\frac{A}{2 x-1}+\frac{B}{3 x+4} \\ 5 x-2 &=A(3 x+4)+B(2 x-1) \\ 5 x-2 &=3 A x+4 A+2 B x-B \\ 5 &=3 A+2 B \\-2 &=4 A-B \end{aligned}\)

[325412]43[128201236]I[1282001126]11.8[13288220088208]

II

[132012088208]÷132÷88[10111012611]

A=111,B=2611

5x2(2x1)(3x+4)=1112x1+26113x+4

Для підтвердження додаємо дроби.

5x2(2x1)(3x+4)=1112x1+26113x+45x2=111(3x+4)+2611(2x1)55x22=3x+4+26(2x1)55x22=3x+4+52x2655x22=55x22

Рецензія

Розкладіть наступні раціональні вирази. Практикуйте використання матриць хоча б з однією з проблем.

1. 3x4(x1)(x+4)

2. 2x+1x2(x3)

3. x+1x(x5)

4. x2+3x+1x(x3)(x+6)

5. 3x2+2x1x2(x+2)

6. x2+1x(x1)(x+1)

7. 4x29x2(x4)

8. 2x4(x+7)(x3)

9. 3x4x2(x2+1)

10. 2x+5(x3)(x2+4)

11. 3x2+2x5x2(x3)(x2+1)

12. Підтвердіть свою відповідь#1, додавши часткові дроби.

13. Підтвердіть свою відповідь на #3, додавши часткові дроби.

14. Підтвердіть свою відповідь#6, додавши часткові дроби.

15. Підтвердіть свою відповідь на #9, додавши часткові дроби.