8.10 Часткові дроби

Приклад 1

Раніше вас запитали, як перейти від одного дробу до декількох більш простих дробів. Для розкладання раціонального виразу на суму двох простіших дробів потрібно використовувати декомпозицію часткового дробу.

\(\begin{aligned} \frac{4 x-9}{x^{2}-3 x} &=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3} \\ 4 x-9 &=A(x-3)+B x \\ 4 x-9 &=A x-3 A+B x \end{aligned}\)

Зверніть увагу, що постійний термін -9 повинен дорівнювати постійному терміну\(-3 A\) і що терміни з\(x\) повинні бути рівними, а також.

\(\begin{aligned}-9 &=-3 A \\ 4 &=A+B \end{aligned}\)

Рішення цієї системи дає:

\(A=3, \quad B=1\)

Тому,

\(\frac{4 x-9}{x^{2}-3 x}=\frac{3}{x}+\frac{1}{x-3}\)

Приклад 2

Використовуйте часткові дроби, щоб розкласти наступний раціональний вираз.

\(\frac{7 x^{2}+x+6}{x^{3}+3 x}\)

Спочатку множник позначають знаменник і визначають знаменники часткових дробів.

\(\frac{7 x^{2}+x+6}{x\left(x^{2}+3\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+3}\)

Коли фракції усуваються шляхом множення на РК рівняння стає:

\(7 x^{2}+x+6=A\left(x^{2}+3\right)+x(B x+C)\)

\(7 x^{2}+x+6=A x^{2}+3 A+B x^{2}+C x\)

Зверніть увагу, що квадратний член, лінійний член і постійний член утворюють систему з трьох рівнянь з трьома змінними

\(A+B=7\)

\(C=1\)

\(3 A=6\)

У цьому випадку це легко помітити\(A=2, B=5, C=1\). Часто результуюча система рівнянь є більш складною і виграє від ваших знань розв'язання систем за допомогою матриць.

\(\frac{7 x^{2}+x+6}{x\left(x^{2}+3\right)}=\frac{2}{x}+\frac{5 x+1}{x^{2}+3}\)

Приклад 3

Розкладіть наступне раціональне вираз.

\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}\)

Спочатку виділяють знаменники часткових дробів.

\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}}+\frac{D}{x}+\frac{E}{x^{2}}\)

Коли весь дріб множиться\((x-1)^{3} x^{2}\) на результат рівняння до.

\(5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1\)

\(=A(x-1)^{2} x^{2}+B(x-1) x^{2}+C x^{2}+D(x-1)^{3} x+E(x-1)^{3}\)

Множення кожного члена можна робити окремо, щоб бути особливо обережним.

\(A x^{4}-2 A x^{3}+A x^{2}\)

\(B x^{3}-B x^{2}\)

\(C x^{2}\)

\(D x^{4}-3 D x^{3}+3 D x^{2}-D x\)

\(E x^{3}-3 E x^{2}+3 E x-E\)

Групуйте терміни з однаковою силою\(x\) і встановленими рівними відповідному члену.

\(\begin{aligned} 5 x^{4} &=A x^{4}+D x^{4} \\ -3 x^{3} &=-2 A x^{3}+B x^{3}-3 D^{3}+E x^{3} \\ -x^{2} &=A x^{2}-B x^{2}+C x^{2}+3 D x^{2}-3 E x^{2} \\ 4 x &=-D x+3 E x \\ -1 &=-E \end{aligned}\)

З цих 5 рівнянь\(x\) можна розділити кожне. Припустімо, що\(x \neq 0\) тому, що якби це було, то оригінальний вираз буде невизначено.

\(\begin{aligned} 5 &=A+D \\ -3 &=-2 A+B-3 D+E \\ -1 &=A-B+C+3 D-3 E \\ 4 &=-D+3 E \\ -1 &=E \end{aligned}\)

Це система рівнянь п'яти змінних і 5 рівнянь. Деякі з рівнянь можуть бути вирішені за допомогою логіки і підстановки на кшталт\(E=-1, D=-7, A=12\). Ви можете використовувати будь-який метод, що включає детермінанти або матриці. У цьому випадку найпростіше підставити відомі значення в рівняння з одним невідомим значенням, щоб отримати більше відомих значень і повторити.

\(\begin{aligned} B &=1 \\ C &=6 \\ \frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}} &=\frac{12}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{6}{(x-1)^{3}}+\frac{-7}{x}+\frac{-1}{x^{2}} \end{aligned}\)

Приклад 4

Розкладіть наступне раціональне вираз.

\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}\)

Спочатку виділяють знаменники часткових дробів.

\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}}+\frac{D}{x}+\frac{E}{x^{2}}\)

Коли весь дріб множиться\((x-1)^{3} x^{2}\) на результат рівняння до.

\(5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1\)

\(=A(x-1)^{2} x^{2}+B(x-1) x^{2}+C x^{2}+D(x-1)^{3} x+E(x-1)^{3}\)

Множення кожного члена можна робити окремо, щоб бути особливо обережним.

\(A x^{4}-2 A x^{3}+A x^{2}\)

\(B x^{3}-B x^{2}\)

\(C x^{2}\)

\(D x^{4}-3 D x^{3}+3 D x^{2}-D x\)

\(E x^{3}-3 E x^{2}+3 E x-E\)

Групуйте терміни з однаковою силою\(x\) і встановленими рівними відповідному члену.

\(\begin{aligned} 5 x^{4} &=A x^{4}+D x^{4} \\ -3 x^{3} &=-2 A x^{3}+B x^{3}-3 D^{3}+E x^{3} \\ -x^{2} &=A x^{2}-B x^{2}+C x^{2}+3 D x^{2}-3 E x^{2} \\ 4 x &=-D x+3 E x \\ -1 &=-E \end{aligned}\)

З цих 5 рівнянь\(x\) можна розділити кожне. Припустімо, що\(x \neq 0\) тому, що якби це було, то оригінальний вираз буде невизначено.

\(\begin{aligned} 5 &=A+D \\ -3 &=-2 A+B-3 D+E \\ -1 &=A-B+C+3 D-3 E \\ 4 &=-D+3 E \\ -1 &=E \end{aligned}\)

Це система рівнянь п'яти змінних і 5 рівнянь. Деякі з рівнянь можуть бути вирішені за допомогою логіки і підстановки на кшталт\(E=-1, D=-7, A=12\). Ви можете використовувати будь-який метод, що включає детермінанти або матриці. У цьому випадку найпростіше підставити відомі значення в рівняння з одним невідомим значенням, щоб отримати більше відомих значень і повторити.

\(\begin{aligned} B &=1 \\ C &=6 \\ \frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}} &=\frac{12}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{6}{(x-1)^{3}}+\frac{-7}{x}+\frac{-1}{x^{2}} \end{aligned}\)

Приклад 5

Використовуйте матриці, щоб допомогти вам розкласти наступний раціональний вираз. Підтвердіть рішення шляхом додавання часткових дробів.

\(\frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)}\)

\(\begin{aligned} \frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)} &=\frac{A}{2 x-1}+\frac{B}{3 x+4} \\ 5 x-2 &=A(3 x+4)+B(2 x-1) \\ 5 x-2 &=3 A x+4 A+2 B x-B \\ 5 &=3 A+2 B \\-2 &=4 A-B \end{aligned}\)

\(\left[\begin{array}{cc|c}3 & 2 & 5 \\ 4 & -1 & -2\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{cc}\rightarrow & \cdot 4 & \rightarrow \\ \rightarrow & \cdot 3 & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}12 & 8 & 20 \\ 12 & -3 & -6\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{cc}\rightarrow \\ -I & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}12 & 8 & 20 \\ 0 & -11 & -26\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{cc}\rightarrow & 11 & \rightarrow \\ \rightarrow & .8 & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}132 & 88 & 220 \\ 0 & -88 & -208\end{array}\right]\)

\(\rightarrow I I \quad \rightarrow\)

\(\rightarrow\)\(\left[\begin{array}{cc|c}132 & 0 & 12 \\ 0 & -88 & -208\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{ccc}\rightarrow & \div 132 & \rightarrow \\ \rightarrow & \div-88 & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}1 & 0 & \frac{1}{11} \\ 0 & 1 & \frac{26}{11}\end{array}\right]\)

\(A=\frac{1}{11}, B=-\frac{26}{11}\)

\(\frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)}=\frac{\frac{1}{11}}{2 x-1}+\frac{\frac{26}{11}}{3 x+4}\)

Для підтвердження додаємо дроби.

\(\begin{aligned} \frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)} &=\frac{\frac{1}{11}}{2 x-1}+\frac{\frac{26}{11}}{3 x+4} \\ 5 x-2 &=\frac{1}{11}(3 x+4)+\frac{26}{11}(2 x-1) \\ 55 x-22 &=3 x+4+26(2 x-1) \\ 55 x-22 &=3 x+4+52 x-26 \\ 55 x-22 &=55 x-22 \end{aligned}\)