5.6: фазовий зсув синусоїдальних функцій

Періодична функція, яка починається не на синусоїдальної осі або на максимумі або мінімумі, була зрушена горизонтально. Цей горизонтальний рух дозволяє використовувати різні початкові точки, оскільки синусоїда не має ні початку, ні кінця.

Які ще п'ять способів написання функції$f(x)=2 \cdot \sin x ?$

Фазовий зсув синусоїдальних функцій

Загальна синусоїдальна функція - це:

$f(x)=\pm a \cdot \sin (b(x+c))+d$

Постійна$c$ контролює зсув фаз. Фазовий зсув - горизонтальний зсув вліво або вправо для періодичних функцій. Якщо$c=\frac{\pi}{2}$ тоді синусоїда зміщується вліво на$\frac{\pi}{2}$. Якщо$c=-3$ тоді синусоїда зрушена вправо на$3 .$ Це протилежний напрямок, ніж ви могли б очікувати, але це відповідає правилам перетворень для всіх функцій.

Для графіка такої функції, як$f(x)=3 \cdot \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1,$ перший, знайти початок і кінець одного періоду. Потім намалюйте тільки ту ділянку синусоїдальної осі. Нарешті, побудуйте 5 важливих моментів для косинусного графіка, зберігаючи амплітуду на увазі. Графік наведено нижче.

Як правило$b$, завжди пишеться, щоб бути позитивним. Якщо ви зіткнулися з ситуацією,$b$ коли негативна, використовуйте свої знання парних і непарних функцій, щоб переписати функцію.

$\cos (-x)=\cos (x)$
$\sin (-x)=-\sin (x)$

Приклади

Приклад 1

Раніше вас просили$f(x)=2 \cdot \sin x$ написати п'ятьма різними способами. Функцію$f(x)=2 \cdot \sin x$ можна переписати нескінченною кількістю способів.

\ (
2\ cdot\ sin х = -2\ cdot\ cos\ ліворуч (x+\ frac {\ pi} {2}\ праворуч) =2\ cdot\ cos\ ліворуч (х-\ frac {\ pi} {2}\ праворуч) =-2\ cdot\ sin (x-\ pi) =2\ cdot\ sin (x-8\ pi)
\

Все залежить від того, де ви виберете початок і чи бачите ви позитивний або негативний синус або косинус графік.

Приклад 2

З огляду на наступний графік, ідентифікують еквівалентні синусоїдальні та косинусні алгебраїчні моделі.

Або це синусоїдальна функція, зсунута праворуч,$\frac{\pi}{4}$ або косинусний графік зміщений вліво$\frac{5 \pi}{4}$.

$f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left(x+\frac{5 \pi}{4}\right)$

Приклад 3

У$t=5$ хвилини Вільям піднімається вгору на 2 фути, щоб сісти в найнижчій точці колеса огляду, яка має діаметр 80 футів. Через цілу годину він остаточно відпускається з колеса після того, як зробив лише один оборот. Протягом цієї години він замислювався, як моделювати його зріст з часом на графіку та рівнянні.

Оскільки період 60, який надзвичайно добре працює з$360^{\circ}$ колом, ця проблема буде показана в градусах.

\ (
\ begin {масив} {|l|l|}
\ hline\ текст {Час (хвилини)} &\ текст {Висота (фути)}
\\ hline 5 & 2
\\ hline 20 & 42\
\\ hline 35 & 82\\
\ hline 50 & 42\\
\ hline 65 & 2\\
\ hline
\ end {масив}
\)

Вільям вирішує бачити негативний косинус на графіку. Він визначає амплітуду 40 футів. Вертикальний зсув синусоїдальної осі становить 42 фути. Горизонтальний зсув - 5 хвилин вправо

Період становить 60 (не 65) хвилин, що означає,$b=6$ коли графується в градусах.

$60=\frac{360}{b}$

Таким чином, одне рівняння було б:

$f(x)=-40 \cdot \cos (6(x-5))+42$

Приклад 4

Таблиці припливів повідомляють про час і глибину відливів і припливів. Ось частина звіту про припливи від Салема, штат Массачусетс, датований 19 вересня 2006 року.

\ (
\ begin {масив} {|c|c|c|}
\ hline 10:15\ mathrm {AM} & 9\ mathrm {ft} &\ text {прилив}\
\ hline 4:15\ mathrm {PM} & 1\ mathrm {фут}. &\ текст {Відлив}\
\ hline 10:15\ mathrm {PM} & 9\ mathrm {ft} &\ text {прилив}\
\ hline
\ кінець {масив}
\)

Знайдіть рівняння, яке прогнозує висоту на основі часу. Вибирайте, коли$t=0$ ретельно.

Є два логічних місця для установки$t=0$. Перший - опівночі напередодні ввечері, а другий - о 10:15 ранку. Перший варіант ілюструє зсув фаз, який є фокусом цієї концепції, але другий варіант дає більш просте рівняння. Встановіть$t=0$, щоб бути опівночі і вибрати одиниці, щоб бути в хвилинах.

\ (
\ begin {масив} {|l|l|l|}
\ hline\ текст {Час (години: хвилини)} &\ текст {Час (хвилини)} &\ текст {Приплив (фути)}
\\ hline 10:15 & 615 & 9\
\\ hline 16:15 & 975 & 1\
\ hline 22:15 & 1335 & 9\\\
\ hline &\ frac {615+975} {2} =795 & 5\\
\ hline &\\ гідророзриву {1335+975} {2} =1155 & 5\\
\ hline
\ кінець {масив}
\)

Ці числа, здається, вказують на позитивну косинусну криву. Амплітуда дорівнює 4, а вертикальний зсув - 5. Горизонтальний зсув дорівнює 615, а період - 720.

$720=\frac{2 \pi}{b} \rightarrow b=\frac{\pi}{360}$

Таким чином, одне рівняння:

$f(x)=4 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{360}(x-615)\right)+5$

Приклад 5

Використовуйте рівняння з Прикладу 4, щоб дізнатися, коли приплив буде точно$8 \mathrm{ft}$ у вересні$19^{t h}$.

Ця проблема дає вам$y$ і просить вас знайти$x$. Пізніше ви дізнаєтеся, як вирішити це алгебраїчно, але поки використовуйте силу кнопки перетину на вашому калькуляторі, щоб перетинати функцію з лінією$y=8$. Не забудьте знайти всі$x$ значення між 0 і 1440, щоб врахувати протягом цілих 24 годин.

Є чотири рази протягом 24 годин, коли висота рівно 8 футів. Ви можете перетворити ці часи на години та хвилини, якщо хочете.

$t \approx 532.18$(8:52), 697.82 (11:34), 1252.18 (20:52), 1417.82 (23:38)

Рецензія

Графік кожної з наступних функцій.

1. $f(x)=2 \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)-1$

2. $g(x)=-\sin (x-\pi)+3$

3. $h(x)=3 \cos (2(x-\pi))$

4. $k(x)=-2 \sin (2 x-\pi)+1$

5. $j(x)=-\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$

Наведіть одне можливе рівняння синуса для кожного з наведених нижче графіків.

6.

7.

8.

Дайте одну можливу функцію косинуса для кожного з наведених нижче графіків.

9.

10.

11.

Температуру протягом певного 24-годинного періоду можна моделювати за допомогою синусоїдальної функції. При 3:00 температура за період досягає низького рівня$22^{\circ} \mathrm{F}$. При$15: \mathrm{OO}$, температура за період досягає максимуму$40^{\circ} F$

12. Знайдіть рівняння, яке прогнозує температуру на основі часу в хвилинах. Вибирайте$t=0$, щоб опівночі.

13. Використовуйте рівняння від #12, щоб передбачити температуру при$4: 00 \mathrm{PM}$.

14. Використовуйте рівняння від #12, щоб передбачити температуру в 8:00 AM.

15. Використовуйте рівняння з #12, щоб передбачити час (и) це буде$32^{\circ} \mathrm{F}$.

...