5.3: Амплітуда синусоїдальних функцій

Амплітуда синусоїдальної і косинусної функцій - це вертикальна відстань між синусоїдальної віссю і максимальним або мінімальним значенням функції. По відношенню до звукових хвиль амплітуда - це міра того, наскільки голосно щось.

Яка найпоширеніша помилка, допущена при графіку амплітуди синусоїди?

Амплітуда синусоїдальних функцій

Загальна форма синусоїдальної функції - це:

f (x) =\ пм а\ cdot\ sin (б (х+с)) +д

Функцію косинуса можна так само легко підставити, і для багатьох завдань буде простіше використовувати рівняння косинуса. Оскільки і синусоїди, і косинуси однакові, за винятком горизонтального зсуву, все залежить від того, де ви бачите хвилю, що починається.

Коефіцієнт$a$ - амплітуда. Коли немає числа, тоді амплітуда -$1 .$ найкращий спосіб визначити амплітуду - це зображення. Нижче наведено графік функції,$f(x)=3 \cdot \sin x,$ яка має амплітуду 3.

Зверніть увагу, що амплітуда дорівнює 3, а не 6. Це відповідає абсолютному значенню максимального і мінімального значень функції. Якби функція була,$f(x)=-3 \cdot \sin x,$ то весь графік буде відображатися поперек$x$ осі.

Також зверніть увагу, що$x$ вісь на графіку вище не позначена. Це показує, що амплітуда - це вертикальна відстань. Синусоїдальна вісь - це нейтральна горизонтальна лінія, яка лежить між гребенями і западинами (або піками і долинами, якщо ви віддаєте перевагу). Для цієї функції синусоїдальна вісь була лише$x$ віссю, але якби весь графік був зміщений вгору, синусоїдальна вісь більше не була б$x$ віссю. Натомість це все одно буде горизонтальна лінія безпосередньо між гребенями та коритами, яка також є середнім значенням максимального та мінімального значень.

Перегляньте частину цього відео, обговорюючи амплітуду:

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали про найпоширенішу помилку, допущену при графіку амплітуди однієї хвилі. Найпоширеніша помилка - подвоєння або вдвічі зменшення амплітуди без необхідності. Багато хто забуває, що число$a$ в рівнянні, як і 3 в$f(x)=3 \sin x$, - це відстань від$x$ осі як до піку, так і до долини. Це не загальна відстань від вершини до долини.

Приклад 2

Графік наступної функції шляхом побудови основних пунктів:$f(x)=-2 \cdot \cos x$.

Амплітуда дорівнює 2, а значить максимальні значення будуть на рівні 2, а мінімальні - на -2. Зазвичай з базовою косинусною кривою точки, відповідні$0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3 \pi}{2}, 2 \pi$ падати вище, на або нижче лінії в наступній послідовності: вище, на, внизу, на, вище. Негативний знак у рівнянні перемикається вище на нижче і знизу з вище. Весь графік відображається поперек$x$ -осі.

Приклад 3

Напишіть рівняння косинуса для кожної з наступних функцій.

Амплітуди трьох функцій становлять 3,1$\frac{1}{2}$ і жодна з них не відображається поперек$x$ осі.

$f(x)=3 \cdot \cos x$
$h(x)=\cos x$
$g(x)=\frac{1}{2} \cdot \cos x$

Зверніть увагу, що сама по собі амплітуда завжди позитивна.

Приклад 4

Колесо огляду радіусом 25 футів сидить поруч з платформою. Поїздка починається на платформі і їде вниз, щоб почати. Модель висоти в порівнянні з часом їзди.

Оскільки інформація про час не дається, просто позначте$x$ вісь як час. За часом нуль висота дорівнює нулю. Спочатку висота буде зменшуватися в міру того, як їзда йде нижче платформи. В кінцевому підсумку колесо знайде мінімум і почне збільшуватися знову до кінця, поки не досягне максимуму.

Приклад 5

Знайдіть амплітуду функції$f(x)=-3 \cos x$ і використовуйте мову перетворень, щоб описати, як графік пов'язаний з батьківською функцією$y=\cos x$.

Нова функція відбивається поперек$x$ осі і вертикально розтягується в 3 рази.

Рецензія

1. Поясніть, як знайти амплітуду синусоїдальної функції з її рівняння.

2. Поясніть, як знайти амплітуду синусоїдальної функції з її графіка.

Знайдіть амплітуду кожної з наступних функцій.

3. $g(x)=-5 \cos x$

4.

5. $f(x)=\frac{1}{2} \sin x$

6.

7. $j(x)=3.12 \cos x$

8.

Намалюйте кожну з наступних функцій.

9. $f(x)=3 \sin x$

10. $g(x)=-4 \cos x$

11. $h(x)=\pi \sin x$

12. $k(x)=-1.2 \cos x$

13. $p(x)=\frac{2}{3} \cos x$

14. $m(x)=-\frac{1}{2} \sin x$

15. Попередній перегляд:$r(x)=3 \sin x+2$