5.1: Одиничне коло

Одиничне коло - це коло радіуса один, зосереджений на початку, який узагальнює всі існуючі відносини$30-60-90$ і$45-45-90$ трикутник. При запам'ятовуванні це надзвичайно корисно для оцінки виразів на кшталт$\cos \left(135^{\circ}\right)$ або$\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)$. Це також допомагає виробляти батьківські графіки синуса і косинуса.

Як можна використовувати одиничний коло для оцінки$\cos \left(135^{\circ}\right)$ та$\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right) ?$

Одиничне коло

Ви вже знаєте, як перевести між градусами та радіанами та співвідношеннями трикутників для 30-60-90 та 45-45-90 прямих трикутників. Для того щоб бути готовим повністю заповнити і запам'ятати одиницю кола, потрібно опрацювати два трикутника. Почніть з пошуку довжин сторін трикутника 30-60-90 і трикутника 45-45-90 кожен з гіпотенузою, рівною 1.

\ (
\ почати {масив} {|l|l|l|}
\ hline 30^ {\ circ} & 60^ {\ circ} & 90^ {
\ circ}\\ лінія х\\ sqrt {3} & 2 x
\\ hline {1} {2} &\ frac {\ sqrt {3}} {2} лінія

\ end {масив}
\)

\ (
\ почати {масив} {|l|l|l|}
\ hline 45^ {\ circ} & 45^ {\ circ} & 90^ {\ circ}\
\ лінія x & x\ sqrt {2}\\ лінія
\ frac {\ sqrt {2}} {2} &\ frac {\ sqrt {2}} {2}\\
\ hline
\ end {масив}
\)

Цього достатньо інформації, щоб заповнити важливі пункти в першому квадранті одиничного кола. Значення$x$ і$y$ координати для кожної з ключових точок наведені нижче. Пам'ятайте, що$y$ координати$x$ і походять від довжин ніжок спеціальних прямих трикутників, як показано спеціально для$30^{\circ}$ кута. Завжди пам'ятайте, щоб виміряти кут від позитивної частини$x$ -осі.

Добре знання першого квадранта є ключем до знання всього одиничного кола. Будь-яку іншу точку на одиничному колі можна знайти за допомогою логіки і цього квадранта, тому немає необхідності запам'ятовувати все коло.

Щоб використовувати свої знання про перший квадрант одиничного кола для ідентифікації кутів і важливих точок другого квадранта, зверніть увагу, що висоти дзеркальні та рівні, які відповідають$y$ значенням. $x$Значення всі негативні.

Існує закономірність у висотах точок у першому квадранті, яка може допомогти вам запам'ятати точки.

Зверніть увагу, що висотами точок у першому квадранті є$y$ -координатами:$0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$

При переписуванні візерунок стає зрозумілим:$\frac{0}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$

Три точки посередині найчастіше змішуються. Цей шаблон ілюструє, як вони збільшуються в розмірі від малого$\frac{1}{2},$$\frac{\sqrt{2}}{2},$ до середнього до великого$\frac{\sqrt{3}}{2} .$ Коли ви заповнюєте одиничне коло, шукайте висоти, які є малими, середніми та великими, і це скаже вам, чи має йти кожне значення. Зверніть увагу, що висоти для цих п'яти точок у другому квадранті також є$0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$

Цей прийом працює і для ширини. Це може зробити запам'ятовування 16 точок одиничного кола питанням логіки та шаблону:$\frac{0}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$

Останній пункт, який слід зазначити, полягає в тому, що котермінальні кути - це набори кутів, таких як$90^{\circ}, 450^{\circ},$ і$-270^{\circ}$ які починаються з позитивної осі x і закінчуються на тій же кінцевій стороні. оскільки котермінальні кути закінчуються в однакових точках уздовж одиничного кола, тригонометричні вирази, що включають котермінальні кути, еквівалентні: $\sin (90)=\sin (450)=\sin (-270)$

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як можна використовувати одиничний коло для оцінки$\cos (135)$ і$\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)$. $x$Значення точки по одиничній окружності відповідає косинусу кута. $y$Значення точки відповідає синусу кута. Коли кути і точки запам'ятовуються, просто згадайте$x$ або$y$ координату. Якщо розібратися в побудові одиничного кола, визначати координати стає простіше.

При оцінці$\cos \left(135^{\circ}\right)$ вашого розумового процесу має бути щось на зразок цього:

Ви знаєте,$135^{\circ}$ йде з точкою,$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ а косинус - це$x$ частина. Отже,$\cos \left(135^{\circ}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \left(135^{\circ}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

При оцінці$\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)$ вашого розумового процесу має бути щось на зразок цього:

Ви знаєте,$-\frac{5 \pi}{3}$ йде з точкою,$\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ а синус - це$y$ частина. Отже,$\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Приклад 2

Оцініть$\cos 60^{\circ}$ за допомогою одиничного кола і тригонометрії прямокутного трикутника. Який зв'язок між$x$ координатою точки і косинусом кута?

Точка на одиничному колі для$60^{\circ}$ є,$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ а точка - одна одиниця від початку. Це можна представити у вигляді$30-60-90$ трикутника.

Оскільки косинус сусідить над гіпотенузою, косинус виявляється саме$x$ координатою$\frac{1}{2}$.

Приклад 3

Використовуючи знання першого квадранта одиничного кола, визначте кути і важливі точки третього квадранта.

І значення, і$x$$y$ значення є від'ємними, і їх відповідні координати відповідають координатам інших квадрантів.

Приклад 4

Для кожної з шести тригонометричних функцій визначте квадранти, де вони позитивні, і квадранти, де вони негативні.

У квадранті I гіпотенуза, сусідня і протилежна сторона все позитивні. При цьому всі 6 тригонометричних функцій є позитивними.

У квадранті II гіпотенуза і протилежні сторони позитивні, а сусідні - негативні. Це означає, що кожне тригонометричне вираз, що включає сусідню сторону, є негативним. Синус і його зворотна косеканс - єдині дві тригонометричні функції, які не відносяться до сусідньої сторони, що робить їх єдиними позитивними.

У III квадранті позитивна тільки гіпотенуза. Таким чином, єдиними тригонометричними функціями, які є позитивними, є тангенс та його зворотний котангенс, оскільки ці функції стосуються як суміжних, так і протилежних сторін, які будуть негативними.

У IV квадранті гіпотенуза та сусідні сторони позитивні, тоді як протилежна сторона негативна. Це означає, що позитивними є тільки косинус і його зворотний секанс.

Мнемонічний пристрій для запам'ятовування того, які тригонометричні функції є позитивними, а які тригонометричні функції є негативними, - це «Усі студенти S, щоб зробити калькуляс C». Все відноситься до всіх тригонометричних функцій є позитивними в квадранті I. Буква S відноситься до синус і його зворотний косеканс, які є позитивними в квадранті II. Буква T відноситься до дотичної та її зворотного котангенсу, які є позитивними в квадранті III. Буква C відноситься до косинуса та його зворотного секансу, які є позитивними в четвертому квадранті.

Приклад 5

Оцінити наступні тригонометричні вирази за допомогою одиничного кола.

1. $\sin \frac{\pi}{2}$

$\sin \frac{\pi}{2}=1$

2. $\cos 210^{\circ}$

$\cos 210^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. $\tan 315^{\circ}$

$\tan 315^{\circ}=-1$

4. $\cot 270^{\circ}$

$\cot 270^{\circ}=0$

5. $\sec \frac{11 \pi}{6}$

$\sec \frac{11 \pi}{6}=\frac{1}{\cos \frac{11 \pi}{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

6. $\csc -\frac{5 \pi}{4}$

$\csc -\frac{5 \pi}{4}=\frac{1}{\sin -\frac{5 \pi}{4}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$

Рецензія

Назвіть кут між$0^{\circ}$ і$360^{\circ}$ що є співтермінальним з...

1. $-20^{\circ}$

2. $475^{\circ}$

3. $-220^{\circ}$

4. $690^{\circ}$

5. $-45^{\circ}$

Використовуйте свої знання одиничного кола, щоб допомогти визначити, чи є кожне з наступних тригонометричних виразів позитивним чи негативним.

6. $\tan 143^{\circ}$

7. $\cos \frac{\pi}{3}$

8. $\sin 362^{\circ}$

9. $\csc \frac{3 \pi}{4}$

Використовуйте свої знання одиничного кола для оцінки кожного з наступних тригонометричних виразів.

10. $\cos 120^{\circ}$

11. $\sec \frac{\pi}{3}$

12. $\tan 225^{\circ}$

13. $\cot 120^{\circ}$

14. $\sin \frac{11 \pi}{6}$

15. $\csc 240^{\circ}$

16. Знайти$\sin \theta$ і$\tan \theta$ якщо$\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ і$\cot \theta>0$.

17. Знайти$\cos \theta$ і$\tan \theta$ якщо$\sin \theta=-\frac{1}{2}$ і$\sec \theta<0$.

18. Намалюйте повне коло одиниць (всі чотири квадранта) і позначте важливі моменти.