5.1: Одиничне коло
- Page ID
- 54676
Одиничне коло - це коло радіуса один, зосереджений на початку, який узагальнює всі існуючі відносини\(30-60-90\) і\(45-45-90\) трикутник. При запам'ятовуванні це надзвичайно корисно для оцінки виразів на кшталт\(\cos \left(135^{\circ}\right)\) або\(\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)\). Це також допомагає виробляти батьківські графіки синуса і косинуса.
Як можна використовувати одиничний коло для оцінки\(\cos \left(135^{\circ}\right)\) та\(\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right) ?\)
Одиничне коло
Ви вже знаєте, як перевести між градусами та радіанами та співвідношеннями трикутників для 30-60-90 та 45-45-90 прямих трикутників. Для того щоб бути готовим повністю заповнити і запам'ятати одиницю кола, потрібно опрацювати два трикутника. Почніть з пошуку довжин сторін трикутника 30-60-90 і трикутника 45-45-90 кожен з гіпотенузою, рівною 1.
\ (
\ почати {масив} {|l|l|l|}
\ hline 30^ {\ circ} & 60^ {\ circ} & 90^ {
\ circ}\\ лінія х\\ sqrt {3} & 2 x
\\ hline {1} {2} &\ frac {\ sqrt {3}} {2} лінія
\ end {масив}
\)
\ (
\ почати {масив} {|l|l|l|}
\ hline 45^ {\ circ} & 45^ {\ circ} & 90^ {\ circ}\
\ лінія x & x\ sqrt {2}\\ лінія
\ frac {\ sqrt {2}} {2} &\ frac {\ sqrt {2}} {2}\\
\ hline
\ end {масив}
\)
Цього достатньо інформації, щоб заповнити важливі пункти в першому квадранті одиничного кола. Значення\(x\) і\(y\) координати для кожної з ключових точок наведені нижче. Пам'ятайте, що\(y\) координати\(x\) і походять від довжин ніжок спеціальних прямих трикутників, як показано спеціально для\(30^{\circ}\) кута. Завжди пам'ятайте, щоб виміряти кут від позитивної частини\(x\) -осі.
Добре знання першого квадранта є ключем до знання всього одиничного кола. Будь-яку іншу точку на одиничному колі можна знайти за допомогою логіки і цього квадранта, тому немає необхідності запам'ятовувати все коло.
Щоб використовувати свої знання про перший квадрант одиничного кола для ідентифікації кутів і важливих точок другого квадранта, зверніть увагу, що висоти дзеркальні та рівні, які відповідають\(y\) значенням. \(x\)Значення всі негативні.
Існує закономірність у висотах точок у першому квадранті, яка може допомогти вам запам'ятати точки.
Зверніть увагу, що висотами точок у першому квадранті є\(y\) -координатами:\(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\)
При переписуванні візерунок стає зрозумілим:\(\frac{0}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\)
Три точки посередині найчастіше змішуються. Цей шаблон ілюструє, як вони збільшуються в розмірі від малого\(\frac{1}{2},\)\(\frac{\sqrt{2}}{2},\) до середнього до великого\(\frac{\sqrt{3}}{2} .\) Коли ви заповнюєте одиничне коло, шукайте висоти, які є малими, середніми та великими, і це скаже вам, чи має йти кожне значення. Зверніть увагу, що висоти для цих п'яти точок у другому квадранті також є\(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\)
Цей прийом працює і для ширини. Це може зробити запам'ятовування 16 точок одиничного кола питанням логіки та шаблону:\(\frac{0}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\)
Останній пункт, який слід зазначити, полягає в тому, що котермінальні кути - це набори кутів, таких як\(90^{\circ}, 450^{\circ},\) і\(-270^{\circ}\) які починаються з позитивної осі x і закінчуються на тій же кінцевій стороні. оскільки котермінальні кути закінчуються в однакових точках уздовж одиничного кола, тригонометричні вирази, що включають котермінальні кути, еквівалентні: \(\sin (90)=\sin (450)=\sin (-270)\)
Приклади
Раніше вас запитали, як можна використовувати одиничний коло для оцінки\(\cos (135)\) і\(\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)\). \(x\)Значення точки по одиничній окружності відповідає косинусу кута. \(y\)Значення точки відповідає синусу кута. Коли кути і точки запам'ятовуються, просто згадайте\(x\) або\(y\) координату. Якщо розібратися в побудові одиничного кола, визначати координати стає простіше.
При оцінці\(\cos \left(135^{\circ}\right)\) вашого розумового процесу має бути щось на зразок цього:
Ви знаєте,\(135^{\circ}\) йде з точкою,\(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) а косинус - це\(x\) частина. Отже,\(\cos \left(135^{\circ}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos \left(135^{\circ}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
При оцінці\(\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)\) вашого розумового процесу має бути щось на зразок цього:
Ви знаєте,\(-\frac{5 \pi}{3}\) йде з точкою,\(\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) а синус - це\(y\) частина. Отже,\(\sin \left(-\frac{5 \pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Оцініть\(\cos 60^{\circ}\) за допомогою одиничного кола і тригонометрії прямокутного трикутника. Який зв'язок між\(x\) координатою точки і косинусом кута?
Точка на одиничному колі для\(60^{\circ}\) є,\(\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) а точка - одна одиниця від початку. Це можна представити у вигляді\(30-60-90\) трикутника.
Оскільки косинус сусідить над гіпотенузою, косинус виявляється саме\(x\) координатою\(\frac{1}{2}\).
Використовуючи знання першого квадранта одиничного кола, визначте кути і важливі точки третього квадранта.
І значення, і\(x\)\(y\) значення є від'ємними, і їх відповідні координати відповідають координатам інших квадрантів.
Для кожної з шести тригонометричних функцій визначте квадранти, де вони позитивні, і квадранти, де вони негативні.
У квадранті I гіпотенуза, сусідня і протилежна сторона все позитивні. При цьому всі 6 тригонометричних функцій є позитивними.
У квадранті II гіпотенуза і протилежні сторони позитивні, а сусідні - негативні. Це означає, що кожне тригонометричне вираз, що включає сусідню сторону, є негативним. Синус і його зворотна косеканс - єдині дві тригонометричні функції, які не відносяться до сусідньої сторони, що робить їх єдиними позитивними.
У III квадранті позитивна тільки гіпотенуза. Таким чином, єдиними тригонометричними функціями, які є позитивними, є тангенс та його зворотний котангенс, оскільки ці функції стосуються як суміжних, так і протилежних сторін, які будуть негативними.
У IV квадранті гіпотенуза та сусідні сторони позитивні, тоді як протилежна сторона негативна. Це означає, що позитивними є тільки косинус і його зворотний секанс.
Мнемонічний пристрій для запам'ятовування того, які тригонометричні функції є позитивними, а які тригонометричні функції є негативними, - це «Усі студенти S, щоб зробити калькуляс C». Все відноситься до всіх тригонометричних функцій є позитивними в квадранті I. Буква S відноситься до синус і його зворотний косеканс, які є позитивними в квадранті II. Буква T відноситься до дотичної та її зворотного котангенсу, які є позитивними в квадранті III. Буква C відноситься до косинуса та його зворотного секансу, які є позитивними в четвертому квадранті.
Оцінити наступні тригонометричні вирази за допомогою одиничного кола.
1. \(\sin \frac{\pi}{2}\)
\(\sin \frac{\pi}{2}=1\)
2. \(\cos 210^{\circ}\)
\(\cos 210^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
3. \(\tan 315^{\circ}\)
\(\tan 315^{\circ}=-1\)
4. \(\cot 270^{\circ}\)
\(\cot 270^{\circ}=0\)
5. \(\sec \frac{11 \pi}{6}\)
\(\sec \frac{11 \pi}{6}=\frac{1}{\cos \frac{11 \pi}{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}\)
6. \(\csc -\frac{5 \pi}{4}\)
\(\csc -\frac{5 \pi}{4}=\frac{1}{\sin -\frac{5 \pi}{4}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\)
Рецензія
Назвіть кут між\(0^{\circ}\) і\(360^{\circ}\) що є співтермінальним з...
1. \(-20^{\circ}\)
2. \(475^{\circ}\)
3. \(-220^{\circ}\)
4. \(690^{\circ}\)
5. \(-45^{\circ}\)
Використовуйте свої знання одиничного кола, щоб допомогти визначити, чи є кожне з наступних тригонометричних виразів позитивним чи негативним.
6. \(\tan 143^{\circ}\)
7. \(\cos \frac{\pi}{3}\)
8. \(\sin 362^{\circ}\)
9. \(\csc \frac{3 \pi}{4}\)
Використовуйте свої знання одиничного кола для оцінки кожного з наступних тригонометричних виразів.
10. \(\cos 120^{\circ}\)
11. \(\sec \frac{\pi}{3}\)
12. \(\tan 225^{\circ}\)
13. \(\cot 120^{\circ}\)
14. \(\sin \frac{11 \pi}{6}\)
15. \(\csc 240^{\circ}\)
16. Знайти\(\sin \theta\) і\(\tan \theta\) якщо\(\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) і\(\cot \theta>0\).
17. Знайти\(\cos \theta\) і\(\tan \theta\) якщо\(\sin \theta=-\frac{1}{2}\) і\(\sec \theta<0\).
18. Намалюйте повне коло одиниць (всі чотири квадранта) і позначте важливі моменти.