5.7: Графіки інших тригонометричних функцій

Якщо ви вже знаєте зв'язок між рівнянням і графіком синусоїдних і косинусних функцій, то інші чотири функції можна знайти шляхом ідентифікації нулів, асимптотів і ключових точок. Чи є перетворення чотирьох нових функцій синусоїдних і косинусних функцій?

Графік інших тригонометричних функцій

Секанс і косеканс

Оскільки секанс є зворотним косинусом, графіки дуже тісно пов'язані між собою.

Зверніть увагу, де косинус дорівнює нулю, секанс має вертикальну асимптоту і де$\cos x=1$ потім сек$x=1$, а також. Ці дві логічні фрагменти дозволяють відображати будь-яку січну функцію форми:

$f(x)=\pm a \cdot \sec (b(x+c))+d$

Метод полягає в тому, щоб графікувати його так, як ви б косинус, а потім вставити асимптоти та січні криві, щоб вони торкалися кривої косинуса при її максимальному та мінімальному значеннях. Цей метод ідентичний графіку косекансних графіків. Просто використовуйте синусоїдальний графік, щоб знайти місце розташування та асимптоти.

Тангенс і котангенс

Графіки дотичної та котангенсної складніші, оскільки вони є співвідношенням синусоїдних і косинусних функцій.

• $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
• $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

Спосіб продумати графік$f(x)=\tan x$ полягає в тому, щоб спочатку визначити його асимптоти. Асимптоти виникають, коли знаменник, косинус, дорівнює нулю. Це відбувається в$\pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2} \ldots$ Наступна річ для побудови - це нулі, які виникають, коли чисельник, синус, дорівнює нулю. Це відбувається на$0, \pm \pi, \pm, 2 \pi \ldots$ З одиничного кола і базової тригонометрії прямокутного трикутника, ви вже знаєте деякі значення$\tan x$

• $\tan \frac{\pi}{4}=1$
• $\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1$

Побудувавши всю цю інформацію, ви отримуєте дуже хороший сенс щодо того, як виглядає графік дотичної, і ви можете заповнити решту.

Зверніть увагу, що період дотичної$\pi$ не$2 \pi,$ тому, що він має більш короткий цикл.

Графік котангенса можна знайти, використовуючи ідентичну логіку як тангенс. Ви знаєте$\cot x=\frac{1}{\tan x}$ Це означає, що граф котангенса матиме нулі всюди, де тангенс має асимптоти та асимптоти, де тангенс має нулі. Ви також знаєте, що там, де тангенс дорівнює 1, котангенс також дорівнює 1. Таким чином, графік котангенса дорівнює:

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чи чотири нові функції є перетвореннями синуса і косинуса. Чотири нові функції не є чисто перетвореннями синусоїдних і косинусних функцій. Однак секанс і косеканс є перетвореннями один одного, як і тангенс і котангенс.

Приклад 2

Графік функції$f(x)=-2 \cdot \csc (\pi(x-1))+1$

Графік функції так, ніби це синусоїдальна функція. Потім вставте асимптоти там, де синусоїдальна функція перетинає синусоїдальну вісь. Нарешті додайте криві косеканси.

Амплітуда дорівнює 2. Форма - негативний синус. Функція зрушена вгору на одну одиницю і вправо на одну одиницю.

Зауважте, що лише синя частина графіка представляє задану функцію.

Приклад 3

Як записати функцію дотичної як котангенс функції?

Існує два основних способи переходу між тангенсною функцією та функцією котангенса. Перший спосіб обговорювався в прикладі А:$f(x)=\tan x=\frac{1}{\cot x}$

Другий підхід передбачає дві трансформації. Почніть з відображення поперек$y$ осі$x$ або. Зверніть увагу, що це дає ідентичний результат. Далі зсуваємо функцію вправо або вліво на$\frac{\pi}{2}$. Знову ж таки це дає ідентичний результат. $f(x)=\tan x=-\cot \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$

Приклад 4

Знайдіть рівняння функції на наступному графіку.

Якщо з'єднати відносні максимуми та мінімуми функції, вона створює зсунуту криву косинуса, з якою легше працювати.

Амплітуда -$3 .$ вертикальний зсув дорівнює 2 вниз. Період 4, що означає, що$b=\frac{\pi}{2} .$ Форма є позитивним косинусом, і якщо ви вирішите почати з,$x=0$ немає зсуву фаз.
$f(x)=3 \cdot \csc \left(\frac{\pi}{2} x\right)-2$

Приклад 5

Де знаходяться асимптоти по дотичній і чому вони виникають?

Оскільки$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ асимптоти виникають$\cos x=0$ всякий раз, коли$\pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \ldots$

Рецензія

1. Яку функцію ви можете використовувати, щоб допомогти вам зробити ескіз$f(x)=\sec x$? Чому?

2. Яку функцію ви можете використовувати, щоб допомогти вам зробити ескіз$g(x)=\csc x$? Чому?

Зробіть ескіз кожного наступного по пам'яті.

3. $f(x)=\sec x$

4. $g(x)=\csc x$

5. $h(x)=\tan x$

6. $k(x)=\cot x$

Графік кожного з наведених нижче.

7. $f(x)=2 \csc (x)+1$

8. $g(x)=2 \csc \left(\frac{\pi}{2} x\right)+1$

9. $h(x)=2 \csc \left(\frac{\pi}{2}(x-3)\right)+1$

10. $j(x)=\cot \left(\frac{\pi}{2} x\right)+3$

11. $k(x)=-\sec \left(\frac{\pi}{3}(x+1)\right)-4$

12. $m(x)=-\tan (x)+1$

13. $p(x)=-2 \tan \left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1$

14. Знайдіть два способи запису з$\sec x$ точки зору інших тригонометричних функцій.

15. Знайдіть два способи запису з$\csc x$ точки зору інших тригонометричних функцій.