5.4: Вертикальний зсув синусоїдальних функцій

Ваші знання про перетворення, зокрема вертикальний зсув, стосуються безпосередньо синусоїдальних функцій. На практиці ескізування зсунутих синусоїдних і косинусних функцій вимагає більшої уваги до деталей і більш ретельного маркування, ніж інші функції. Чи можете ви описати наступну трансформацію словами?

$f(x)=\sin x \rightarrow g(x)=-3 \sin x-4$

В якому порядку відбуваються відображення, розтягування і зсув? Чи є різниця?

Вертикальний зсув синусоїдальних функцій

Загальна форма синусоїдальної функції - це:

$f(x)=\pm a \cdot \sin (b(x+c))+d$

Нагадаємо, що$a$ контролює амплітуду і$\pm$ контролює відображення. Тут ви побачите, як$d$ управляє вертикальним зсувом.

Найбільш простий спосіб подумати про вертикальний зсув синусоїдальних функцій - зосередитися на синусоїдальній осі, горизонтальній лінії, що проходить через середину синусоїдальної або косинусоїдальної хвилі. На початку завдання виявляють вертикальний зсув і відразу ж малюють нову синусоїдальну вісь. Потім перейдіть до амплітуди графіка та відображення навколо цієї осі на відміну від$x$ осі.

Графіки наступних трьох функцій наведені нижче:

$f(x)=\sin x+3$
$g(x)=\sin x-2$
$h(x)=\sin x+\frac{1}{2}$

Щоб намалювати ці графіки, спочатку малюється нова синусоїдальна вісь для кожного графіка. Потім малюється повна синусоїда для кожної з них. Зверніть увагу на п'ять важливих моментів, які розділяють кожен квадрант, щоб допомогти отримати чітке уявлення про графік. У цих графіках немає відображень, і всі вони мають амплітуду 1. Зараз кожен цикл починається з 0 і закінчується на,$2 \pi$ але це не завжди буде так.

Перегляньте частини наступного відео, зосередженого на вертикальних перекладах:

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, в якому порядку вертикальний зсув і відображення слід виконувати і якщо це має значення. Наступне перетворення можна описати наступним чином.

$f(x)=\sin x \rightarrow g(x)=-3 \sin x-4$

Опишіть спочатку розтягування і відображення, а потім вертикальний зсув. Це найбільш логічний спосіб обговорення перетворення усно, оскільки тоді числа, такі як 3 та -4, можуть бути явно визначені на графіку.

Порядок в описі трансформації має значення. При описі вертикальних перетворень найбільш інтуїтивно просто описати перетворення в тому ж порядку, що і порядок операцій.

Приклад 2

Визначте рівняння наступного перетвореного косинусного графа.

оскільки відсутня синусоїдальна вісь, необхідно визначити вертикальний зсув, розтягнення і відображення. Пік відбувається в$(\pi, 3)$ і жолоб відбувається на (0, -1), тому горизонтальна лінія безпосередньо між +3 і -1$y=1$ є. оскільки синусоїдальна вісь була зрушена вгору на одну одиницю$d=1$. З цієї висоти графік йде два вище і два нижче, що означає, що амплітуда дорівнює 2. Оскільки цей косинусний графік починає свій цикл з (0, -1), який є нижчою точкою, це негативний косинус. Функція є$f(x)=-2 \cos x+1$

Приклад 3

Перетворіть наступний синусовий графік двома способами. Спочатку перетворіть синусоїдальний графік, змістивши його вертикально вгору на 1 одиницю, а потім розтягнувши його по вертикалі в 2 одиниці. По-друге, перетворіть синусоїдальний графік, розтягнувши його по вертикалі в 2 одиниці, а потім змістивши його вертикально вгору на 1 одиницю.

Роблячи впорядковані перетворення, добре показати, з чого ви починаєте і де в кінцевому підсумку, щоб ви могли ефективно порівнювати та протиставити результати. Подивіться, як обидва перетворення починаються із звичайної синусоїди. Два стовпці представляють послідовність перетворень, які дають різні результати.

Приклад 4

Яке рівняння моделює наступний графік?

$f(x)=3 \cdot \sin x-1$

Приклад 5

Графік наступної функції:$f(x)=-2 \cdot \cos x+1$

Спочатку намалюйте горизонтальну синусоїдальну вісь і виділіть п'ять основних точок для косинусоїдальної хвилі. Будьте обережні, щоб відзначити, що амплітуда дорівнює 2, а косинусна хвиля починається і закінчується в низькій точці через негативний знак.

Рецензія

Графік кожної з наступних функцій, які зазнали вертикального розтягування, відображення та/або вертикального зсуву.

1. $f(x)=-2 \sin x+4$

2. $g(x)=\frac{1}{2} \cos x-1$

3. $h(x)=3 \sin x+2$

4. $j(x)=-1.5 \cos x+\frac{1}{2}$

5. $k(x)=\frac{2}{3} \sin x-3$

Знайдіть мінімальне і максимальне значення кожної з наступних функцій.

6. $f(x)=-3 \sin x+1$

7. $g(x)=2 \cos x-4$

8. $h(x)=\frac{1}{2} \sin x+1$

9. $j(x)=-\cos x+5$

10. $k(x)=\sin (x)-1$

Дайте рівняння кожної функції на графіку нижче.

11.

12.

13.

14.

15.